重难点专题15 三角恒等变换八大题型汇总-备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考新教材通用）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145689279" 题型1辅助角公式的运用 PAGEREF _Tc145689279 \h 1
\l "_Tc145689280" 题型2辅助角公式与最值 PAGEREF _Tc145689280 \h 4
\l "_Tc145689281" 题型3凑角求值（互余互补，拆角和与差，拆角30+-a，） PAGEREF _Tc145689281 \h 9
\l "_Tc145689282" ◆类型1诱导公式法 PAGEREF _Tc145689282 \h 9
\l "_Tc145689283" ◆类型2拆角 PAGEREF _Tc145689283 \h 12
\l "_Tc145689284" 题型4分式型凑角求值 PAGEREF _Tc145689284 \h 14
\l "_Tc145689285" 题型5正切恒等变形 PAGEREF _Tc145689285 \h 17
\l "_Tc145689286" ◆类型1正切化简求值 PAGEREF _Tc145689286 \h 18
\l "_Tc145689287" ◆类型2与其他知识结合 PAGEREF _Tc145689287 \h 23
\l "_Tc145689288" 题型6正切求角 PAGEREF _Tc145689288 \h 29
\l "_Tc145689289" 题型7二倍角公式与升幂降幂 PAGEREF _Tc145689289 \h 33
\l "_Tc145689290" 题型8正余弦和差积问题 PAGEREF _Tc145689290 \h 38
题型1辅助角公式的运用
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）用辅助角公式化简：sinx2-3csx2= .
【答案】2sinx2-π3
【分析】直接利用辅助角公式化简即可.
【详解】sinx2-3csx2=212sinx2-32csx2=2sinx2csπ3-csx2sinπ3 =2sinx2-π3.
故答案为：2sinx2-π3
【变式1-1】1. （2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知csα+3sinα=85，则csα-π3=（ ）
A．35B．45C．-35D．-45
【答案】B
【分析】利用辅助角公式进行求解.
【详解】csα+3sinα=85，由辅助角公式得2csα-π3=85，故csα-π3=45，
故选：B.
【变式1-1】2. （2023秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知π2<α<3π2，-π2<β<0，且sinα+sinβ=3(csα+csβ)，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．cs(α-β)=-1B．sin(α-β)=0C．cs(α+β)=-12D．sin(α+β)=-32
【答案】D
【分析】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.
【详解】∵sinα+sinβ=3(csα+csβ)，∴sinα-3csα+sinβ-3csβ=0,
∴2sinα-π3+2sinβ-π3=0,∴2sinα-π3=-2sinβ-π3=2sinπ3-β,
且π2<α<3π2，-π2<β<0，则π6<α-π3<7π6,-5π6<β-π3<-π3，∴π3<π3-β<5π6,
当α-π3=π3-β，α+β=2π3时,csα+β=-12，sinα+β=32,C选项正确，D选项不正确;
当α-π3+π3-β=π，α-β=π时,cs(α-β)=-1,
sinα-β=0,sinα+β=sinπ+2β=-sin2β,-π<2β<0,sinα+β=-sin2β<0,,A,B选项正确，D选项不正确.
故选:D.
【变式1-1】3. （2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）函数f(x)=sin2x+cs2x的一条对称轴是（ ）
A．x=-π8B．x=-π4C．x=π8D．x=π4
【答案】C
【分析】利用辅助角公式，结合代入法、正弦型函数的对称性逐一判断即可.
【详解】f(x)=sin2x+cs2x=2sin2x+π4.
A：因为f(-π8)=2sin2×-π8+π4=0≠±2，
所以本选项不符合题意；
B：因为f(-π4)=2sin2×-π4+π4=-1≠±2，
所以本选项不符合题意；
C：因为f(π8)=2sin2×π8+π4=2，
所以本选项符合题意；
D：因为f(π4)=2sin2×π4+π4=1≠±2，
所以本选项不符合题意，
故选：C
【变式1-1】4. （2023秋·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）已知fx=sinπ3x+π3-3csπ3x+π3，则f(1)+f(2)+…+f(2023)的值为（ ）
A．23B．3C．1D．0
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换得到fx=2sinπ3x，求出最小正周期，并求出f1+f2+f3+f4+f5+f6=0，利用周期分组求解，得到答案.
