专题07公式法重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）

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一、单选题
1．（2020·上海宝山区·七年级期末）下列多项式中，完全平方式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式：，逐一判断即可．
【详解】
解：A、不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
B、不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
C、=，故本选项符合题意；
D、不符合完全平方式的特征，故不符合题意．
故选C．
【点睛】
此题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
2．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、是整式的乘法，此项不符题意；
B、，则等式左右两边不相等，此项不符题意；
C、没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意；
D、，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键．
3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）运算结果为的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解－公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
4．（2019·上海民办张江集团学校）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①
②
③
④
⑤
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可．
【详解】
①左边为三项，右边乘开为两项，故错误；
②右边(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左边，故错误；
③公因数2未提出来，故错误；
④a3﹣abc+a2b﹣a2c
=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)
=a2(a+b)﹣ac(a+b)
=a(a﹣c)(a+b)
④正确；
⑤等式右边的(8x+2y+4z)未提取公因数2，故错误．
综上，只有④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解答本题的关键．
二、解答题
5．（2020·上海）分解因式：x2－y2－2x－2y
【答案】．
【分析】
综合利用平方差公式和提取公因式法分解因式即可得．
【详解】
原式，
．
【点睛】
本题考查了因式分解，主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
6．（2019·上海市长宁中学七年级月考）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）x（x+8y）（x-3y）；（2）（x+2）（x-2）（x+2y）
【分析】
（1）先提公因式x，再进行十字相乘法因式分解；
（2）先将原式进行分组得到原式=x2（x+2y）-4（x+2y），再利用提取公因式法以及公式法分解因式即可．
【详解】
解：（1）原式=x（x2+5xy-24y2）=x（x+8y）（x-3y）；
（2）原式=x2（x+2y）-4（x+2y）=（x2-4）（x+2y）=（x+2）（x-2）（x+2y）．
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，在运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
7．（2019·上海市闵行区七宝第三中学七年级月考）因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】
先将原式转换为，再利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解.
【详解】
【点睛】
本题考查了因式分解，能观察式子的形式，发现完全平方公式和平方差公式，是解答此题的关键.
8．（2019·上海市闵行区七宝第三中学七年级月考）因式分解：
【答案】
【分析】
先利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式进行因式分解.
【详解】
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，掌握十字相乘法及平方差公式是解答此题的关键，注意一定观察结果是否可以继续进行因式分解.
9．（2018·上海民办兰生复旦中学七年级期末）因式分解：
【答案】
【分析】
后三项用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可.
【详解】
【点睛】
本题考查的是分解因式，掌握平方差公式及完全平方公式是关键.
10．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）因式分解：．
【答案】．
【分析】
先提取2，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】
原式，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了因式分解，主要方法包括提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
11．（2020·上海市建平中学西校）因式分解：．
【答案】
【分析】
直接提取找出公因式，进而利用公式法分解因式即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查提公因式与公式法因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】
直接提取公因式（2a-1），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及运用公式法分解因式，正确应用公式是解答此题的关键．
13．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）因式分解：
【答案】．
【分析】
利用平方差公式即可得．
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）
【答案】．
【分析】
综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．
15．（2020·上海八年级期中）因式分解：x2﹣4xy﹣3y2．
【答案】
【分析】
将原式进行变形，然后根据平方差公式和完全平方公式进行求解即可．
【详解】
=
=
=
【点睛】
本题考查了因式分解，题目的关键是掌握本部分的乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，并且要熟记其常用变形方法．
16．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）分解因式
【答案】(a+b)2(a-b)2
【分析】
先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.
【详解】
(a2+b2) 2-4a2 b2
=[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab]
=(a+b)2(a-b)2.
【点睛】
本题考查了综合利用平方差公式与完全平方公式因式分解，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.
