黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-—2024学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-—2024学年九年级上学期期中考试数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a8÷a4＝a2C．2m+3n＝5mnD．（a2）3＝a6
3．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）用科学记数法表示27900000正确的是（ ）
A．2.79×106B．279×106C．2.79×107D．2.79×108
6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
7．（3分）反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大（ ）
A．a≥﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AP为⊙O的切线，且∠P＝36°，则∠ACB的度数为（ ）
A．36°B．54°C．63°D．72°
9．（3分）如图，D是△ABC的边AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点D作BE的平行线交AC于点F，若EF＝1（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象（含备用零钱）是26元，则他一共带了（ ）
A．15B．32.4C．40D．45
二、填空题：（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）把多项式3m2﹣3分解因式的结果为 ．
13．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外，形状、大小、质地等完全相同的球，那么从中摸出一个小球，摸到白球的概率为 ．
14．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是 ．
15．（3分）计算：﹣＝ ．
16．（3分）不等式组的解集为 ．
17．（3分）某产品原来每件800元，由于连续两次降价，现价为每件648元，则每次降价率为 ．
18．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是 cm．
19．（3分）矩形ABCD中，对角线交于点O，点E在对角线BD上，，OE＝2，则AE的长度为 ．
20．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，tan∠C＝2，BC﹣AD＝3 ．
三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝2tan60°﹣4sin30°．
22．（7分）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为6；
（2）在图2中以AB为边画一个直角△ABE，点E在小正方形的顶点上，满足△ABE的面积为6．
23．（8分）我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校1200名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
（1）本次活动共抽取了多少名同学？
（2）补全条形统计图；
（3）根据以上调查结果分析，估计该校1200名学生中，对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE
（1）求证：∠DEC＝∠BAE；
（2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，试直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．
25．（10分）六•一前夕，某幼儿园园长到服装店选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，两种服装全部售出后，要使总的获利不低于1200元
26．（10分）如图1，△ABC为圆内接三角形，AE⊥BC于D交O于点E
（1）求证：DG＝DE；
（2）如图2，连接BE，作OM⊥BE于M；
（3）在（2）的条件下，连接OG、CE，BG＝2FC+2FG，，求CD长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2﹣2ax+3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 OC＝OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，P为第二象限抛物线上的一点，连接AC、AP、PC，△PAC的面积为S，用含t的式子表示S；
（3）如图3，在（2）的条件下，将线段AO绕点A逆时针旋转90度（O的对应点为H），D为y轴负半轴上一点，F为线段AH上一点，连接AP交OF于点Q，连接HQ，∠PQH＝45°，∠ADO﹣∠AOF＝45°
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】根据相反数的定义进行判断即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a8÷a4＝a2C．2m+3n＝5mnD．（a2）3＝a6
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据合并同类项判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝a5，故该选项不合题意；
B选项，原式＝a4，故该选项不合题意；
C选项，6m与3n不是同类项，故该选项不合题意；
D选项，原式＝a6，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，掌握（am）n＝amn是解题的关键．
3．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，如图，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【解答】解：A．图形是中心对称图形，不符合题意；
B．图形既是轴对称图形，正确；
C．图形是轴对称图形，不符合题意；
D．图形是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
5．（3分）用科学记数法表示27900000正确的是（ ）
A．2.79×106B．279×106C．2.79×107D．2.79×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可．
【解答】解：27900000＝2.79×107．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
【分析】根据左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）5+3向左平移3个单位，再向上平移5个单位2+3+8，即y＝﹣2（x+4）7+5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