【详解】fx=sinπ3x+π3-3csπ3x+π3=2sinπ3x+π3-π3=2sinπ3x，
所以最小正周期为2ππ3=6，
且f1+f2+f3+f4+f5+f6
=2sinπ3+2sin2π3+2sinπ+2sin4π3+2sin5π3+2sin2π
=3+3+0-3-3+0=0，
所以f1+f2+f3+⋯+f2023
=f1+f2+f3+f4+f5+f6
+⋯+f2017+f2018+f2019+f2020+f2021+f2022+f2023
=f1=3.
故选：B.
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）设d为动点P(csθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离，则d的最大值为（ ）
A．2-1B．322C．1+2D．3
【答案】C
【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.
【详解】点P(csθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离d=csθ-sinθ-212+-12=2csθ+π4-22,
因为-1≤csθ+π4≤1,则-2-2≤2csθ+π4-2≤2-2,
所以当csθ+π4=-1时dmax=-2-22=1+2.
故选：C
题型2辅助角公式与最值
【例题2】（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数fx=2sinx+4csx在x=φ处取得最大值，则csφ=（ ）
A．255B．55C．-55D．-255
【答案】A
【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到sinθ,csθ的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.
【详解】因为fx=2sinx+4csx=25sinx+θ，
其中sinθ=425=25,csθ=225=15，
当x=φ时，fx取得最大值，
即φ+θ=π2+2kπ,k∈Z，所以φ=π2-θ+2kπ,k∈Z，
所以csφ=csπ2-θ+2kπ=sinθ=25=255
故选：A
【变式2-1】1. （2023·河南·校联考模拟预测）若关于x的方程sin2x+2cs2x=-2在[0,π)内有两个不同的解α,β，则cs(α-β)的值为（ ）
A．-55B．55C．-255D．255
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得α-β，进而求得cs(α-β).
【详解】关于x的方程sin2x+2cs2x=-2在[0,π)内有两个不同的解α,β，
即52sin(2x+θ)=-1（csθ=55,sinθ=255，取θ为锐角）
在[0,π)内有两个不同的解α,β，
即方程sin(2x+θ)=-255在[0,π)内有两个不同的解α,β．
不妨令0≤α<β<π，由x∈[0,π)，则2x+θ∈[θ,2π+θ)，
所以sin(2α+θ)=-255,sin(2β+θ)=-255，
所以sinθ=-sin(2α+θ)=-sin(2β+θ)．则2α+θ=π+θ,2β+θ=2π-θ，
即2α-2β=-π+2θ，
所以α-β=-π2+θ,cs(α-β)=csθ-π2=sinθ=255．
故选：D．
【变式2-1】2. （2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）已知β∈0,π2，且sinα-2β+3sinα=0，则tanα的最大值为（ ）
A．-24B．24C．-34D．34
【答案】B
【分析】利用两角差的正弦公式展开，并利用同角三角函数的商数关系化为关于tanα的方程，根据已知角的范围和三角函数的性质得到tanα>0，利用三角函数的辅助角公式和三角函数的有界性得到关于tanα的不等式，求得其最大值.
【详解】∵sinα-2β+3sinα=0，∴sinαcs2β-csαsin2β+3sinα=0，
∴tanαcs2β-sin2β+3tanα=0，∴tanα3+cs2β=sin2β，
∵β∈0,π2，∴2β∈0,π，∴sin2β>0，
又∵3+cs2β≥3-1=2，∴tanα>0，
由tanαcs2β-sin2β+3tanα=0得tanαcs2β-sin2β=-3tanα，
∴存在φ∈R使得tan2α+1cs2β+φ=-3tanα，∴cs2β+φ=-3tanαtan2α+1
∴-3tanαtan2α+1≤1∴9tan2α≤tan2α+1，∴tanα≤24，
由于2β∈0,π，2β+φ的取值范围达到余弦函数的半个周期，cs2β+φ的值必能取到1，因此这里能够取到等号，所以tanα的最大值为24，
故选：B
【变式2-1】3. （2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=sinx+3csx，当fx取得最大值时，tanx= .
