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专题03整式的乘除重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）
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这是一份专题03整式的乘除重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版），文件包含专题03整式的乘除重难点专练原卷版-七年级数学专题训练沪教版docx、专题03整式的乘除重难点专练解析版-七年级数学专题训练沪教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据积的乘方的运算法则，分别将各项的结果计算出来再进行判断即可．
【详解】
A． ，故选项A错误；
B． ，故选项B错误；
C． ，故选项C错误；
D． ，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2019·上海市西延安中学七年级期中）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
3．（2021·上海九年级专题练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第20项的系数为（ ）
A．1B．18C．19D．20
【答案】D
【分析】
观察“杨辉三角”，根据已知图归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
观察“杨辉三角”可得以下两条规律：（其中，n为自然数）
（1）的展开式的项数为
（2）的展开式中第二项与倒数第二项的系数相同，均为（）
则的展开式共有21项，第20项为倒数第二项，其系数为20
故选：D．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，正确归纳出一般规律是解题关键．
4．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）下列式子中，正确的有( )
①m3∙m5=m15； ②（a3）4=a7； ③（-a2）3=-（a3）2； ④（3x2）2=6x6
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．
【详解】
解：①，故该项错误；②，故该项错误；③，，故该项正确；④，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，
故选：B．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5．（2020·上海七年级月考）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则对每个式子一一判断即可．
【详解】
A．，故A选项错误．
B．，故B选项错误．
C．，故C选项错误．
D．，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则，熟记同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则是解题关键．
6．（2020·上海文来实验学校七年级期中）已知，则代数式的值是（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
【答案】B
【分析】
先将用的代数式表示，然后再看成代入求解即可．
【详解】
解：由可知：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，将高次幂通过“降次”的思想，转化为低次幂求解即可．
7．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）下列运算正确的是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、整式的乘法逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、与不是同类项，不可合并，此项错误；
C、，此项正确；
D、表示的是n个相乘的积，表示的是n个的乘积与n个的乘积的和，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、整式的乘法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
8．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】
先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【详解】
，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
二、填空题
9．（2019·上海市长宁中学七年级月考）计算：﹣（2a）2（﹣2a）2＝__，（﹣4a3b）2＝___．
【答案】﹣16a4 16a6b2．
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则及积的乘方运算法则解答即可．
【详解】
解：﹣（2a）2•（﹣2a）2＝﹣4a2•4a2＝﹣16a4；
∴（﹣4a3b）2＝16a6b2．
故答案为：﹣16a4；16a6b2．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）计算:________________.
【答案】
【分析】
首先根据同底数幂的乘法法则的逆运算：，将变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法与积的乘方法则的逆运算，要牢记公式，灵活运用．
11．（2020·四川七年级期中）观察等式：；；…，若设，则用含的式子表示的结果是________．
【答案】
【分析】
由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2，那么250+251+252+…+299+2100=(2+22+23+…+2100)-(2+22+23+…+249)，将规律代入计算即可．
【详解】
∵2+22=23-2；
2+22+23=24-2；
2+22+23+24=25-2；
…
∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，
∴250+251+252+…+299+2100
=(2+22+23+…+2100)-(2+22+23+…+249)
=(2101-2)-(250-2)
=2101-250，
∵250=a，
∴2101=(250)2•2=，
∴原式=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，积的乘方等知识，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．
12．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学七年级期中）则_______________________
【答案】6
【分析】
根据同底数幂的乘法法则计算，先把写成•的形式，再求解就容易了．
【详解】
=•
=•=
故答案为:6.
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则是解题关键.
13．（2019·上海交大附中九年级）已知，则________．
【答案】2
【分析】
利用变形得，然后代入后面式子计算即可.
【详解】
∵
∴
∴
故答案为2
【点睛】
本题考查利用整体代入求代数式的值，降低未知数的次数和整体思想是解题的关键.
14．（2019·上海教院附中七年级月考）若 _______________.
【答案】10.
【分析】
逆用同底数幂的乘法法则即可解题..
【详解】
解：
故答案是：10.
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则（逆用），掌握同底数幂的乘法法则是解题关键.
