（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.1《函数及其表示》 (2份打包，原卷版+教师版)

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核心素养立意下的命题导向
1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(相等函数的判断)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2－1)与g(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)
B．f(x)＝x与g(x)＝eq \f(x3＋x,x2＋1)
C．y＝x与y＝(eq \r(x))2
D．f(x)＝eq \r(x2)与g(x)＝eq \r(3,x3)
答案：B
2．(函数的定义域)函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为________________．
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
3．(函数的值域)已知函数f(x)＝2x﹣3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x﹣3＝﹣1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{﹣1,1,3,5,7}．
答案：{﹣1,1,3,5,7}
4．(求函数的解析式)已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,3a＋3b＝4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(2,3)，))则f(x)＝2x﹣eq \f(2,3).
答案：2x﹣eq \f(2,3)
5．(分段函数求值)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x＋1，x≤0，))则f(f(eq \f(1,4)))的值是________．
解析：由题意可得f(eq \f(1,4))＝lg2eq \f(1,4)＝﹣2，∴f(f(eq \f(1,4)))＝f(﹣2)＝3﹣2＋1＝eq \f(10,9).
答案：eq \f(10,9).
二、易错点练清
1．(对函数概念理解不清)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是( )
A．f：x→y＝eq \f(1,2)x B．f：x→y＝eq \f(1,3)x C．f：x→y＝eq \f(2,3)x D．f：x→y＝eq \r(x)
解析：选C 对于C，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以C不是函数．
2．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤﹣2或x≥0，所以x≤﹣2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4﹣eq \r(x－1)≥1，即eq \r(x－1)≤3，所以1≤x≤10.
综上所述，x≤﹣2或0≤x≤10，即x∈(﹣∞，﹣2]∪[0,10]．
答案：(﹣∞，﹣2]∪[0,10]
3．(忽视新元范围)已知f(eq \r(x))＝x﹣1，则f(x)＝________.
解析：令t＝eq \r(x)，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2﹣1(t≥0)，即f(x)＝x2﹣1(x≥0)．
答案：x2﹣1(x≥0)
考点一 函数的定义域
考法(一) 求函数的定义域
[例1] (1)函数f(x)＝eq \f(lnx＋3,\r(1－2x))的定义域是( )
A．(﹣3,0) B．(﹣3,0]
C．(﹣∞，﹣3)∪(0，＋∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(﹣3,0)
(2)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x+eq \f(1,2))＋f(x-eq \f(1,2))的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
[解析] (1)∵f(x)＝eq \f(lnx＋3,\r(1－2x))，∴要使函数f(x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,1－2x>0，))解得﹣3即函数的定义域为(﹣3,0)．故选A.
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x＋\f(1,2)≤2，,0≤x－\f(1,2)≤2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)，,\f(1,2)≤x≤\f(5,2)，))∴eq \f(1,2)≤x≤eq \f(3,2).故选C.
[答案] (1)A (2)C
[方法技巧]
1．根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
考法(二) 已知函数的定义域求参数
[例2] 若函数f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( )
A．[0,4) B．(0,4) C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析] 由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,m2－4m≤0，))解得0[答案] D
[方法技巧]
已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
[针对训练]
1．函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定义域为( )
A．(﹣1,3] B．(﹣1,0)∪(0,3] C．[﹣1,3] D．[﹣1,0)∪(0,3]
解析：选B 要使函数有意义，x需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得﹣1所以函数的定义域为(﹣1,0)∪(0,3]．故选B.
2．若函数f(x＋1)的定义域是[﹣1,1]，则函数f(lg SKIPIF 1 < 0 x)的定义域为________．
解析：∵f(x＋1)的定义域是[﹣1,1]，∴f(x)的定义域是[0,2]．令0≤lg SKIPIF 1 < 0 x≤2，解得eq \f(1,4)≤x≤1，
∴函数f(lg SKIPIF 1 < 0 x)的定义域为[eq \f(1,4),1].
答案：[eq \f(1,4),1].
3．已知函数y＝eq \f(1,kx2＋2kx＋3)的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
解析：当k＝0时，y＝eq \f(1,3)，满足条件；当k≠0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,4k2－12k<0，))得0答案：[0,3)
考点二 求函数解析式
[典题例析]
(1)已知f(eq \f(2,x)＋1)＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(﹣x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (1)(换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t，得x＝eq \f(2,t－1)，代入得f(t)＝lg eq \f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg eq \f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2). 所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(﹣x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(﹣x)＝2﹣x，②
①×2﹣②，得3f(x)＝2x＋1﹣2﹣x.即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.
