（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.3《圆的方程及综合问题》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2.
[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2﹣4F的符号，只有大于0时才表示圆．
3．谨记常用结论
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
(1)当F＝0时，圆过原点．
(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
[重温经典]
1．(教材改编题)圆x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(﹣2,3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)
答案：D
2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2
答案：D
3．(易错题)方程x2 ＋y2＋mx﹣2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞) B．(﹣∞，﹣2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(﹣∞，﹣eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞) D．(﹣∞，﹣2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
答案：B
4．若点(1,1)在圆(x﹣a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣1,1) B．(0,1) C．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
答案：A
5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(﹣1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________．
解析：设圆C的方程为(x﹣a)2＋y2＝r2，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－a2＋4＝r2，,－1－a2＋16＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,r2＝20，))所以圆C的方程为(x﹣1)2＋y2＝20.
答案：(x﹣1)2＋y2＝20
6．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y﹣10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．
解析：由题意，设圆C的方程为(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2，
因为点B(4,2)在直线2x＋y﹣10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y﹣10＝0的切点，
连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y﹣10＝0垂直，
则kBC＝eq \f(1,2)，则BC的方程为y﹣2＝eq \f(1,2)(x﹣4)，整理得x﹣2y＝0，
由线段AB的垂直平分线的方程为3x﹣y﹣5＝0，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即圆心坐标为C(2,1)，
又由r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝eq \r(4－22＋2－12)＝eq \r(5)，所以圆的方程为(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝5.
答案：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝5
知识点二 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
2．圆的切线
(1)过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)(y﹣b)＝r2.
(2)过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
(3)切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3．圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|.
4．谨记常用结论
过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
[重温经典]
1．(教材改编题)直线l：x﹣y＋1＝0与圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆的方程化为(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为
eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，
可知eq \f(1,a)＝ eq \r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.
答案：1
6．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，则常数a＝________.
解析：两圆的圆心距d＝eq \r(－42＋a2)，由两圆相切，得eq \r(－42＋a2)＝5＋1或eq \r(－42＋a2)＝5﹣1，
解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0.
第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅰ·考查弦长问题)已知圆x2＋y2﹣6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 将圆的方程x2＋y2﹣6x＝0化为标准方程(x﹣3)2＋y2＝9.
设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l.
因为(1﹣3)2＋22＜9，所以点A(1,2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小．
设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝eq \r(3－12＋0－22)＝2eq \r(2)，
所以|BD|min＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(32－2\r(2)2)＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
2．(2020·全国卷Ⅲ·考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用)
若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq \f(1,2) C．y＝eq \f(1,2)x＋1 D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)
解析：选D 设直线l在曲线y＝eq \r(x)上的切点为(x0，eq \r(x0))，则x0>0，函数y＝eq \r(x)的导数为y′＝eq \f(1,2\r(x))，
则直线l的斜率k＝eq \f(1,2\r(x0)) .设直线l的方程为y﹣eq \r(x0)＝eq \f(1,2\r(x0))(x﹣x0)，即x﹣2eq \r(x0)y＋x0＝0.
由于直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,5)相切，则eq \f(x0,\r(1＋4x0))＝eq \f(1,\r(5))，
两边平方并整理得5xeq \\al(2,0)﹣4x0﹣1＝0，解得x0＝1或x0＝﹣eq \f(1,5)(舍去)，
所以直线l的方程为x﹣2y＋1＝0，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).
3．(2018·全国卷Ⅲ·考查距离问题、直线与圆的位置关系)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x﹣2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8] C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
解析：选A 设圆(x﹣2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝eq \r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|2＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，
可得dmax＝2eq \r(2)＋r＝3eq \r(2)，dmin＝2eq \r(2)﹣r＝eq \r(2).由已知条件可得|AB|＝2eq \r(2)，
所以△ABP面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq \f(1,2)|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 求圆的方程
[典例] (1)已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝﹣x﹣4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1
(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为_______________________________________________________．
[解析] (1)到两直线3x﹣4y＝0,3x﹣4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x﹣4y＋5＝0，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C.
(2)法一：几何法
∵所求圆的圆心在直线x﹣3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
∴d2＋(eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：待定系数法
设所求圆的方程为(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
∴r2＝eq \f(a－b2,2)＋7，即2r2＝(a﹣b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x﹣3y＝0上，∴a﹣3b＝0，③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：待定系数法
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D﹣E)2＋56＝2(D2＋E2﹣4F)．② 又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x﹣3y＝0上，∴D﹣3E＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
[答案] (1)C (2)x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
[方法技巧]
1．求圆的方程的2种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[针对训练]
1．已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝6，则圆C的标准方程为( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25 B．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝36
C．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝16 D．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝49
解析：选A 圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0可化为(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|3－8－15|,5)＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25.故选A.
2．已知圆C的圆心是直线x﹣y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．
解析：由题意知圆心C(﹣1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离d＝3eq \r(2)，由两圆相外切可得R＋2eq \r(2)＝d＝3eq \r(2)，∴R＝eq \r(2).∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
题型二 弦长问题
[典例] (1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝ 3asin A＋3bsin B，则直线l：ax﹣by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4eq \r(6) B．2eq \r(6) C．6 D．5
(2)过点(1,1)的直线l与圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为__________．
[解析] (1)因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0,0)，半径为r＝2eq \r(3)，圆心O到直线l的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \r(3)，
所以直线l被圆O所截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2\r(3)2－\r(3)2)＝6，故选C.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，但|AB|≠4，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k(x﹣1)．由|AB|＝4，得eq \f(|k－2|,\r(1＋k2))＝eq \r(5)，解得k＝﹣eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y﹣1＝﹣eq \f(1,2)(x﹣1)，即x＋2y﹣3＝0.
[答案] (1)C (2)x＋2y﹣3＝0
[方法技巧] 解决有关弦长问题的常用方法及结论
[针对训练]
1．已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝3及直线l：ax＋y﹣2a﹣2＝0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．
解析：由l：ax＋y﹣2a﹣2＝0得a(x﹣2)＋y﹣2＝0，∴不论a取何值，直线l恒过点P(2,2)．
∵12＋12＝2eq \r(3)，相离；
k＝﹣1时，D到直线l的距离为eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(r
deq \a\vs4\al(＝)r
d