【答案】13
【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得fx取得最大值有x+φ=π2+2kπ,k∈Z，进而求tanx.
【详解】由f(x)=sinx+3csx=10sin(x+φ)且tanφ=3，
所以f(x)max=10，此时x+φ=π2+2kπ,k∈Z，
所以x=π2+2kπ-φ,k∈Z，故tan(π2+2kπ-φ)=1tanφ=13.
故答案为：13
【变式2-1】4. （2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx-3csωx(ω>0)，若f(x)的图像在区间(0,π)上有且只有1个最低点，则实数ω的取值范围为 .
【答案】116<ω≤236
【分析】根据题意，由辅助角公式化简，然后由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得f(x)=sinωx-3csωx=2sinωx-π3，因为x∈0,π，
所以ωx-π3∈-π3,ωπ-π3，
因为f(x)有且只有1个最低点，所以3π2<ωπ-π3≤7π2，解得116<ω≤236.
故答案为：116<ω≤236.
【变式2-1】4. （2021秋·广西南宁·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=3(sin2x+4csx)+2sinx，则f(x)的最大值为（ ）
A．43B．172
C．6D．53+2
【答案】B
【分析】先将sin2x展开，提公因式并结合拼凑法可得fx=23csx+1sinx+2-4，结合ab≤a+b22放缩，联立辅助角公式化简，即可求解.
【详解】fx=3sin2x+4csx+2sinx=32sinxcsx+4csx+2sinx
=23csxsinx+2+2sinx+2-4=23csx+1sinx+2-4，由sinx+2>0可知，要求fx最大值，只需3csx+1>0即可，结合基本不等式ab≤a+b22可得
fx=23csx+1sinx+2-4≤2⋅3csx+1+sinx+222-4=2sinx+π3+322-4
≤172，当且仅当3csx+1=sinx+2sinx+π3=1，即x=π6+2kπ,k∈Z时等号成立，因此当x=π6+2kπ,k∈Z时fx的最大值为172.
故选：B
【变式2-1】5.（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若函数f(x)=sinx-3csx，x∈[m,n]的值域为[-1,2]，则n-m的取值范围为 .
【答案】2π3,4π3
【分析】由辅助角公式得到f(x)=2sin(x-π3)，结合函数图象得到m=π6+2kπ，k∈Z，同时n∈5π6+2kπ,-π2+(2k+2)π，k∈Z，从而得到n-m∈2π3,4π3.
【详解】由辅助角公式得f(x)=2sin(x-π3)，
令2sin(x-π3)=-1，解得x=-π2+2kπ或x=π6+2kπ，k∈ Z，
令2sin(x-π3)=2，解得x=5π6+2kπ，k∈ Z，
画出函数图象如下，
可知m=π6+2kπ，k∈ Z，同时n∈5π6+2kπ,-π2+(2k+2)π，k∈ Z，
所以n-m∈2π3,4π3.
故答案为：2π3,4π3
题型3凑角求值
◆类型1诱导公式法
【例题3-1】（2023·河南开封·统考三模）已知sinα+π6-csα=45，则csα+π3=（ ）
A．35B．45C．-35D．-45
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换得到sinα-π6=45，再利用诱导公式求出答案.
【详解】因为sinα+π6-csα=32sinα+12csα-csα=32sinα-12csα=45，即sinα-π6=45，
所以csα+π3=csα-π6+π2=-sinα-π6=-45．
故选：D
【变式3-1】1. （2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知sinα+π6=63，则sinπ6-2α=（ ）
A．-223B．223C．-13D．13
【答案】C
【分析】利用换元法，结合诱导公式及二倍角公式，即可求得本题答案.
【详解】设α+π6=t，则α=t-π6,sint=63，
∴sinπ6-2α=sinπ6-2t-π6=sinπ2-2t=cs2t=1-2sin2t=1-2×632=-13.
故选：C
【变式3-1】2. （2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）已知sinx+π12=-14，则cs5π6-2x=（ ）
A．78B．18C．-78D．-18
【答案】C
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案.