17．（2021·上海）分解因式：
【答案】
【分析】
本题首先提取公因式，继而利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
原式．
【点睛】
本题考查因式分解，解题关键在于对平方差、完全平方公式、提公因式法等法则的运用，其次注意计算仔细．
18．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）利用分解因式计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用平方差公式运算；
（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．
19．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）把分解因式，并求时的值．
【答案】，16．
【分析】
先利用两次完全平方公式进行因式分解，再将t的值代入，计算有理数的乘方运算即可得．
【详解】
原式，
，
，
当时，原式．
【点睛】
本题考查了利用公式法进行因式分解、有理数的乘方运算，熟记完全平方公式是解题关键．
20．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）
【答案】
【分析】
先提公因式4，将（x+y）看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了提公因式法和完全平方公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a、b可以表示数、字母，也可以是整式．
21．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）
【答案】
【分析】
把原式看成“1”和“3（a-1）”的完全平方式，再利用公式法因式分解．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查公式法因式分解，把“”看成“”是解题关键．
22．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】
先利用完全平方公式进行分解，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
=
=
=．
【点睛】
本题考查了利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式的结构特征是解题的关键．
23．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）
【答案】
【分析】
利用平方差公式进行因式分解，再去括号、合并化简即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查用平方差公式因式分解、整式的加减运算，熟记平方差公式，灵活运用公式分解因式是解答的关键．
24．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）
【答案】
【分析】
首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查因式分解，熟练利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键．
25．（2021·上海）分解因式：x3+4x2+4x．
【答案】
【分析】
先提公因式，后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
x3+4x2+4x＝x（x2+4x+4）＝x（x+2）2
【点睛】
本题主要考查因式分解，涉及提公因式法和完全平方公式法，进行二次分解因式是关键，要特别注意分解因式要彻底．
26．（2018·上海）观察相应的等式，探究其中的规律：
（1）由下列等式
；
；
；
······
计算：（ ）
（2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： 说明理由： ．
【答案】（1）41；（2）结论：，说明理由：见解析．
【分析】
（1）计算，可得；
（2）设各个数为，则原式=，再适当去括号变形可得．
【详解】
解：（1）因为
故答案为：41
（2）
理由：根据已知可设：第一个数为n
则式子=
【点睛】
考核知识点：整式乘法和因式分解．掌握整式乘法法则和运用完全平方公式因式分解是关键．
27．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）因式分解：
【答案】(a-1)2(a-3)(a+1)
【分析】
根据完全平方公式、平方差公式和十字交叉法进行因式分解．
【详解】
＝
=
=
=
=(a-1)2(a-3)(a+1)
【点睛】
考查了利用公式法因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点和将
28．（2019·上海上外附中七年级期末）因式分解：
【答案】(x2+4x+6)(x2+8x+6)
【分析】
将原式的x+1与x+6、x+2与x+3分别相结合，利用多项式的乘法法则展开整理得到(x2+5x+6)(x2+7x+6)-3x2,,然后将得到的因式中x2+6看作一个整体，再展开，最后用十字相乘法分解因式即可.
【详解】
解：
=[][]-3x2
=(x2+5x+6)(x2+7x+6)-3x2
=( x2+6)2+12x(x2+6)+32x2
=(x2+4x+6)(x2+8x+6)
【点睛】
本题主要考查了多项式的乘法法则与十字相乘法的应用，在分解因式的过程中关键要恰当分组并注意整体思想方法的运用.
29．（2020·上海市泾南中学七年级期中）分解因式：
【答案】
【分析】
先分组,再根据完全平方公式和平方差公式进行分解因式.
【详解】
【点睛】
本题主要考查完全平方公式和平方差公式因式分解法,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式和平方差公式.
30．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】
根据因式分解的步骤方法，将式子中各项的位置调整为，然后分别用平方差公式和提公因式的方法进行每项的因式分解，最后在提取它们共同的公因式进行因式分解.
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法和步骤，能够根据式子的具体形式进行灵活变形是解决本题的关键.
31．（2019·上海黄浦区·）分解因式：．
【答案】
【分析】
利用分组因式分解的方法先将式子分成两组，再分别利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
解：
=
=
=
【点睛】
本题考查分组因式分解的方法，当多项式的项数比较多，并且没有公因式时，可考虑用分组因式分解的方法，先观察式子中有没有部分有公因式，并且公因式与剩下的有重合部分的，或者看有没有明显可以组成平方差或者完全平方公式的，先把这样的式子分成一组，进行因式分解，然后再观察式子，利用合适的方法进行因式分解.
32．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】
观察式子可发现：，故可设，，将原式变为进行化简分解，最后将A、B替换再化简即可.
【详解】
解：设，，
则,
∴原式=
=
=
=
=
=.
【点睛】
本题考查因式分解，观察得出式子之间的关系是解答本题的关键.
33．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】
先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
解：原式=
=
=.
【点睛】
本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键.