15．（2020·上海七年级月考）若9×32m×33m＝322，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】
先变形9=32，再利用同底数幂的乘法运算法则运算，然后指数相等列等式求解即可．
【详解】
∵9×32m×33m=32×32m×33m＝32+2m+3m=322
∴2+2m+3m=22，即5m=20，
解得：m=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、等式的性质，灵活运用同底数幂的乘法运算法则是解答的关键．
16．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）若，则的值为___________．
【答案】．
【分析】
先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则对所求代数式变形，最后将已知条件代入求值即可．
【详解】
解：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则逆用，正确应用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则对代数式进行变形是解答本题的关键．
17．（2020·上海文来实验学校七年级期中）计算：=_____________
【答案】
【分析】
先计算整式的乘法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】
原式，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
18．（2020·上海南洋中学七年级期中）计算：________________．
【答案】
【分析】
根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方与幂的乘方的运算，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解答此题的关键．
19．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：= _________________．
【答案】
【分析】
根据积的乘方的逆用即可得．
【详解】
原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）若，则____________．
【答案】32
【分析】
根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用即可得．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．
21．（2020·上海南洋中学七年级期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含的的代数式表示）．
【答案】
【分析】
先根据三角形的面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
【详解】
解：∵三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，
∴此三角形的高为（a-1）米，
∴根据三角形的面积公式得：（平方米）；
故答案为：．
【点睛】
此题考查了单项式乘多项式以及三角形的面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
22．（2020·上海南洋中学七年级期中）若，则x=________________．
【答案】8或
【分析】
运用同底数幂的乘法法则进行求解即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴
∴x=或8．
故答案为：或8．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
23．（2019·上海七年级期末）计算：________．
【答案】
【分析】
根据多项式乘以多项式法则进行计算即可得到答案．
【详解】
=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再将结果合并同类项，熟记乘法法则是解题的关键．
24．（2020·上海七年级期末）计算：______．
【答案】9
【分析】
由同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算进行计算，即可求出答案．
【详解】
．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
25．（2019·上海市闵行区明星学校七年级月考）已知，，则________．
【答案】-3
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵m+n=2，mn=-2，
∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（2021·上海九年级专题练习）计算：____________．
【答案】．
【分析】
根据积的乘方法则计算即可.
【详解】
解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了积的乘方，熟练运用运算法则是解题的关键.
27．（2021·上海九年级二模）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，那么的值是_____（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】
此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以得到第n个数的规律．
【详解】
将条件数据1、3、6、10、15、21、…，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，
这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，
∴，（n≥1）．
所以=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形数的规律，掌握扩大2倍法寻找规律的方法是解题的关键．
28．（2021·上海九年级二模）计算：（﹣3a3）2＝______．
【答案】9a6
【分析】
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．
【详解】
解：原式＝（﹣3）2a3×2
＝9a6
故答案为：9a6．
【点睛】
本题考查积的乘方、幂的乘方的法则，熟练并正确使用法则是关键
29．（2019·上海市风华中学七年级期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x²−1
(x−1)(x²+x+1)=x³−1
(x−1)(x³+x²+x+1)=x−1…
根据以上规律， 求1+2+2²+…+__________.
【答案】22018-1
【分析】
把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.
【详解】
解：1+2+2²+…+
=（2-1）(1+2+2²+…+)
=22018-1
故答案为：22018-1
【点睛】
本题考查的是算式规律探究问题，根据题意归纳得出一般性规律是解答此题的关键.
30．（2019·上海市三门中学（上海财经大学附属初级中学）七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
【答案】
【分析】
由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【详解】
解：；
；
；
，
，
，
，
原式，
故答案是：．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
31．（2019·上海市长宁中学七年级月考）若am＝5，an＝2，求a2m+3n值．
【答案】200．
【分析】
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，变形计算即可．
【详解】
解：∵am＝5，an＝2，
∴a2m+3n＝a2m•a3n＝（am）2•（an）3＝52×23＝200．
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是掌握计算法则，并能熟练应用．
32．（2019·上海市长宁中学七年级月考）先化简，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．
【答案】﹣2x2+x+4，﹣18．
【分析】
原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝x3﹣x2﹣x2+x+2x2+4﹣x3﹣2x2+
＝﹣2x2++4，
当x＝﹣3时，
原式＝﹣18﹣4+4＝﹣18．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）把下列式子化成的形式:
【答案】
【分析】
将原式中的每项变成同度数幂，运用同底数幂的乘法法则进行计算即可得解．
【详解】
，
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法，掌握并熟练运用同底数幂的忒覅覅买基金解题的关键．
34．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）已知:试用分别表示和.