【详解】因为sinx+π12=-14，所以
cs5π6-2x=csπ-π6-2x=-csπ6+2x=-1-2sin2x+π12
=-1-2-142=-78.
故选：C.
【变式3-1】3. （2022秋·新疆巴音郭楞·高三八一中学校考阶段练习）设α为锐角，若csα+π6=45，则sinα-π12=（ ）
A．210B．-210C．25D．-25
【答案】B
【分析】利用角的变换表示sinα-π12=sinα+π6-π4，再利用两角差的正弦公式，即可求解.
【详解】因为α∈0,π2，α+π6∈π6,2π3，且csα+π6=45，
所以sinα+π6=35,
sinα-π12=sinα+π6-π4,
=22sinα+π6-csα+π6=2235-45=-210.
故选：B
【变式3-1】4. （2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知sinπ3-α=-23，且α∈0,π2，则sinπ3+2α=（ ）
A．-2149B．2149C．79D．-79
【答案】A
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】依题意，α∈0,π2,π3-α∈-π6,π3，
而sinπ3-α=-23<0，所以π3-α∈-π6,0，
所以csπ3-α=1-sin2π3-α=1-29=73，
所以sinπ3+2α=sinπ-π3+2α=sin2π3-2α
=2sinπ3-αcsπ3-α=2×-23×73=-2149.
故选：A
◆类型2拆角
【例题3-2】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知α，β均为锐角，且tanα=3，sinα+β=35，则csβ=（ ）
A．131050B．1010C．91050D．1010或131050
【答案】B
【分析】由条件结合三角函数同角关系式求sinα,csα，再由三角函数的性质求出α+β的范围，再利用两角差的余弦公式，由csβ=csα+β-α求出结果.
【详解】因为α为锐角，且tanα=3，所以sinα=3csα，又sin2α+cs2α=1，
所以sinα=31010，csα=1010.
因为sinα>sinα+β，且0<α<α+β<π，所以α+β为钝角.
因为sinα+β=35，所以csα+β=-45，
则csβ=csα+β-α=csα+βcsα+sinα+βsinα =-45×1010+35×31010=1010.
故选：B.
【变式3-2】1. （2022秋·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若α,β都是锐角，且csα=55，sin(α+β)=35，则csβ=
A．2525B．255C．2525或255D．55或525
【答案】A
【分析】先计算出csα+β，再利用余弦的和与差公式，即可.
【详解】因为α,β都是锐角，且csα=55<12，所以π3<α<π2,又
sinα+β=35<32，所以π2<α+β<π，所以csα+β=-1-sin2α+β=-45
sinα=1-cs2α=255，csβ= csα+β-α=csα+βcsα+sinα+βsinα =2525，故选A.
【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大．
【变式3-2】2. （2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知sinα=267，csα-β=105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）
A．91535B．111035C．1535D．1035
【答案】A
【解析】易知sinβ=sinα-α-β，利用角的范围和同角三角函数关系可求得csα和sinα-β，分别在sinα-β=155和-155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果.
【详解】∵sinα=267<22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴csα=1-sin2α=57.
又0<β<3π4，∴-3π4<α-β<π4，∴sinα-β=±1-cs2α-β=±155.
当sinα-β=155时，
sinβ=sinα-α-β=sinαcsα-β-csαsinα-β =267×105-57×155=-1535，
∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=-1535不合题意，舍去；
当sinα-β=-155，同理可求得sinβ=91535，符合题意.
综上所述：sinβ=91535.
故选：A.
【点睛】易错点睛：本题中求解csα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为csα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
【变式3-2】3. （2022秋·山东日照·高三校考阶段练习）已知α，β∈0,π，tanα+π3=22，csβ+π6=63，则cs2α-β=（ ）
A．-539B．-33C．539D．33
【答案】D
【分析】根据待求式的结构，2α-β=2α+π3-β+π6-π2求解即可．
【详解】解：因为cs(2α-β)=cs2α+π3-β+π6-π2=sin2α+π3-β+π6
=sin2(α+π3)cs(β+π6)-cs2(α+π3)sin(β+π6).
sin2α+π3=2sin(α+π3)cs(α+π3)=2sin(α+π3)cs(α+π3)sin2(α+π3)+cs2(α+π3)=2tanα+π3tan2α+π3+1=223，
cs2α+π3=cs2(α+π3)-sin2(α+π3)=cs2(α+π3)-sin2(α+π3)cs2(α+π3)+sin2(α+π3)=1-tan2α+π3tan2α+π3+1=13；
csβ+π6=63，β+π6∈0,π2，
所以sinβ+π6=33，
故cs(2α-β)=33．
故选：D.