7．（3分）反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大（ ）
A．a≥﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
【分析】先根据反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，
∴a+3＜5，解得a＜﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝中，当k＜0时函数图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AP为⊙O的切线，且∠P＝36°，则∠ACB的度数为（ ）
A．36°B．54°C．63°D．72°
【分析】连接OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAP＝90°，则利用三角形外角性质计算出∠AOB＝126°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝90°+36°＝126°，
∴∠ACB＝∠AOB＝63°．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9．（3分）如图，D是△ABC的边AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点D作BE的平行线交AC于点F，若EF＝1（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥BE，
∴，，
∵D是△ABC的边AB的中点，
∴AE＝CE，AF＝EF，
∵EF＝1，
∴AF＝EF，
∴AE＝CE＝2，
∴AC＝5；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
10．（3分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象（含备用零钱）是26元，则他一共带了（ ）
A．15B．32.4C．40D．45
【分析】根据图象先求出农民自带零钱和降价前的销售量，再求出降价前每千克的售价，从而得出降价后每千克的售价，从而得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，农民自带零钱为5元，
降价前每千克售价为＝3.5（元），
∴降价后每千克售价为0.2元，
∴降价后销售的土豆为＝15（千克），
∴这个农民一共带了土豆30+15＝45（千克），
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取信息是解题关键．
二、填空题：（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≠4 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：4﹣x≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12．（3分）把多项式3m2﹣3分解因式的结果为 3（m+1）（m﹣1） ．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：3m2﹣6
＝3（m2﹣7）
＝3（m+1）（m﹣5）．
故答案为：3（m+1）（m﹣8）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外，形状、大小、质地等完全相同的球，那么从中摸出一个小球，摸到白球的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为6，红球的数目为3．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的口袋中有5个球，其中2个红球3个白球，
故摸到白球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是 （3，﹣4） ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）8﹣4的顶点坐标是（3，﹣6），
故答案为：（3，﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
15．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣8
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
16．（3分）不等式组的解集为 x＞3 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
由（1）得：x≥3；
由（2）得：x＞3．
∴x＞3，
故答案为x＞5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
17．（3分）某产品原来每件800元，由于连续两次降价，现价为每件648元，则每次降价率为 10% ．
【分析】设每次降价率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每次降价率为x，
根据题意得：800（1﹣x）2＝648，
解得：x4＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴每次降价率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是 24 cm．
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【解答】解：设扇形的半径是R，则＝20π
解得：R＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了扇形的面积和弧长，正确理解公式是解题的关键．
19．（3分）矩形ABCD中，对角线交于点O，点E在对角线BD上，，OE＝2，则AE的长度为 2或2 ．
【分析】根据题意画出图形，连接OC，交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，先根据勾股定理求出BD，进而判定△ABO为等边三角形，然后根据等边三角形的性质计算AF，再分点E在OB和OD上两种情况进行分类讨论．
【解答】解：如图，连接OC，过点A作AF⊥BD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AO＝OC，AD＝BC，
∵AB＝6，，
∴AC＝BD＝＝12，
∴OA＝OB＝6，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴BF＝OF＝8，AF＝AB•sin60°＝6×，
当点E在OB上时，∵OE＝2，
∴EF＝8，
∴AE＝；
当点E在OD上，∵OE′＝2，
∴E′F＝5，
∴AE′＝＝2．
综上所述，AE的长度为 2．
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线并进行分类讨论．
