（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.6《抛物线》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养．
2．结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
3．抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝﹣p2；
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(1,2)|AB||d|＝eq \f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(抛物线的标准方程)已知抛物线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4eq \r(2)x
解析：选D 由已知知双曲线的焦点为(﹣eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.故选D.
2．(抛物线的定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.eq \f(17,16) B．eq \f(15,16) C.eq \f(7,8) D．0
解析：选B M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝﹣eq \f(1,16)，设M(x，y)，
则y＋eq \f(1,16)＝1，∴y＝eq \f(15,16).
3．(抛物线的性质)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
解析：选D 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)．
由题意得eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.
二、易错点练清
1．(忽视抛物线的标准形式)抛物线y＝﹣2x2的准线方程是( )
A．x＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,8) C．y＝eq \f(1,2) D．y＝eq \f(1,8)
解析：选D 抛物线方程为x2＝﹣eq \f(1,2)y，所以p＝eq \f(1,4)，准线方程为y＝eq \f(1,8).
2．(忽视抛物线的开口方向)过点P(﹣2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝﹣eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y B．y2＝eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
C．y2＝eq \f(9,2)x或x2＝﹣eq \f(4,3)y D．y2＝﹣eq \f(9,2)x或x2＝﹣eq \f(4,3)y
解析：选A 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(﹣2,3)，解得k＝﹣eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，
所以y2＝﹣eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.故选A.
3．(忽视焦点的位置)若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，则此抛物线的标准方程为______________．
解析：令x＝0，得y＝﹣2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，﹣2)，
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝﹣8y.
答案：y2＝16x或x2＝﹣8y
考点一 抛物线的定义及应用
[典例] (1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
[解析] (1)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝﹣eq \f(p,2)的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以eq \f(p,2)＝12﹣9，解得p＝6.故选C.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq \r(6).
因为eq \r(6)＞2，所以点A在抛物线内部，如图所示．过点P作PQ⊥l于点Q，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|(运用定义进行转化)，
当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小(两点之间，线段最短)，
最小值为eq \f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq \f(7,2)，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
所以所求点P的坐标为(2,2)．
[答案] (1)C (2)eq \f(7,2) (2,2)
[方法技巧]
1．利用抛物线的定义可解决的常见问题
2．抛物线定义的应用规律
[提醒] 建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域．
[针对训练]
1．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．8 B．2eq \r(13) C．2＋eq \r(41) D．eq \r(65)
解析：选D 由题意可知，p＝2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝xA＋1＝5，∴xA＝4，代入抛物线方程，得yeq \\al(2,A)＝16，不妨取点A为(4,4)．如图，设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E(﹣3,0)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AE|＝eq \r(4＋32＋42)＝eq \r(65).
考点二 抛物线的标准方程
[典例] (1)已知抛物线y2＝ax上的点M(1，m)到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝3x D．y2＝5x
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[解析] (1)由题得点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m))到准线的距离为2，所以1＋eq \f(a,4)＝2，解得a＝4.
所以该抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))设点M(x0，y0)，
则AF―→＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，AM―→＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).
由已知得，AF―→·AM―→＝0，即yeq \\al(2,0)﹣8y0＋16＝0，
因而y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5，得 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5.
又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
抛物线的标准方程的求法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝﹣2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
[针对训练]
1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
解析：选C 如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝eq \f(1,2)|FC|＝eq \f(3,2)，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C.
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，
设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\a\vs4\al( \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
考点三 抛物线的几何性质
[典例] (1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C．(1,0) D．(2,0)
(2)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
[解析] (1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2eq \r(p)，不妨设D(2,2eq \r(p))，E(2，﹣2eq \r(p))．
由OD⊥OE，可得OD―→·OE―→＝4﹣4p＝0，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).
(2)依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq \r(2)，所以N(0,4eq \r(2))，|FN|＝eq \r(4＋32)＝6.
[答案] (1)B (2)6
[方法技巧]
抛物线几何性质的应用技巧
(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．
[针对训练]
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2) C.eq \f(3\r(2),2) D．2eq \r(2)
解析：选C 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，
|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，y1＝2eq \r(2).设AB的方程为x﹣1＝ty，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x－1＝ty，))消去x得y2﹣4ty﹣4＝0.
所以y1y2＝﹣4，所以y2＝﹣eq \r(2)，x2＝eq \f(1,2)，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×1×|y1﹣y2|＝eq \f(3\r(2),2)，故选C.