三、填空题
34．（2020·上海市建平中学西校）分解因式：______．
【答案】
【分析】
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了提公因式和平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法进行化简．
35．（2020·上海宝山区·七年级期末）分解因式：________．
【答案】
【分析】
利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：
=
=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解题关键．
36．（2021·上海宝山区·九年级期中）因式分解：__________．
【答案】．
【分析】
直接运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】
解：
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解遥方法是解答此题的关键．
37．（2021·上海青浦区·九年级二模）在实数范围内分解因式：y2﹣4x2＝_______________．
【答案】（y＋2x）（y﹣2x）
【分析】
利用平方差公式可以进行因式分解得出结论．
【详解】
解：y2﹣4x2＝（y＋2x）（y﹣2x）．
故答案为：（y＋2x）（y﹣2x）．
【点睛】
本题考查因式分解、平方差公式，会利用平方差公式可以进行因式分解是解答的关键．
38．（2020·上海金山区·八年级期中）在实数范围内分解因式：_________．
【答案】（x-2+）（x-2-）
【分析】
根据完全平方公式配方，然后再把5写成（）2利用平方差公式继续分解因式．
【详解】
解：原式=x2-4x+4-5
=（x-2）2-5
=（x-2+）（x-2-）．
故答案为：（x-2+）（x-2-）．
【点睛】
本题考查了实数范围内因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把5写成（）2的形式是解题的关键．
39．（2020·上海青浦区·九年级二模）在实数范围内分解因式：m2﹣2＝_________________．
【答案】（m＋）（m﹣）
【分析】
在实数范围内把2写作（）2，原式满足平方差公式的特点，利用平方差公式即可把原式分解因式．
【详解】
解：m2﹣2
＝m2﹣（）2
＝（m＋）（m﹣）．
故答案为：（m＋）（m﹣）
【点睛】
考核知识点：在实数范围内分解因式．运用二次根式性质ａ=（）2（a≥0）是解题关键．
40．（2021·上海九年级专题练习）在实数范围内分解因式：__________．
【答案】
【分析】
根据完全平方式进行配方，再运用平方差公式在实数范围内因式分解．
【详解】
=
故答案为：
【点睛】
考核知识点：在实数范围内分解因式，运用配方法和平方差公式进行因式分解是关键．
41．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3＝_____．
【答案】．
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式因式分解可求解．
【详解】
解：x2﹣4x﹣3
= x2﹣4x+4﹣7
=
＝（x﹣2+）（x﹣2﹣），
故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）．
【点睛】
本题考查了在实数范围内分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式是本题的关键．
42．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）因式分解：
①_______________
②_________________
【答案】
【分析】
①利用提取公因式法即可得；
②利用两次平方差公式即可得．
【详解】
①原式，
，
故答案为：；
②原式，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
43．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________ =（____）2；
【答案】
【分析】
对等式左边根据完全平方和公式进行配对填空，等式右边直接根据完全平方和公式填空．
【详解】
解：等式左边根据完全平方和公式常数项应为，这样等式左边即为，即，所以等式右边空格应填．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查完全平方和公式，熟练掌握完全平方和公式的结构特征是解题关键．
44．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．
【答案】4x10y3
【解析】
运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3．
故答案为4x10y3.
点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可求解.
45．（2020·上海八年级期中）方程组的解是_____．
【答案】
【分析】
首先需要将原方程组通过化简降次得到二元一次方程组，然后应用加减消元法求解即可．
【详解】
解：
由②，德（x+3y）（x﹣3y）＝7③，
把①代入③，得x+3y＝7④．
由①④联立，得
解这个方程组，得．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
46．（2019·上海市民办扬波中学） 分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝_____．
【答案】
【分析】
先去括号再合并同类项，最后分解因式
【详解】
解：（p+1）（p﹣4）+3p
＝p2﹣3p﹣4+3p
＝p2﹣4
＝（p+2）（p﹣2）．
故答案为：
【点睛】
此题考查多项式的因式分解，能想到先将多项式展开化简，再分解因式是解题关键．
47．（2019·上海市西南模范中学七年级期中）已知x2+ax+1＝0，＝14，则a＝_____．
【答案】±4．
【分析】
直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
【详解】
∵x2+ax+1＝0，
∴x+a+＝0，
则（x+）2＝a2，
∴x2++2＝a2，
∵＝14，
∴a2＝16，
∴a＝±4．
故答案为：±4．
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的应用，正确将已知变形是解题关键．
48．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）若，则_________________．
【答案】1
【分析】
先将转换成，再将代入求解即可．
【详解】
∵
∴原式

故答案为：1．
【点睛】
本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．
49．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）在有理数范围内分解因式:_________________．
【答案】
【分析】
利用十字相乘法分解可得，转换成的形式，整理合并同类项即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．
50．（2019·上海市宛平中学七年级期中）因式分解：（1）____________
（2）__________________
【答案】； .
【分析】
(1)运用用十字相乘法分解因式即可.
(2)先确定公因式2(a-2b)，然后提公因式即可.
【详解】
解：（1）
（2）
=
=
=
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解要注意的是：有公因式一定要先提取公因式，然后再用其他发方法，另外分解因式要分解到不能再分解为止.