（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案1.4《基本不等式》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求和的最值)已知x>0，y>0，xy＝16，则x＋y的最小值为( )
A．32 B．24 C．4eq \r(2) D．8
解析：选D 由基本不等式得x＋y≥2eq \r(xy)＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．
2．(求积的最值)若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则eq \r(xy)的最大值为( )
A．9 B．18 C．36 D．81
解析：选A 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．(基本不等式成立的条件)若x<0，则x＋eq \f(1,x)( )
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D 因为x<0，所以－x>0，－x＋eq \f(1,－x)≥2eq \r(1)＝2，
当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋eq \f(1,x)≤－2.
4．(重要不等式的应用)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(eq \r(2)y)2≥2x(eq \r(2)y)＝2eq \r(2)，当且仅当x＝eq \r(2)y且xy＝1时等号成立，
所以x2＋2y2的最小值为2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
二、易错点练清
1．(忽视变量的范围)函数f(x)＝2x＋eq \f(3,x)＋1(x<0)的最大值为________．
解析：∵x<0，∴f(x)＝2x＋eq \f(3,x)＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(3,－x)))＋1≤－2 eq \r(－2x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,x))))＋1＝1－2eq \r(6)，
当且仅当－2x＝－eq \f(3,x)，即x＝－eq \f(\r(6),2)时，等号成立，∴f(x)的最大值为1－2eq \r(6).
答案：1－2eq \r(6)
2．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x≥2时，x＋eq \f(4,x＋2)的最小值为________．
解析：设x＋2＝t，则x＋eq \f(4,x＋2)＝t＋eq \f(4,t)－2.又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋eq \f(4,t)－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4，即x＝2时，t＋eq \f(4,t)－2即x＋eq \f(4,x＋2)取得最小值，最小值为4＋eq \f(4,4)－2＝3.
答案：3
考点一 利用基本不等式求最值
考法(一) 拼凑法求最值
[例1] (1)已知f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)(x>0)，则f(x)的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为________．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq \f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1，
∵x>0，∴x＋1>1，∴x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1≥2eq \r(4)＋1＝5，当且仅当x＋1＝eq \f(4,x＋1)，即x＝1时取“＝”．
∴f(x)的最小值是5，故选D.
(2)依题意得eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2ab)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2 eq \r(\f(a＋b,2)×\f(8,a＋b))＝4，
当且仅当eq \f(a＋b,2)＝eq \f(8,a＋b)，即a＋b＝4时取等号．因此，eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为4.
[答案] (1)D (2)4
[方法技巧]
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
考法(二) 常数代换法求最值
[例2] (1)已知函数y＝lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值是( )
A．3＋eq \r(2) B．3＋2eq \r(2) C.eq \f(9,2) D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[解析] (1)由y＝lga(x－1)＋2的图象恒过定点A可知A(2,2)．所以2m＋2n＝2，所以m＋n＝1.
又因为m>0，n>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2 eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当n＝eq \r(2)m时，取等号．
(2)因为3a＋b＝2ab，所以eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a)＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)(eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a))＝2＋eq \f(3a,2b)＋eq \f(b,2a)≥2＋eq \r(3)，
当且仅当eq \f(3a,2b)＝eq \f(b,2a)时取等号，即a＋b的最小值为2＋eq \r(3).
[答案] (1)B (2)2＋eq \r(3)
[方法技巧]
1．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常数代换法求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
考法(三) 放缩法求最值
[例4] (1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________．
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[解析] (1)∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
∴(eq \r(ab))2－2eq \r(ab)－3≥0，∴(eq \r(ab)－3)(eq \r(ab)＋1)≥0，∴eq \r(ab)－3≥0，∴eq \r(ab)≥3，即ab≥9.
∴ab的最小值为9.
(2)∵x>0，y>0，∴9－(x＋3y)＝xy＝eq \f(1,3)x·(3y)≤eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))2，当且仅当x＝3y时等号成立．
设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t>0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
[答案] (1)9 (2)6
[方法技巧]
放缩法解不等式求最值的方法
将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出所求最值的代数式的结构，然后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．设a>0，则a＋eq \f(a＋4,a)的最小值为( )
A．2eq \r(a＋4) B．2 C．4 D．5
解析：选D a＋eq \f(a＋4,a)＝a＋1＋eq \f(4,a)≥1＋2 eq \r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若x<0，则－x>0，x＋eq \f(1,x)＝－(－x)＋eq \f(1,－x)≤－2，∴“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的充分条件；
若x＋eq \f(1,x)≤－2，则eq \f(x2＋2x＋1,x)≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的必要条件．
综上，“x<0”是“x＋eq \f(1,x)≤－2”的充要条件．故选C.