【答案】；．
【分析】
根据同底数幂的逆运算和幂的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】
∵
∴；
．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法与幂的乘方的运算公式是解题的关键．
35．（2019·上海浦东新区·七年级期中）欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为．
式子中的a、b的值各是多少？
请计算出原题的正确答案．
【答案】（1），；（2）
【分析】
根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值；
把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】
根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为，
那么，
可得
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，
可知
即，
可得，
解关于的方程组，可得，；
正确的式子：
【点睛】
本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
36．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）
（6）；
（7）
（8）
【答案】（1）－13；（2）；（3）92；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
【分析】
（1）先算乘方再根据减法法则计算即可；
（2）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（3）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（4）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（5）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（6）逆用乘法分配律进行计算即可；
（7）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（8）先将小数化为分数，再逆用积的乘方公式进行计算．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算及运算律，积的乘方，熟记运算法则及运算律是解题的关键．
37．（2020·上海七年级月考）已知，求的值．
【答案】－1
【分析】
由幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则对方程进行运算，列出关于n的一元一次方程，解方程得出n的值，再将n的值代入要求的式子求值即可．
【详解】
，
，
，
解得：．
所以．
【点睛】
本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则以及一元一次方程的求解，熟记运算法则，根据题意列方程求解是解题关键．
38．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）计算：
【答案】
【分析】
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法分别计算即可求解．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．
39．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）先观察下列各式的规律：
根据你的发现，试求：
（1）的值；
（2）的值
【答案】（1）127；（2）
【分析】
（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果；
（2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：，
当x=2时，上式变为，
所以=；
（2）同理可得：，
当x=2时，上式变为，
所以．
【点睛】
本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
40．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）
【答案】．
【分析】
先计算括号内的整式乘法，再去括号，然后计算整式的加减法即可得．
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
41．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）
【答案】．
【分析】
先计算积的乘方，再计算整式的乘法即可得．
【详解】
原式，
．
【点睛】
本题考查了积的乘方、整式的乘法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
42．（2020·上海市民办立达中学七年级月考）若（，为正整数），且，求的值．
【答案】2020
【分析】
根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
即．
∵，
∴，
即．
此时．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到a、b的值．
43．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．
（1）试确定和的值；
（2）求．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；
（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．
【详解】
解：（1）
，
∵多项式、，与的乘积中不含有和项，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得：
．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
44．（2019·上海七年级期末）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；
（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；
（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）将长方形向右平移，再向下平移
所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；
因此，重叠部分的面积为：；
（2）∵，，
∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，
∴重叠部分的面积=
= ．
=
（3）
=．
【点睛】
本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．
45．（2018·上海浦东新区·七年级期中）用一张长厘米、宽厘米（）的长方形纸打字，如果左右两边各空出1厘米，上下各空出2厘米，那么这张纸空出后的面积是多少？并求出时这张纸空出后的面积
【答案】4或6
【解析】
整体分析：
因为不确定是长空1厘米，还是宽空1厘米，所以需要分两种情况讨论.
解：①面积为(x﹣2)(y﹣4)=xy﹣4x﹣2y+8，
当x=6，y=5时，xy﹣4x﹣2y+8=4；
②面积为(x﹣4)(y﹣2)=xy﹣2x﹣4y+8，
当x=6，y=5时，y﹣2x﹣4y+8=6．
答：这张纸空出后的面积是xy﹣4x﹣2y+8或xy﹣2x﹣4y+8，当x=6，y=5时这张纸空出后的面积4平方厘米或6平方厘米.
46．（2019·上海市闵行区七宝第二中学）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）。
比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．
两数相乘可得：
.