[方法技巧] 求函数解析式的常用方法
[针对训练]
1．(换元法)已知函数f(x﹣1)＝eq \f(x,x＋1)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2) B．f(x)＝eq \f(x,x＋1) C．f(x)＝eq \f(x－1,x) D．f(x)＝eq \f(1,x＋2)
解析：选A 令x﹣1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝eq \f(t＋1,t＋2)，即f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2).故选A.
2．(配凑法)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，求f(x)的解析式．
解：因为f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5＝(2x＋1)2﹣10x＋4＝(2x＋1)2﹣5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2﹣5x＋9(x∈R)．
3．(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，求f(x)的解析式．
解：∵2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，①
∴把①中的x换成eq \f(1,x)，得2f(eq \f(1,x))＋f(x)＝eq \f(3,x).②
联立①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)，))解此方程组可得f(x)＝2x﹣eq \f(1,x)(x≠0)．
考点三 分段函数
考法(一) 分段函数求值
[例1] (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≤0，,fx－3，x>0，))则f(5)的值为( )
A．﹣7 B．﹣1 C．0 D.eq \f(1,2)
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x，x>0，,ax＋b，x≤0))(0A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
[解析] (1)f(5)＝f(5﹣3)＝f(2)＝f(2﹣3)＝f(﹣1)＝(﹣1)2﹣2﹣1＝eq \f(1,2).故选D.
(2)由题意得，f(﹣2)＝a﹣2＋b＝5，① f(﹣1)＝a﹣1＋b＝3，②
联立①②，结合0所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x，x>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1，x≤0，))则f(﹣3)＝(eq \f(1,2))﹣3＋1＝9，f(f(﹣3))＝f(9)＝lg39＝2，故选B.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
考法(二) 分段函数与方程、不等式结合
[例2] (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x＋1)，－1A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x≥1，,\f(1,1－x)，x<1，))则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(﹣∞，2] B．(﹣∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(﹣∞，0]∪[1,2]
[解析] (1)由题意得a>0.
当0当a≥1时，由f(a)＝f(a﹣1)，得2a＝2(a﹣1)，不成立．
故选D.
(2)当x≥1时，不等式f(x)≤1为lg2x≤1，即lg2x≤lg22，
∵函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，∴1≤x≤2.
当x<1时，不等式f(x)≤1为eq \f(1,1－x)≤1，∴eq \f(1,1－x)﹣1≤0，∴eq \f(x,1－x)≤0，∴eq \f(x,x－1)≥0，∴x≤0或x>1(舍去)，
∴f(x)≤1的解集是(﹣∞，0]∪[1,2]．故选D.
[答案] (1)D (2)D
[方法技巧]
解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,1－lg2x，x>0，))则f(f(3))＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(2,3) C．﹣eq \f(4,3) D．﹣3
解析：选A 因为f(3)＝1﹣lg23＝lg2eq \f(2,3)<0，所以f(f(3))＝f(lg2eq \f(2,3))＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(4,3)，故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,2x－1，x>0))且f(a)＝1，则实数a的值等于( )
A．1 B.eq \r(2) C．﹣1 D．﹣eq \r(2)
解析：选AD ∵f(a)＝1且f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,2x－1，x>0，))
当a≤0时，有f(a)＝a2﹣1＝1，解得a＝﹣eq \r(2)或a＝eq \r(2)(舍去)．
当a>0时，有f(a)＝2a﹣1＝1，解得a＝1.
综上可得，a＝﹣eq \r(2)或a＝1.故选A、D.
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0，))若a[f(a)﹣f(﹣a)]>0，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) D．(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)
解析：选D 当a≥0时，不等式可化为a(a2＋a﹣3a)>0，
即a2＋a﹣3a>0，即a2﹣2a>0，解得a>2或a<0(舍去)；
当a<0时，不等式可化为a(﹣3a﹣a2＋a)>0，
即﹣3a﹣a2＋a<0，即a2＋2a>0，解得a<﹣2或a>0(舍去)．
综上，实数a的取值范围为(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)下面各组函数中是同一函数的是( )
A．y＝eq \r(－2x3)与y＝xeq \r(－2x) B．y＝eq \r(x2)与y＝|x|
C．y＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)与y＝eq \r(x＋1x－1) D．f(x)＝x2﹣2x﹣1与g(t)＝t2﹣2t﹣1
解析：选BD 选项A中，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数．故选B、D.
