专题02分式的乘除重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）

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一、单选题
1．化简：＝（ ）
A．﹣xB．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据乘法分配律计算，再合并同类项即可求解．
【详解】
解：
＝×x2﹣×x2
＝x﹣
＝．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了分式的混合运算，关键是灵活运用运算定律简便计算．
2．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
A．分钟B．分钟
C．分钟D．分钟
【答案】C
【分析】
根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解
【详解】
解：由题意得：分钟．
故选：C
【点睛】
本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键．
3．甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（ ）
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定
【答案】C
【分析】
算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可．
【详解】
甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：
乙杯中红墨水的比例为，蓝墨水的比例为，
再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是a-a•=毫升①
乙杯中减少的蓝墨水的数量是a•=毫升，②
∵①=②
∴故选C．
【点睛】
考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系；用到的知识点为：纯墨水的质量=总质量×相应的浓度．
二、解答题
4．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据乘法公式、分式混合运算的性质计算，即可得到答案；
（2）根据乘法公式、分式混合运算的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
=
=
=
=
=；
（2）
=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算及分式的化简，正确运用分式的运算法则进行运算是解题的关键．
5．计算：
【答案】
【分析】
根据乘法公式、分式混合运算的性质计算，即可得到答案．
【详解】
=
=
=．
【点睛】
本题考查乘法公式和分式的计算，解题的关键是掌握乘法公式和分式混合运算的性质，从而完成求解．
6．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）当x取什么整数时的值为整数．
【答案】（1）真分式；（2）x+2﹣；（3）x＝3
【分析】
（1）根据真分式的定义求解即可；
（2）原式变形为＝，再进一步化简即可；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则变形得出原式＝，再进一步变形为＝﹣2+，结合分式有意义的条件可得答案．
【详解】
解：（1）分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）
＝
＝
＝x+2-；
（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣2+，
∵x≠±1且x≠0，x≠2，
∴当x＝3时，原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键．
7．先化简，再求值：，在0，1，2三个数中选一个合适的作为x的值代入求值．
【答案】
【分析】
先对分式进行化简，再进行求值即可；
【详解】
解：，
，
，
，
∵且，
∴x只能是1，
∴原式；
【点睛】
本题主要考查了分式化简求值，准确计算是解题的关键．
8．（1）因式分解
①
②
（2）先化简，再求值：
其中且为整数，请从的以上范围中选一合适的数代入求值．
【答案】（1）①；②；（2），
【分析】
(1)①仔细观察，可以发现这是一个完全平方公式，利用公式即可进行因式分解，②先提取公因式，在利用公式法因式分解；
(2)先根据公式法和提取公因式法将题目化简，然后根据分式的意义和取值范围得出答案即可．
【详解】
解：(1)①
=
；
②
=
=
=；
(2)
∵要使分式有意义，
∴，，即且，即，，
又∵，且x为整数
∴x=2
将x=2代入原式中
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解答此题的关键在于对提取公因式法和公式法的熟练运用，然后根据分式的意义和未知数的取值范围确定未知数的值代入求解．
9．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
【详解】
解：
；
当时，原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
10．先化简，再求值：，再从－2，2，3中选一个恰当的数作为x的值，代入求值．
【答案】，
【分析】
分式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，然后代入求值．
【详解】
解：
=÷
=·
=
=
由题意可得：x≠0且x≠±2
∴当x=3时，原式=
【点睛】
本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
11．先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】
根据分式的混合运算法则，先算括号里的再算乘除，把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】
解：原式
．
当时，
原式．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
12．计算：
（1）
（2）．
【答案】(1)，(2) ；
【分析】
(1)先把分母变成相同，再根据同分母分式加法计算即可；
(2)先计算括号内的分式减法，再与括号外的分式进行计算即可．
【详解】
解:(1) ，
=，
=，
=．
(2) ．
=，
=，
=．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算．
13．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
【答案】
【分析】
首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解一元一次不等式组，求出整数解，最后代值计算．
【详解】
解：原式
．
不等式组：