（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位。）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如、、等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】
（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，由此可得出结论；
（2）根据两位数的表示方法即可得出结论．
（3）根据（1）即可得出结论．
【详解】
（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a=11a．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10-b）=9b+10．
故答案为：11a，9b+10．
（3）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案为：（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．
47．（2019·上海市进才实验中学七年级月考）（1）已知：则的值是_____
（2）如果记那么_____
（3）若则x=_____
（4）若则_____
【答案】（1）2001
（2）
（3）
（4）﹣120
【分析】
（1）根据题意，得到；再将原式进行变形即可得出答案
（2）先设原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后将a代入即可
（3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案
（4）采用赋值法进行计算
【详解】
（1）由题意得：；
∴======2001
（2）设，则；
∴，即
∴原式=
（3）=∙==192
∴
∴
∴
（4）当x=1时，1= ……①
当x=﹣1时，= ……②
当x=0时，1=
①＋②==
即=
∴=＋1=﹣120
【点睛】
本题主要考查了代数式的变形求值，掌握各类代数式求值的特点是解题关键
48．（2019·上海教院附中七年级月考）阅读下文，回答问题：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．
（1-x）（1+x+x2）=_______;
（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）计算上式并填空；
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；
（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.
【答案】（1）;;
（2）；
（3）.
【分析】
(1) 根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
(2) 观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
(3) 根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果.
【详解】
解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3=;
（1-x）（1+x+x2+x3）=;
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)=
∴399+398+397…+32+3+1=
【点睛】
本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键.
49．（2019·上海市西延安中学七年级期中）计算
（1） （2）
（3） （4）（简便运算）
【答案】（1）;（2）;（3）;（4）7.99
【分析】
（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可；
（2）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并即可；
（3）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（4）原式变形为然后利用完全平方公式与平方差公式展开再计算即可.
【详解】
解：
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）7.99.
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键．
50．（2018·上海同济大学附属存志学校七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
【答案】（1）长方形见详解，重叠部分的面积=；（2）重叠部分的面积=，；（3）．
【分析】
（1）根据题意，画出长方形，进而可得重叠部分的面积；
（2）根据题意得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，从而得重叠部分的面积，由重叠部分的长与宽的实际意义，列出关于x的不等式组，进而即可求解；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形的面积，即可．
【详解】
（1）长方形，如图所示：
∵在长方形中，，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的面积=；
（2）∵，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，
∴重叠部分的面积=，
∵且且，
∴；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，
六边形的面积=
=
=．
【点睛】
本题主要考查图形的平移变换以及用代数式表示几何图形的数量关系，掌握平移变换的性质，是解题的关键．
一、单选题
1．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据积的乘方的运算法则，分别将各项的结果计算出来再进行判断即可．
【详解】
A． ，故选项A错误；
B． ，故选项B错误；
C． ，故选项C错误；
D． ，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2019·上海市西延安中学七年级期中）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
3．（2021·上海九年级专题练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第20项的系数为（ ）
A．1B．18C．19D．20
【答案】D
【分析】
观察“杨辉三角”，根据已知图归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
观察“杨辉三角”可得以下两条规律：（其中，n为自然数）
（1）的展开式的项数为
（2）的展开式中第二项与倒数第二项的系数相同，均为（）
则的展开式共有21项，第20项为倒数第二项，其系数为20
故选：D．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，正确归纳出一般规律是解题关键．
4．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）下列式子中，正确的有( )
①m3∙m5=m15； ②（a3）4=a7； ③（-a2）3=-（a3）2； ④（3x2）2=6x6
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．
【详解】
解：①，故该项错误；②，故该项错误；③，，故该项正确；④，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，
故选：B．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5．（2020·上海七年级月考）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则对每个式子一一判断即可．
【详解】
A．，故A选项错误．
B．，故B选项错误．
C．，故C选项错误．
D．，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则，熟记同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则是解题关键．
6．（2020·上海文来实验学校七年级期中）已知，则代数式的值是（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
【答案】B
【分析】
先将用的代数式表示，然后再看成代入求解即可．
【详解】
解：由可知：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，将高次幂通过“降次”的思想，转化为低次幂求解即可．
7．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）下列运算正确的是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、整式的乘法逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、与不是同类项，不可合并，此项错误；
C、，此项正确；
D、表示的是n个相乘的积，表示的是n个的乘积与n个的乘积的和，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、整式的乘法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
8．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】
先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【详解】
，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
二、填空题
9．（2019·上海市长宁中学七年级月考）计算：﹣（2a）2（﹣2a）2＝__，（﹣4a3b）2＝___．
【答案】﹣16a4 16a6b2．
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则及积的乘方运算法则解答即可．
【详解】
解：﹣（2a）2•（﹣2a）2＝﹣4a2•4a2＝﹣16a4；
∴（﹣4a3b）2＝16a6b2．
故答案为：﹣16a4；16a6b2．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）计算:________________.