2．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
解析：选BCD 因为抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，所以p＝eq \f(1,2)，
所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).对于A，|PF|＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，故A错误．
对于B，kPF＝eq \f(4,3)，所以lPF：y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得：4y2﹣3y﹣1＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(3,4)，y1y2＝﹣eq \f(1,4)，所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \r(y1＋y22－4y1·y2)＝eq \f(5,32)，故B正确．
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y﹣1＝k(x﹣1)，与y2＝x联立得：ky2﹣y＋1﹣k＝0，
Δ＝1﹣4k(1﹣k)＝0,4k2﹣4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，所以切线方程为x﹣2y＋1＝0，故C正确．
对于D，依题意斜率存在，设lPM：y﹣1＝k(x﹣1)，与y2＝x联立得：ky2﹣y＋1﹣k＝0，
所以yM＋1＝eq \f(1,k)，即yM＝eq \f(1,k)﹣1，则xM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2，所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2，\f(1,k)－1))，
同理Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))2，－\f(1,k)－1))，所以kMN＝eq \f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))2)＝eq \f(\f(2,k),－\f(4,k))＝﹣eq \f(1,2)，故D正确．故选B、C、D.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq \f(1,2)，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq \f(1,2)，根据抛物线的定义可得eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(eq \r(3)，0) B．(0，eq \r(3)) C．(2eq \r(3)，0) D．(0,2eq \r(3))
解析：选A 抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq \r(3)，就是顶点到焦点的距离是eq \r(3)，即eq \f(p,2)＝eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为(eq \r(3)，0)．故选A.
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选D 依题意，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于OF的垂直平分线x＝eq \f(p,4)上，圆心到准线x＝﹣eq \f(p,2)的距离为6，即eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝8，故选D.
4．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：选A 由|AB|＝4eq \r(2)及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2eq \r(2)，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2﹣1＝1，故选A.
5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|﹣|PE|的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝﹣2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x＝﹣2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，
故点P到x＝﹣2的距离等于|PF|，所以|PE|＝|PF|﹣2，故|PF|﹣|PE|＝2，故选B.
6．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2eq \r(a))(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4eq \r(a)＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
二、综合练——练思维敏锐度
1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：选C ∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝﹣eq \f(p,2).
∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－2))＝4.∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：选A 由题意知抛物线的准线为x＝﹣eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A.
3．双曲线eq \f(x2,m)﹣eq \f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.eq \f(3,16) B．eq \f(3,8) C.eq \f(16,3) D．eq \f(8,3)
解析：选A ∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝2，∴eq \f(1,\r(m))＝2，
∴m＝eq \f(1,4)，∴n＝eq \f(3,4)，∴mn＝eq \f(3,16).
4．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq \r(5)，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．1 D．4
解析：选D 依题意，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，如图，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶eq \r(5)，则|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝eq \f(0－2,\f(a,4)－0)＝﹣eq \f(8,a)，kFN＝﹣eq \f(|KN|,|KM|)＝﹣2，∴eq \f(8,a)＝2，解得a＝4.
5．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
解析：选B 连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝( )
A．6 B．8 C．12 D．16
解析：选D 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝eq \f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq \f(y2,\f(y\\al(2,2),4)－1)＝eq \f(y1,\f(y\\al(2,1),4)－1)⇒y1y2＝﹣4.由△AOB的面积为4，得eq \f(1,2)|y1﹣y2|×1＝4，所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),4)＋2＝16.
7．已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x﹣2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析：选B 把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，又直线AB，AC是圆(x﹣2)2＋y2＝1的两条切线，
易得AB方程为y﹣2＝eq \r(3)(x﹣2)，AC方程为y﹣2＝﹣eq \r(3)(x﹣2)，
联立AB方程和抛物线方程得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－\f(4,\r(3))，\f(2,\r(3))－2))，同理：Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)＋\f(4,\r(3))，－\f(2,\r(3))－2))，
由B，C两点坐标可得直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0，所以选B.
8．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则下列说法正确的是( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
解析：选ACD ∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.
∵△ABF的面积为eq \f(\r(3),4)|BF|2＝9eq \r(3)，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
9．若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______.
解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝﹣2，又点P(m，n) 到焦点的距离为8m，
所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝eq \f(2,7).
答案：eq \f(2,7)
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λeq \(OB,\s\up7(―→))，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
与y2＝2px联立，消去y得4x2﹣5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq \f(5p,4).
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由(1)得4x2﹣5px＋p2＝0，即x2﹣5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝﹣2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2)，
从而A(1，﹣2eq \r(2))，B(4,4eq \r(2))．
设C(x3，y3)，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝(x3，y3)＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λeq \(OB,\s\up7(―→))＝(1，﹣2eq \r(2))＋λ(4，4eq \r(2))＝(4λ＋1,4eq \r(2)λ﹣2eq \r(2))．
又yeq \\al(2,3)＝8x3，所以[2eq \r(2)(2λ﹣1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ﹣1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝﹣2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝﹣2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝﹣eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝﹣eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝﹣x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝﹣y0＋eq \f(p,2)
轨迹
问题
用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线
距离
问题
涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化