解不等式组得：-1≤a≤2，
∴a的整数解是-1，0，1，2．
又∵a≠1且a≠0，a≠-1，a为整数，
∴a可取值为2．
当a=2时，原式=
故答案为．
【点睛】
考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
14．观察下列式子，并探索它们的规律：
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？
【答案】（1）①；② ；（2）1或3
【分析】
（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；
（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x取什么值时，的值为整数．即可得到答案．
【详解】
解：（1）①．
故答案为．
②
故答案为．
（2）
当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，
即或时，的值为整数．
∴，．
即当x为1或3时，的值为整数．
【点睛】
本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．
15．先化简，再求值：，其中a是整数，且满足，请取一个合适的a值代入求值．
【答案】；当时，原式
【分析】
根据分式的性质进行化简，再代入求值即可；
【详解】
解：，
，
，
，
∵a是整数，且满足，
∴，
由题意得，，
∴当时，原式；
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，准确计算是解题的关键．
16．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式，（用含n的等式表示），并证明．
【答案】
【分析】
（1）根据第1个等式：，第2个等式：，……第5个等式：可推出第6个等式为；
（2）根据（1）中等式特点，可得出规律，利用异分母分式加减法可证明结论．
【详解】
解：（1）∵第1个等式：，即；
第2个等式：，即；
第3个等式：，即；
第4个等式：，即；
第5个等式：，即；
∴第6个等式为：，即；
故答案为：．
（2）由（1）可知，第n个等式为：
，
证明：∵右边==左边．
∴等式成立．
【点睛】
此题考查了数字变化类问题，明确题意，得出题目中等式的特点是解题的关键．
17．先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】．
【分析】
先利用分式的四则混合运算法则对原分式化简，然后再解不等式确定不等式的整数解，最后选择合适的x的值代入求解即可．
【详解】
解：原式=
不等式2x﹣3＜7，
解得：x＜5，
其正整数解为1，2，3，4．
当x=1时，原式=．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值、求一元一次不等式的整数解等知识点，正确确定x的取值成为解答本题的关键．
18．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据分式化简的基本步骤：通分、约分、化为最简后利用条件求值；
（2）根据分式化简的基本步骤：括号里先通分、除以一个数等于乘上一个数的倒数、约分、化为最简后利用条件求值．
【详解】
解：（1）原式

当时，
原式．
（2）原式
，
，
则原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简和求值，解题的关键是：根据分式化简的基本步骤，将分式化简后，再求值．
19．化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．
【答案】 ，时，-1.
【分析】
首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行分式的乘除法计算得出化简结果，根据分式的性质、三角形的三边关系定理得出a的值，然后代入化简后的式子即可得出答案．
【详解】
解：原式==，
∵与、构成的三边，且为整数
∴，
由题可知、、，
∴，
∴原式=．
【点睛】
本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．本题需要注意的是在选择a的值的时候，一定要保证原分式有意义．
20．计算：（）2÷（﹣）×．
【答案】
【分析】
先乘方，把除法转化为乘法后，再约分化简，结果要化为最简分式．
【详解】
解：()2÷(﹣)×
=××
=
21．计算：
【答案】
【解析】
分析：分别根据二次根式的化简以及完全平方根式和零指数幂的计算法则计算各数，再根据实数混合运算的法则计算即可.
详解：原式
点睛：此题考查了零指数幂、二次根式的化简及相关计算以及实数的混合运算的法则，正确掌握这些法则是解决问题的关键.
22．先化简，再求值：，其中x=．
【答案】 .
【解析】
【分析】
首先把除法运算转化成乘法运算，分式的分子、分母能分解因式的先分解因式，进行约分，然后进行减法运算，最后代值计算.
【详解】
原式=﹣•
=﹣
=﹣
=，
当x==﹣1时，
原式===1．
故答案为：
【点睛】
这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分.
23．计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的乘除法运算法则计算即可.
【详解】
=
=
【点睛】
本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键.
24．计算：
【答案】-y
【解析】
【分析】
先把被除式及除式的分母因式分解，再根据分式的除法法则计算，最后根据分式的乘法法则计算即可得答案.
【详解】
原式=x(y-x)÷
=-x(x-y)
=-y.
【点睛】
本题考查了分式的除法和乘法，熟练掌握运算法则是解题关键.
25．计算：.
【答案】
【分析】
掌握零指数幂、实数的运算、负整数指数幂的计算法则，结合题意计算即可.
【详解】
原式
【点睛】
此题考查零指数幂、实数的运算、负整数指数幂，解题关键在于掌握运算法则.
26．计算：
【答案】-2
【分析】
先分别计算开立方，0次方，负指数幂，再计算除法，最后加法.
【详解】
解：原式=
【点睛】
，
27．计算：；
【答案】
【分析】
先去括号，再合并同类项即可.
【详解】
原式=
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方，关键是熟练掌握运算规则.
28．计算：(x-2-y-2)÷(x-1-y-1)
【答案】
【分析】
被除数利用平方差公式分解，约分后即可得解.
【详解】
(x-2-y-2)÷(x-1-y-1)
=（x-1+y-1）（x-1-y-1）÷（x-1-y-1）
=（x-1+y-1）
=.
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，求解关键是合理的确定运算顺序，每一步都要有根有据，防止出现马虎类错误．
29．
【答案】
【分析】
先计算负指数幂，积的乘方，再将除法乘法约分化简即可.
【详解】
解：原式=
=
=
【点睛】
本题考查分式的乘除混合运算和积的乘方运算，熟练掌握负指数幂的计算是解题的关键.