2．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1，x≤1，,5－x2，x>1，))则f(f(2))＝( )
A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2
解析：选A 由题意知，f(2)＝5﹣4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.
3．函数y＝eq \f(lg1－x2,2x2－3x－2)的定义域为( )
A．(﹣∞，1] B．[﹣1,1] C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
解析：选C 要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,2x2－3x－2≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1所以函数y＝eq \f(lg1－x2,2x2－3x－2)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\a\vs4\al(|)－14．已知函数f(x＋1)的定义域为(﹣2,0)，则f(2x﹣1)的定义域为( )
A．(﹣1,0) B．(﹣2,0) C．(0,1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
解析：选C ∵函数f(x＋1)的定义域为(﹣2,0)，即﹣2则f(x)的定义域为(﹣1,1)．由﹣1<2x﹣1<1，得05．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≥2，,lg2x，0A．﹣2 B．8 C．1 D．2
解析：选D 当m≥2时，由m2﹣1＝3，得m2＝4，解得m＝2；
当06．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8 B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝﹣3x﹣4 D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝﹣3x﹣4
解析：选B 令t＝3x＋2，则x＝eq \f(t－2,3)，所以f(t)＝9×eq \f(t－2,3)＋8＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2，故选B.
7．(多选)具有性质：f(eq \f(1,x))＝﹣f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．y＝ln eq \f(1－x,1＋x) B．y＝eq \f(1－x2,1＋x2) C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01)) D．y＝sin eq \f(1－x2,1＋x2)
解析：选BCD 对于A，令f(x)＝y＝ln eq \f(1－x,1＋x)，则f(eq \f(1,x))＝ln eq \f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝ln eq \f(x－1,x＋1)≠﹣f(x)，不满足“倒负”变换；
对于B，令f(x)＝y＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(eq \f(1,x))＝eq \f(1－\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq \f(x2－1,x2＋1)＝﹣eq \f(1－x2,1＋x2)＝﹣f(x)，满足“倒负”变换；
对于C，令f(x)＝y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))当01，f(x)＝x，f(eq \f(1,x))＝﹣x＝﹣f(x)；
当x>1时，0当x＝1时，eq \f(1,x)＝1，f(x)＝0，f(eq \f(1,x))＝f(1)＝0＝﹣f(x)，满足“倒负”变换；
对于D，令f(x)＝y＝sineq \f(1－x2,1＋x2)，则f(eq \f(1,x))＝sin eq \f(1－\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝sin eq \f(x2－1,x2＋1)＝
﹣sineq \f(1－x2,1＋x2)＝﹣f(x)，满足“倒负”变换．故选B、C、D.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x＋1，x≥1，,1，x<1，))则满足f(2x＋1)A．(﹣∞，0] B．(3，＋∞) C．[1,3) D．(0,1)
解析：选B 由f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x＋1，x≥1，,1，x<1))可得当x<1时，f(x)＝1，
当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝lg22＝1，
要使得f(2x＋1)1，))解得x>3，
即不等式f(2x＋1)9．已知函数f(2x)＝lg2x＋x，则f(4)＝________.
解析：令x＝2，则f(22)＝f(4)＝lg22＋2＝1＋2＝3.
答案：3
10.若函数f(x)在闭区间[﹣1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为___________________．
解析：由题图可知，当﹣1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝﹣eq \f(1,2)x，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2.))答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2))
11．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<0，,2x，x≥0，))且f(﹣2)＝3，f(﹣1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－2＝3，,f－1＝f1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝3，,－a＋b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x<0，,2x，x≥0.))
(2)f(x)的图象如图所示．
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,2x＋2，－11，求a的取值范围．
解：法一：数形结合
画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)>1的a的取值范围为(﹣∞，﹣2)∪(﹣eq \f(1,2),1).
法二：分类讨论
①当a≤﹣1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<﹣1，得a>0或a<﹣2，又a≤﹣1，∴a<﹣2；
②当﹣11，得a>﹣eq \f(1,2)，又∵﹣1③当a≥1时，由eq \f(1,a)﹣1>1，得0综上可知，a的取值范围为(﹣∞，﹣2)∪(﹣eq \f(1,2),1).函数
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
待定
系数法
当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
配凑法
将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式
解方程
组法
如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式