（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案10.1《两个计数原理、排列与组合》 (2份打包，原卷版+教师版)

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列第一节　两个计数原理、排列与组合核心素养立意下的命题导向1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．两个计数原理2．排列与组合的概念3．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \o\al(m,n)表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \o\al(m,n)表示．(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用Aeq \o\al(n,n)表示n个不同元素的全排列数．4．排列数、组合数的公式及性质[澄清盲点误点]一、关键点练明1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为(　　)A．12种 B．7种 C．4种 D．3种2．将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)A．2 160 B．720 C．240 D．1203．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)A．18 B．24 C．30 D．364．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　　)A．24种 B．60种 C．90种 D．120种二、易错点练清1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有________种不同的取法．2．从1,2,3，…，10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有________个．3．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．考点一　两个计数原理及应用[典例]　(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24 B．18 C．12 D．9(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．[方法技巧](1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．(2)分类标准要明确，做到不重复不遗漏．(3)混合问题一般是先分类再分步．(4)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．　　[针对训练]1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)A．180种 B．360种 C．720种 D．960种考点二　排列问题[典例]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．[方法技巧]　求解排列应用问题的5种主要方法[针对训练]1．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)A．Aeq \o\al(18,18)种 B．Aeq \o\al(20,20)种 C．Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(3,18)Aeq \o\al(10,10)种 D．Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(18,18)种2．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法种数为(　　)A．Aeq \o\al(2,6)Aeq \o\al(2,7) B．Aeq \o\al(3,4)Aeq \o\al(2,7) C．Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(2,6)Aeq \o\al(2,7) D．Aeq \o\al(3,4)Aeq \o\al(6,6)Aeq \o\al(2,7)考点三　组合问题[典例]　已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．[方法技巧]　组合问题的2种题型及解法[针对训练]1．(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)A．若任意选科，选法总数为Ceq \o\al(2,4)B．若化学必选，选法总数为Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,3)C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,3)D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,2)＋12．现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________．eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(　　)A．26 B．60 C．18 D．1 0802．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)A．10种 B．25种 C．52种 D．24种3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)A．504 B．210 C．336 D．1204．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)A．120种 B．90种 C．60种 D．30种5．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有________个．6．某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)二、综合练——练思维敏锐度1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)A．192种 B．216种 C．240种 D．288种2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)A．4种 B．6种 C．10种 D．16种3．(多选)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是(　　)A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D．所有不同分派方案共43种4．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　　)A．Ceq \o\al(2,10)Aeq \o\al(4,8) B．Ceq \o\al(1,9)Aeq \o\al(5,9) C．Ceq \o\al(1,8)Aeq \o\al(5,9) D．Ceq \o\al(1,8)Aeq \o\al(5,8)5．从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数，则满足条件的五位数共有(　　)A．864个 B．432个 C．288个 D．144个6.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(　　)A．22种 B．24种 C．25种 D．27种7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)A．12种 B．10种 C．9种 D．8种8．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种．(用数字作答)9．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，则4只鞋子恰成两双的不同情况有________种；4只鞋子没有成双的不同情况有________种．10．将甲、乙等5名交警分配到三个不同的路口疏导交通，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________种．11．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．12．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m·n种不同的方法名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组公式(1)Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)；(2)Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)性质(1)0！＝eq \a\vs4\al(1)；Aeq \o\al(n,n)＝eq \a\vs4\al(n！)；(2)Ceq \o\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))；Ceq \o\al(m,n＋1)＝eq \a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))直接法适用于没有限制条件的问题优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中间接法正难则反，等价转化的方法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理