30．．
【答案】．
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
原式＝＝
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
31．先化简，再求的值，其中．
【答案】，
【分析】
原式先根据分式的乘除运算法则化简，再把x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=．
当时，原式=．
【点睛】
本题考查了分式的乘除与代数式求值，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
32．计算：
【答案】
【分析】
原式先根据平方差公式分解因式，括号内合并后再计算乘法即可．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
本题考查了分式的运算、负整数指数幂的意义和因式分解等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
33．计算：x﹣1÷[x（x﹣1）﹣1]•x（x+1）﹣1．
【答案】
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质以及整式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】
解：x﹣1÷[x（x﹣1）﹣1]•x（x+1）﹣1
=
=
=．
【点睛】
此题考查负整数指数幂运算法则，分式的乘除法计算法则，根据负整数指数幂定义将代数式化为正整数指数幂进行运算是解题的关键．
34．计算：．
【答案】
【分析】
先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，正确的对分式中的分子、分母进行因式分解成为解答本题的关键．
35．先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3.
【答案】化简为，值为.
【分析】
先对第二项两个分式的分子和分母进行因式分解，再约分，然后将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的减法进行计算.
【详解】
解：原式




将，
原式.
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解决本题的关键是能对原分式分母、分子进行因式分解，并进行约分，将异分母分式化为同分母分式，最终的结果能约分的一定要约分.
36．若，求的值
【答案】
【分析】
设，从而得x=3k，y=4k，z=5k；通过整式和分式的运算性质计算，即可得到答案．
【详解】
设，
∴x=3k，y=4k，z=5k
∴
=
=
=．
【点睛】
本题考查了整式、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式、分式运算的性质，从而完成求解．
三、填空题
37．化简的结果是_______．
【答案】2
【分析】
先约分，再算加法，然后把除法化为乘法，进而即可求解．
【详解】
原式=
=
=
=
=2，
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查分式的化简，掌握分式的四则混合运算法则，是解题的关键．
38．计算：（-1）+-= _______ ；
【答案】-2
【解析】
原式
39．计算：=_____．
【答案】
【解析】
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．所以==，故答案为.
40．计算：
（1）（）2=_____；
（2） =_____．
【答案】
【分析】
（1）直接利用分式乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用分式除法运算法则计算得出答案．
【详解】
（1）（）2=；
故答案为；
（2） ==．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了分式的乘除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
41．计算：__________．
【答案】.
【分析】
本题可以按照分式的除法法则运算，将除数的分子分母颠倒后再与被除数相乘即可，注意约分化简.
【详解】
解：，
故答案为.
【点睛】
本题易按照(x÷x2+x÷x)进行运算从而产生错误，本质上是分式的除法运算.
42．计算： __________.
【答案】
【解析】
【分析】
先把除法化为乘法运算，再把分子和分母中的公因式约去即可得到结果.
【详解】
先把除法化为乘法运算,则
=
=
【点睛】
本题考查分式的除法，熟练掌握计算法则是解题关键.
43．约分:____________________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．
【详解】
原式= .
故答案是：
【点睛】
此题考查约分，解题关键在于掌握运算法则.
44．已知 则整数的值是___________
【答案】3，1，−5.
【分析】
分三种情况讨论：①x−2＝1时，②x−2＝−1时，③x＋5＝0时，分别求解即可．
【详解】
解：∵，
∴①x−2＝1时，x＝3，成立，
②x−2＝−1时，x＝1，∴x＋5＝6，成立，
③当x＋5＝0时，x＝−5，成立，
∴整数x的值是3，1，−5．
故答案为：3，1，−5．
【点睛】
本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是分类讨论．
45．计算：=______.
【答案】
【分析】
根据负分数指数幂的知识计算即可
【详解】
【点睛】
本题的关键是掌握负分数指数幂的知识
46．计算的值是__________
【答案】1
【分析】
将除法运算转化为乘法运算，再进行约分即可得到答案.
【详解】
，
=
=1.
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了分式的除法运算，关键把除法运算转化为乘法运算，然后进行约分.
47．计算：=______________.
【答案】.
【分析】
将除法化成乘法，约去分子与分母中的公因式即可得到答案.
【详解】
故填：.
【点睛】
此题考察分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，再将结果化为最简分式即可.
48．计算：=_______________.
【答案】.
【分析】
先将被除数乘方得，将除以化成乘以，将结果化简即可.
【详解】
.
故填：.
【点睛】
此题考察分式的除法，有乘方先计算乘方，再将除法变成乘法进行计算.
49．计算：_____
【答案】1
【分析】
先把前面的分式的分子和分母因式分解以及把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】
解：原式=
故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法：先把分式的分子或分母因式分解，然后进行约分得到最简分式或整式；有除法运算先要转化为乘法运算．
50．计算：__________________
【答案】.
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再利用除法法则计算即可.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握分式乘除法的运算法则．