3．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x) B．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)(0解析：选D 对于选项A，当x>0时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2；当x<0时，y＝x＋eq \f(1,x)≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于04．(多选)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是( )
A．ab有最大值eq \f(1,4) B.eq \r(a)＋eq \r(b)有最小值eq \r(2)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4 D．a2＋b2有最小值eq \f(\r(2),2)
解析：选AC ∵a>0，b>0，且a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2eq \r(ab)，∴ab≤eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，∴ab有最大值eq \f(1,4)，∴A正确．
∵(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)≤a＋b＋2×eq \f(a＋b,2)＝2，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，
∴eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，即eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2)，B错误．
∵eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)≥eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2)＝4，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4，∴C正确．
∵a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)＝eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，
∴a2＋b2的最小值不是eq \f(\r(2),2)，∴D错误，故选A、C.
5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2
解析：选C 设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，
所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤eq \f(x＋y2,4)＝eq \f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
6．若x>1，则x＋eq \f(4,x－1)的最小值为________．
解析：x＋eq \f(4,x－1)＝x－1＋eq \f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时等号成立．
答案：5
二、综合练——练思维敏锐度
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D 由1＝2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)，变形为2x＋y≤eq \f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．
则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选B 法一：由于a＋b＝ab≤eq \f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，
当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
3．已知a>0，b>0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9 C．5 D．4
解析：选A ∵eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))＝10＋eq \f(a,b)＋eq \f(9b,a)
≥10＋2eq \r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq \f(4,3)时等号成立，故选A.
4．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3 C．6 D．12
解析：选B ∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq \f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3x2＋3,2x)＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥
2eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq \f(3x,2)＝eq \f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.
5．若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．7＋2eq \r(3) B．6＋2eq \r(3) C．7＋4eq \r(3) D．6＋4eq \r(3)
解析：选C 由题意得eq \r(3a＋4b)＝eq \r(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)(eq \f(4,a)＋eq \f(3,b))＝4＋3＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥7＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq \r(3)，当且仅当eq \r(3)a＝2b时取等号．故选C.
6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(8,3) C．8 D．24
解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,3)(2x＋3y)(eq \f(3,x)＋eq \f(2,y))＝eq \f(1,3)(12＋eq \f(9y,x)＋eq \f(4x,y))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋2 \r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，当且仅当x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,2)时等号成立，所以eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值为8，故选C.
7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)的最小值为( )
A．2 B．2＋eq \r(2) C．4 D．2＋2eq \r(2)
解析：选D 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以eq \f(1,2)(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(2a＋b＋c,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)＝2＋eq \f(2c,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)≥2＋2eq \r(2)，
当且仅当a＋b＝eq \r(2)c，即c＝2eq \r(2)－2时，等号成立，所以eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)的最小值为2＋2eq \r(2).
8．正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D 因为a>0，b>0，eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(9,b))＝10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)≥10＋2eq \r(9)＝16，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，令f(x)＝x2－4x－2，则f(x)＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
9．若关于x的不等式x＋eq \f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：∵x＋eq \f(4,x－a)＝x－a＋eq \f(4,x－a)＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.
则(x－a)＋eq \f(4,x－a)≥2 eq \r(x－a·\f(4,x－a))＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，
又∵x－a＋eq \f(4,x－a)≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.
答案：1
10．(1)当x＜eq \f(3,2)时，求函数y＝x＋eq \f(8,2x－3)的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值．
解：(1)y＝eq \f(1,2)(2x－3)＋eq \f(8,2x－3)＋eq \f(3,2)＝－eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)＋eq \f(3,2).
当x＜eq \f(3,2)时，有3－2x＞0，∴eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)≥2eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，
当且仅当eq \f(3－2x,2)＝eq \f(8,3－2x)，即x＝－eq \f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq \f(3,2)＝－eq \f(5,2)，故函数的最大值为－eq \f(5,2).
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝eq \r(x4－2x)＝eq \r(2)·eq \r(x2－x)≤ eq \r(2)·eq \f(x＋2－x,2)＝eq \r(2)，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值为eq \r(2).