【答案】
【分析】
首先根据同底数幂的乘法法则的逆运算：，将变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法与积的乘方法则的逆运算，要牢记公式，灵活运用．
11．（2020·四川七年级期中）观察等式：；；…，若设，则用含的式子表示的结果是________．
【答案】
【分析】
由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2，那么250+251+252+…+299+2100=(2+22+23+…+2100)-(2+22+23+…+249)，将规律代入计算即可．
【详解】
∵2+22=23-2；
2+22+23=24-2；
2+22+23+24=25-2；
…
∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，
∴250+251+252+…+299+2100
=(2+22+23+…+2100)-(2+22+23+…+249)
=(2101-2)-(250-2)
=2101-250，
∵250=a，
∴2101=(250)2•2=，
∴原式=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，积的乘方等知识，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．
12．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学七年级期中）则_______________________
【答案】6
【分析】
根据同底数幂的乘法法则计算，先把写成•的形式，再求解就容易了．
【详解】
=•
=•=
故答案为:6.
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则是解题关键.
13．（2019·上海交大附中九年级）已知，则________．
【答案】2
【分析】
利用变形得，然后代入后面式子计算即可.
【详解】
∵
∴
∴
故答案为2
【点睛】
本题考查利用整体代入求代数式的值，降低未知数的次数和整体思想是解题的关键.
14．（2019·上海教院附中七年级月考）若 _______________.
【答案】10.
【分析】
逆用同底数幂的乘法法则即可解题..
【详解】
解：
故答案是：10.
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则（逆用），掌握同底数幂的乘法法则是解题关键.
15．（2020·上海七年级月考）若9×32m×33m＝322，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】
先变形9=32，再利用同底数幂的乘法运算法则运算，然后指数相等列等式求解即可．
【详解】
∵9×32m×33m=32×32m×33m＝32+2m+3m=322
∴2+2m+3m=22，即5m=20，
解得：m=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、等式的性质，灵活运用同底数幂的乘法运算法则是解答的关键．
16．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）若，则的值为___________．
【答案】．
【分析】
先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则对所求代数式变形，最后将已知条件代入求值即可．
【详解】
解：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则逆用，正确应用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则对代数式进行变形是解答本题的关键．
17．（2020·上海文来实验学校七年级期中）计算：=_____________
【答案】
【分析】
先计算整式的乘法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】
原式，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
18．（2020·上海南洋中学七年级期中）计算：________________．
【答案】
【分析】
根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方与幂的乘方的运算，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解答此题的关键．
19．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：= _________________．
【答案】
【分析】
根据积的乘方的逆用即可得．
【详解】
原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）若，则____________．
【答案】32
【分析】
根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用即可得．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．
21．（2020·上海南洋中学七年级期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含的的代数式表示）．
【答案】
【分析】
先根据三角形的面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
【详解】
解：∵三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，
∴此三角形的高为（a-1）米，
∴根据三角形的面积公式得：（平方米）；
故答案为：．
【点睛】
此题考查了单项式乘多项式以及三角形的面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
22．（2020·上海南洋中学七年级期中）若，则x=________________．
【答案】8或
【分析】
运用同底数幂的乘法法则进行求解即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴
∴x=或8．
故答案为：或8．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
23．（2019·上海七年级期末）计算：________．
【答案】
【分析】
根据多项式乘以多项式法则进行计算即可得到答案．
【详解】
=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再将结果合并同类项，熟记乘法法则是解题的关键．
24．（2020·上海七年级期末）计算：______．
【答案】9
【分析】
由同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算进行计算，即可求出答案．
【详解】
．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
25．（2019·上海市闵行区明星学校七年级月考）已知，，则________．
【答案】-3
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵m+n=2，mn=-2，
∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（2021·上海九年级专题练习）计算：____________．
【答案】．
【分析】
根据积的乘方法则计算即可.
【详解】
解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了积的乘方，熟练运用运算法则是解题的关键.