20．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，tan∠C＝2，BC﹣AD＝3 ．
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，根据矩形的判定得出四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得出AE＝DF，AD＝EF，设FC＝x，则DF＝AE＝BE＝2x，根据BC﹣AD＝3得出2x+x＝3，求出x，再根据勾股定理求出CD即可．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE+∠AEF＝180°，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝∠DF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF，AE＝DF，
∵BC﹣AD＝3，
∴BE+CF＝BC﹣EF＝BC﹣AD＝3，
∵tanC＝＝4，
∴设FC＝x，则DF＝2x＝AE，
∵∠B＝45°，∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴BE＝AE＝2x，
∴4x+x＝3，
∴x＝1，
即DF＝8，FC＝1，
由勾股定理得：DC＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，矩形的性质和判定，平行线的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝2tan60°﹣4sin30°．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷﹣
＝
＝
＝，
当x＝4tan60°﹣4sin30°＝2﹣4×时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
22．（7分）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为6；
（2）在图2中以AB为边画一个直角△ABE，点E在小正方形的顶点上，满足△ABE的面积为6．
【分析】（1）画一个底为3，高为2的平行四边形即可；
（2）以AB为一条直角边，画另一条直角边AE为3的直角三角形ABE即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；
（2）如图2中，△ABE即为所求．
AB＝2，AE＝3，
∴S△ABE＝×4＝7．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．（8分）我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校1200名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
（1）本次活动共抽取了多少名同学？
（2）补全条形统计图；
（3）根据以上调查结果分析，估计该校1200名学生中，对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
【分析】（1）根据成绩“很好的”学生人数和所占的百分比，可以求得本次活动共抽取了多少名同学；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以求得成绩“较好的”学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
【解答】解：（1）15÷25%＝60（名），
即本次活动共抽取了60名同学；
（2）成绩为“较好的”学生有：60×50%＝30（名），
补全的条形统计图如图所示；
（3）1200×（25%+50%）＝900（人），
答：对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有900名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE
（1）求证：∠DEC＝∠BAE；
（2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，试直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）如图1，∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ACD与△ABE中，，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB＝180°，
∠ECD+8∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝∠ECD；
（2）解：如图2，
①∵∠BAE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝75°，
由（1）得：∠ACD＝∠ABC＝75°，
∠DCE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG＝∠DCE＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF＝75°﹣45°＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝75°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
④∵∠ECD＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（10分）六•一前夕，某幼儿园园长到服装店选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，两种服装全部售出后，要使总的获利不低于1200元
【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）≥1200，再解不等式即可．
【解答】解：（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，
由题意得：
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原分式方程的解，
x﹣25＝100﹣25＝75，
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元；
（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+2）套，
由题意得：（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）≥1200，
解得：a≥16，
答：至少购进A品牌服装的数量是16套．
【点评】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
26．（10分）如图1，△ABC为圆内接三角形，AE⊥BC于D交O于点E
（1）求证：DG＝DE；
（2）如图2，连接BE，作OM⊥BE于M；
（3）在（2）的条件下，连接OG、CE，BG＝2FC+2FG，，求CD长．
【分析】（1）连接BE，利用垂直的定义，直角三角形的性质和圆周角定理得到∠E＝∠BGD，再利用等腰三角形的判定与三线合一的性质解答即可；
