(小白高考)新高考数学(零基础)一轮复习教案8.2《两条直线的位置关系》 (2份打包,原卷版+教师版)
展开1.结合斜率公式,判断两条直线平行或垂直,凸显逻辑推理的核心素养.
2.结合解方程组求两条相交直线的交点坐标,凸显数学运算的核心素养.
3.结合距离问题,考查距离公式的应用,凸显数学运算、直观想象的核心素养.
[理清主干知识]
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行:
①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直:
①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=﹣1.
②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
2.两条直线的交点的求法
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))的解.
3.三种距离公式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1.过点(1,0)且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是( )
A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0
C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x﹣y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.eq \r(2) B.2﹣eq \r(2) C.eq \r(2)﹣1 D.eq \r(2)+1
3.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是( )
A.(﹣a﹣1,﹣b﹣1) B.(﹣b﹣1,﹣a﹣1)
C.(﹣a,﹣b) D.(﹣b,﹣a)
4.过两直线l1:x﹣3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为__________.
二、易错点练清
1.平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是( )
A.eq \f(8,5) B.2 C.eq \f(11,5) D.eq \f(7,5)
2.若直线l1:x+y﹣1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a=________.
3.已知直线(m+1)x+(2m﹣1)y=3与(3m﹣1)x﹣(2m2﹣11m+5)y=5平行,则实数m的值为________.
考点一 两直线的平行与垂直
[典题例析]
(1)(多选)直线l1:x+my﹣1=0,l2:(m﹣2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是( )
A.若l1∥l2,则m=﹣1或m=3 B.若l1∥l2,则m=﹣1
C.若l1⊥l2,则m=﹣eq \f(1,2) D.若l1⊥l2,则m=eq \f(1,2)
(2)已知直线l1:mx+y﹣1=0与直线l2:(m﹣2)x+my﹣2=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(3)已知经过点A(﹣2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,﹣1)和点Q(a,﹣2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为________.
[方法技巧] 由一般式方程确定两直线位置关系的方法
[提醒] 当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
[针对训练]
1.“直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y﹣2=0平行”是“m=2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知直线l1:mx+y+4=0和直线l2:(m+2)x﹣ny+1=0(m>0,n>0)互相垂直,则eq \f(m,n)的取值范围为________.
3.若直线l1:x+2my﹣1=0与l2:(3m﹣1)x﹣my﹣1=0平行,则实数m的值为________.
考点二 两直线的交点与距离问题
[典例] (1)经过两条直线l1:x+y﹣4=0和l2:x﹣y+2=0的交点,且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程为________________.
(2)直线l过点P(﹣1,2)且到点A(2,3)和点B(﹣4,5)的距离相等,则直线l的方程为________________.
[方法技巧]
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式解题的注意点
(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0﹣a|,到直线y=b的距离d=|y0﹣b|;
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.
[针对训练]
1.点(0,﹣1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
2.若直线l与两直线y=1,x﹣y﹣7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,﹣1),则直线l的斜率是( )
A.﹣eq \f(2,3) B.eq \f(2,3) C.﹣eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
3.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,﹣1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是__________.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直,那么a的值等于( )
A.1 B.﹣eq \f(1,3) C.﹣eq \f(2,3) D.﹣2
2.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知A(4,﹣3)关于直线l的对称点为B(﹣2,5),则直线l的方程是( )
A.3x+4y﹣7=0 B.3x﹣4y+1=0
C.4x+3y﹣7=0 D.3x+4y﹣1=0
4.直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( )
A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0
C.﹣3x+4y﹣5=0 D.﹣3x+4y+5=0
5.已知点P(4,a)到直线4x﹣3y﹣1=0的距离不大于3,则a的取值范围是( )
A.[﹣10,10] B.[﹣10,5] C.[﹣5,5] D.[0,10]
6.经过直线3x﹣2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,且平行于直线x﹣y+4=0的直线方程为__________.
二、综合练——练思维敏锐度
1.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定
2.三条直线l1:x﹣y=0,l2:x+y﹣2=0,l3:5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形,则k的取值范围是( )
A.k∈R
B.k∈R且k≠±1,k≠0
C.k∈R且k≠±5,k≠﹣10
D.k∈R且k≠±5,k≠1
3.(多选)已知直线l1:2x+3y﹣1=0和l2:4x+6y﹣9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为( )
A.2x+3y﹣8=0 B.4x+6y+5=0
C.6x+9y﹣10=0 D.12x+18y﹣13=0
4.若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y﹣3=0的距离为eq \r(10),则m=( )
A.7 B.eq \f(17,2) C.14 D.17
5.直线ax+y+3a﹣1=0恒过定点M,则直线2x+3y﹣6=0关于M点对称的直线方程为( )
A.2x+3y﹣12=0 B.2x﹣3y﹣12=0
C.2x﹣3y+12=0 D.2x+3y+12=0
6.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5) C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
7.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是 (﹣4,2),(3,1),则点C的坐标为( )
A.(﹣2,4) B.(﹣2,﹣4) C.(2,4) D.(2,﹣4)
8.与直线x﹣2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是__________.
9.若两直线kx﹣y+1=0和x﹣ky=0相交且交点在第二象限,则k的取值范围是________.
10.已知方程(2+λ)x﹣(1+λ)y﹣2(3+2λ)=0与点P(﹣2,2).
(1)证明:对任意的实数λ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标;
(2)证明:该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
类型
条件
距离公式
两点间
的距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=
eq \r(x2-x12+y2-y12)
点到直线
的距离
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=eq \f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2))
两平行直线
间的距离
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d=eq \f(|C1-C2|,\r(A2+B2))
直线方程
l1:A1x+B1y+C1=0(Aeq \\al(2,1)+Beq \\al(2,1)≠0),
l2:A2x+B2y+C2=0(Aeq \\al(2,2)+Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2平行
的充分条件
eq \f(A1,A2)=eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
eq \f(A1,A2)=eq \f(B1,B2)=eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
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