27．（2021·上海九年级二模）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，那么的值是_____（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】
此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以得到第n个数的规律．
【详解】
将条件数据1、3、6、10、15、21、…，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，
这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，
∴，（n≥1）．
所以=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形数的规律，掌握扩大2倍法寻找规律的方法是解题的关键．
28．（2021·上海九年级二模）计算：（﹣3a3）2＝______．
【答案】9a6
【分析】
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．
【详解】
解：原式＝（﹣3）2a3×2
＝9a6
故答案为：9a6．
【点睛】
本题考查积的乘方、幂的乘方的法则，熟练并正确使用法则是关键
29．（2019·上海市风华中学七年级期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x²−1
(x−1)(x²+x+1)=x³−1
(x−1)(x³+x²+x+1)=x−1…
根据以上规律， 求1+2+2²+…+__________.
【答案】22018-1
【分析】
把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.
【详解】
解：1+2+2²+…+
=（2-1）(1+2+2²+…+)
=22018-1
故答案为：22018-1
【点睛】
本题考查的是算式规律探究问题，根据题意归纳得出一般性规律是解答此题的关键.
30．（2019·上海市三门中学（上海财经大学附属初级中学）七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
【答案】
【分析】
由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【详解】
解：；
；
；
，
，
，
，
原式，
故答案是：．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
31．（2019·上海市长宁中学七年级月考）若am＝5，an＝2，求a2m+3n值．
【答案】200．
【分析】
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，变形计算即可．
【详解】
解：∵am＝5，an＝2，
∴a2m+3n＝a2m•a3n＝（am）2•（an）3＝52×23＝200．
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是掌握计算法则，并能熟练应用．
32．（2019·上海市长宁中学七年级月考）先化简，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．
【答案】﹣2x2+x+4，﹣18．
【分析】
原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝x3﹣x2﹣x2+x+2x2+4﹣x3﹣2x2+
＝﹣2x2++4，
当x＝﹣3时，
原式＝﹣18﹣4+4＝﹣18．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）把下列式子化成的形式:
【答案】
【分析】
将原式中的每项变成同度数幂，运用同底数幂的乘法法则进行计算即可得解．
【详解】
，
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法，掌握并熟练运用同底数幂的忒覅覅买基金解题的关键．
34．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）已知:试用分别表示和.
【答案】；．
【分析】
根据同底数幂的逆运算和幂的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】
∵
∴；
．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法与幂的乘方的运算公式是解题的关键．
35．（2019·上海浦东新区·七年级期中）欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为．
式子中的a、b的值各是多少？
请计算出原题的正确答案．
【答案】（1），；（2）
【分析】
根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值；
把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】
根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为，
那么，
可得
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，
可知
即，
可得，
解关于的方程组，可得，；
正确的式子：
【点睛】
本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
36．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）
（6）；
（7）
（8）
【答案】（1）－13；（2）；（3）92；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
【分析】
（1）先算乘方再根据减法法则计算即可；
（2）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（3）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（4）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（5）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（6）逆用乘法分配律进行计算即可；
（7）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（8）先将小数化为分数，再逆用积的乘方公式进行计算．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算及运算律，积的乘方，熟记运算法则及运算律是解题的关键．
37．（2020·上海七年级月考）已知，求的值．
【答案】－1
【分析】
由幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则对方程进行运算，列出关于n的一元一次方程，解方程得出n的值，再将n的值代入要求的式子求值即可．
【详解】
，
，
，
解得：．
所以．
【点睛】
本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则以及一元一次方程的求解，熟记运算法则，根据题意列方程求解是解题关键．
38．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）计算：
【答案】
【分析】
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法分别计算即可求解．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．
39．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）先观察下列各式的规律：
根据你的发现，试求：
（1）的值；
（2）的值
【答案】（1）127；（2）
【分析】
（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果；
（2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：，
当x=2时，上式变为，
所以=；
（2）同理可得：，
当x=2时，上式变为，
所以．
【点睛】
本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
40．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）
【答案】．
【分析】
先计算括号内的整式乘法，再去括号，然后计算整式的加减法即可得．
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
41．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）
【答案】．
【分析】
先计算积的乘方，再计算整式的乘法即可得．
【详解】
原式，
．
【点睛】
本题考查了积的乘方、整式的乘法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
42．（2020·上海市民办立达中学七年级月考）若（，为正整数），且，求的值．
【答案】2020
【分析】
根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
即．
∵，
∴，
即．
此时．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到a、b的值．
43．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．
（1）试确定和的值；
（2）求．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；
（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．
【详解】
解：（1）
，
∵多项式、，与的乘积中不含有和项，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得：
．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
44．（2019·上海七年级期末）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；
（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；
（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）将长方形向右平移，再向下平移
所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；
因此，重叠部分的面积为：；
（2）∵，，
∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，
∴重叠部分的面积=
= ．
=
（3）
=．
【点睛】
本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．
45．（2018·上海浦东新区·七年级期中）用一张长厘米、宽厘米（）的长方形纸打字，如果左右两边各空出1厘米，上下各空出2厘米，那么这张纸空出后的面积是多少？并求出时这张纸空出后的面积
【答案】4或6
【解析】
整体分析：
因为不确定是长空1厘米，还是宽空1厘米，所以需要分两种情况讨论.