（2）连接EO并延长，交⊙O于点H，连接BH，利用圆周角定理，垂直的定义和直角三角形的性质得到∠DBA＝∠BEH，再利用圆周角定理，垂径定理和三角形的中位线定理解答即可得出结论；
（3）延长BF交O于点N，连接CG，CN，过点O作OH⊥BG于点H，利用等腰三角形的三线合一的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质和等弧对等弦的性质得到OG＝CG＝CN＝EC；利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到△OGC为等腰直角三角形；再利用等腰直角三角形的性质，（2）的结论和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，如图，
∵AE⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CBF+∠BGD＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠C+∠CBG＝90°，
∴∠C＝∠BGD．
∵∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BGD，
∴BE＝BG．
∵BD⊥EG，
∴DG＝DE；
（2）证明：连接EO并延长，交⊙O于点H，如图，
则EH为⊙O的直径，
∴∠EBH＝90°，
∴∠BEH+∠H＝90°，
∵∠H＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BEH＝90°．
∵AE⊥BC，
∴∠DBA+∠BAE＝90°，
∴∠DBA＝∠BEH，
∴，
∴AC＝BH．
∵OM⊥BE，
∴EM＝BM，
∵OE＝OH，
∴OM为△EBH的中位线，
∴OM＝BH，
∴OM＝AC．
即AC＝2OM；
（3）解：延长BF交O于点N，连接CG，过点O作OH⊥BG于点H，
由（1）知：BE＝BG，
∵BD⊥BG，
∴∠EBD＝∠GBD，
∴，
∴EC＝CN，
∵OG＝CE，
∴EC＝CN＝OG．
∵AC⊥BF，
∴GF＝FN，
∴GN＝6FG．
由（1）知：ED＝GD，
∵BD⊥DG，
∴BC为线段GE的垂直平分线，
∴CE＝CG，
∴OG＝CG＝CN＝EC．
∵OH⊥BG，
∴BH＝HN．
∴BG＝BH+HG＝HN+HG＝HG+GN+HG＝2HG+2FG．
∵BG＝8FC+2FG，
∴2FC+3FG＝2HG+2FG，
∴FC＝HG．
在Rt△CFG和Rt△GOH中，
，
∴Rt△CFG≌Rt△GOH（HL），
∴∠GCF＝∠OGH．
∵∠GCF+∠CGF＝90°，
∠OGH+∠CGF＝90°，
∴∠OGC＝90°，
∴△OGC为等腰直角三角形，
∴OC＝OG，
∴OC＝CE．
延长CO交⊙O于点P，连接EP，
∴CP＝2OC＝2CE．
∵∠P＝∠EAC，∠PEC＝∠ADC＝90°，
∴△PEC∽△ADC，
∴．
由（2）知：AC＝2OM＝2，
∴，
∴CD＝5．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角，作出弦的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2﹣2ax+3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 OC＝OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，P为第二象限抛物线上的一点，连接AC、AP、PC，△PAC的面积为S，用含t的式子表示S；
（3）如图3，在（2）的条件下，将线段AO绕点A逆时针旋转90度（O的对应点为H），D为y轴负半轴上一点，F为线段AH上一点，连接AP交OF于点Q，连接HQ，∠PQH＝45°，∠ADO﹣∠AOF＝45°
【分析】（1）求出A（﹣3，0），B（1，0），则有C（0，3），再由3a＝3可求a＝1；
（2）先求直线AC的解析式为y＝x+3，过P点作PG⊥x轴交AC于点G，再由P（t，﹣t2﹣2t+3），则有G（t，t+3），即可求S＝﹣（t+）2+；
（3）在OC上取点D′使得OD′＝OD，连接OD′交OF于点E，在OA上取点D′′，使得OD′′＝OD，连接D′D′′交OF于点O′，可得∠D′EO＝45°；作平行四边形AFOM，设OD＝2b，则AF＝3b，OM＝3b，DM＝5b，作D′N⊥AM于N，交OA于R，可证△D′NM≌△ANR（AAS），则得AR＝D′M＝5b，设线段OR＝m，由tan∠RD′O＝tan∠OAM，求出m＝b，得到AF＝FH，延长OF到K，使FK＝FO，证明△FHK≌△FAO（SAS），作HT⊥KF交于点T，作HS⊥PQ于S，可证△HSA≌△HTK（AAS），得到AP⊥OF，过P作PW⊥x轴交于W，所以tan∠APW＝tan∠FOA＝，再由PW＝﹣t2﹣2t+3，AW＝t+3，得到方程﹣t2﹣2t+3＝2（t+3），求出t＝﹣1，即可求S．
【解答】解：（1）y＝﹣ax2﹣2ax+3a＝a（﹣x2﹣2x+7），
令y＝0，则﹣x2﹣8x+3＝0，
解得x＝﹣3，x＝1，
∴A（﹣3，2），0），
∵OC＝OA，
∴C（0，7），
∴3a＝3，
∴a＝6，
∴y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝x+6，
过P点作PG⊥x轴交AC于点G，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2﹣2t+3），
∴G（t，t+3），
∴PG＝﹣t2﹣6t+3﹣t﹣3＝﹣t6﹣3t，
∴S＝×（﹣t2﹣3t）×2＝﹣（t+）2+；
（3）在OC上取点D′使得OD′＝OD，连接OD′交OF于点E，使得OD′′＝OD，
∴OD′′＝OD′，即∠OD′D′′＝∠OD′′D′＝45°，
∴∠ED′D′′＝∠FOA，
∵∠ADO﹣∠AOF＝45°，
∴∠D′EO＝∠OD′′D′＝45°，
作平行四边形AFOM，
设OD＝2b，
∵OD：AF＝2：8，
∴AF＝3b，
∴OM＝3b，D′M＝5b，
作D′N⊥AM于N，交OA于R，
∵∠D′EO＝45°，OF∥AM，
∴∠ED′N＝45°，
∴AN＝D′N，
∵∠RAN＝∠ND′M，∠ANR＝∠D′NM＝90°，
∴△D′NM≌△ANR（AAS），
∴AR＝D′M＝5b，
设线段OR＝m，
∵tan∠RD′O＝tan∠OAM，
∴＝，
∴m＝﹣6b（舍）或m＝b，
∵5b+m＝3，
∴5b+b＝2，
解得b＝，
∴AF＝FH＝，
延长OF到K，使FK＝FO，
∵∠HFK＝∠AFO，
∴△FHK≌△FAO（SAS），
∴HK＝AO，∠FHK＝∠FAO＝90°，
作HT⊥KF交于点T，作HS⊥PQ于S，
∵∠THF＝∠AOQ，∠AOF＝∠HKF，
∴∠FAQ＝∠HKT，
∵∠HTK＝∠HSA＝90°，
∴△HSA≌△HTK（AAS），
∴∠AHS＝∠KHT，
∴∠SHT＝90°，
∴四边形HTQS是矩形，
∴AP⊥OF，
过P作PW⊥x轴交于W，
∴tan∠APW＝tan∠FOA＝，
∵P（t，﹣t2﹣2t+6），
∴PW＝﹣t2﹣2t+2，AW＝t+3，
∴﹣t2﹣2t+3＝2（t+2），
∴t＝﹣3（舍）或t＝﹣1，
∴S＝﹣（t+）2+＝5．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，构造三角形全等是解题的关键．