解：①面积为(x﹣2)(y﹣4)=xy﹣4x﹣2y+8，
当x=6，y=5时，xy﹣4x﹣2y+8=4；
②面积为(x﹣4)(y﹣2)=xy﹣2x﹣4y+8，
当x=6，y=5时，y﹣2x﹣4y+8=6．
答：这张纸空出后的面积是xy﹣4x﹣2y+8或xy﹣2x﹣4y+8，当x=6，y=5时这张纸空出后的面积4平方厘米或6平方厘米.
46．（2019·上海市闵行区七宝第二中学）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）。
比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．
两数相乘可得：
.
（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位。）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如、、等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】
（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，由此可得出结论；
（2）根据两位数的表示方法即可得出结论．
（3）根据（1）即可得出结论．
【详解】
（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a=11a．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10-b）=9b+10．
故答案为：11a，9b+10．
（3）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案为：（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．
47．（2019·上海市进才实验中学七年级月考）（1）已知：则的值是_____
（2）如果记那么_____
（3）若则x=_____
（4）若则_____
【答案】（1）2001
（2）
（3）
（4）﹣120
【分析】
（1）根据题意，得到；再将原式进行变形即可得出答案
（2）先设原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后将a代入即可
（3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案
（4）采用赋值法进行计算
【详解】
（1）由题意得：；
∴======2001
（2）设，则；
∴，即
∴原式=
（3）=∙==192
∴
∴
∴
（4）当x=1时，1= ……①
当x=﹣1时，= ……②
当x=0时，1=
①＋②==
即=
∴=＋1=﹣120
【点睛】
本题主要考查了代数式的变形求值，掌握各类代数式求值的特点是解题关键
48．（2019·上海教院附中七年级月考）阅读下文，回答问题：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．
（1-x）（1+x+x2）=_______;
（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）计算上式并填空；
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；
（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.
【答案】（1）;;
（2）；
（3）.
【分析】
(1) 根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
(2) 观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
(3) 根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果.
【详解】
解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3=;
（1-x）（1+x+x2+x3）=;
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)=
∴399+398+397…+32+3+1=
【点睛】
本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键.
49．（2019·上海市西延安中学七年级期中）计算
（1） （2）
（3） （4）（简便运算）
【答案】（1）;（2）;（3）;（4）7.99
【分析】
（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可；
（2）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并即可；
（3）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（4）原式变形为然后利用完全平方公式与平方差公式展开再计算即可.
【详解】
解：
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）7.99.
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键．
50．（2018·上海同济大学附属存志学校七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
【答案】（1）长方形见详解，重叠部分的面积=；（2）重叠部分的面积=，；（3）．
【分析】
（1）根据题意，画出长方形，进而可得重叠部分的面积；
（2）根据题意得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，从而得重叠部分的面积，由重叠部分的长与宽的实际意义，列出关于x的不等式组，进而即可求解；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形的面积，即可．
【详解】
（1）长方形，如图所示：
∵在长方形中，，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的面积=；
（2）∵，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，
∴重叠部分的面积=，
∵且且，
∴；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，
六边形的面积=
=
=．
【点睛】
本题主要考查图形的平移变换以及用代数式表示几何图形的数量关系，掌握平移变换的性质，是解题的关键．
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