题型4分式型凑角求值
【例题4】（2021·湖北黄冈·黄冈中学校考一模）求值：sin10°cs15°-cs65°sin10°sin15°+sin65°=
A．-2-3B．3-2C．2-3D．2+3
【答案】B
【解析】利用三角函数诱导公式将cs65°、sin65°转化为sin25°、cs25°，利用两角和与差的正弦、余弦公式进一步化简分式，最后利用两角差的正切公式可求得-tan15°.
【详解】原式=sin10°cs15°-sin25°sin10°sin15°+cs25°=sin10°cs15°-sin10°cs15°-cs10°sin15°sin10°sin15°+cs10°cs15°-sin10°sin15°
=-cs10°sin15°cs10°cs15°=-tan15°=-tan45°-tan30°1+tan45°⋅tan30°=3-2.
故选：B
【点睛】本题考查三角函数诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，属于基础题.
【变式4-1】1. （2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）求值tan27.5°+1tan27.5°-8sin27.5°+1= ．
【答案】233/233
【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.
【详解】tan27.5°+1tan27.5°-8sin27.5°+1=sin27.5°+cs27.5°sin27.5°-8sin27.5°cs27.5°+cs27.5°=11-2sin215°=1cs30°=233 ，
故答案为：233.
【变式4-1】2. （2022·全国·高三专题练习）计算求值：
(1)计算2cs10∘-23cs-100∘1-sin10∘的值；
(2)已知α、β均为锐角，sinα=17，csα+β=5314，求sinβ的值．
【答案】(1)22
(2)39398
【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果；
（2）利用同角三角函数的基本关系可求得csα、sinα+β的值，再利用两角差的正弦公式可求得sinβ的值.
【详解】（1）解：2cs10∘-23cs-100∘1-sin10∘=2cs10∘-23cs100∘1-sin10∘=2cs10∘-23cs90∘+10∘1-sin10∘
=2cs10∘+23sin10∘1-sin10∘=412cs10∘+32sin10∘1-2sin5∘cs5∘=4cs60∘-10∘cs5∘-sin5∘
=4cs50∘2cs45∘cs5∘-sin45∘cs5∘=4cs50∘2cs50∘=22．
（2）解：∵α、β都为锐角，则0<α+β<π，
∴sinα+β=1-cs2α+β=1-53142=1114，csα=1-172=437，
∴sinβ=sinα+β-α=sinα+βcsα-sinαcsα+β=1114×437-17×5314=39398．
【变式4-1】3. （2022秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）化简求值：
(1)sin20°-sin40°cs20°-cs40°
(2)cs40°+sin50°1+3tan10°sin70°1+cs40°
【答案】(1)-3
(2)2
【分析】（1）将20°,40°看作是30°,10°的和差，再利用正余弦的和差公式化简分子分母，从而求得结果；
（2）先利用三角函数的商数关系、辅助角公式、倍角公式、诱导公式化简sin50°1+3tan10°与sin70°1+cs40°，再代入化简，即可求得结果.
【详解】（1）因为sin20°-sin40°=sin30°-10°-sin30°+10° =sin30°cs10°-cs30°sin10°-sin30°cs10°+cs30°sin10° =-2cs30°sin10°=-3sin10°，
cs20°-cs40°=cs30°-10°-cs30°+10° =cs30°cs10°+sin30°sin10°-cs30°cs10°-sin30°sin10° =2sin30°sin10°=sin10°，
所以sin20°-sin40°cs20°-cs40°=-3sin10°sin10°=-3.
（2）因为sin50°1+3tan10°=sin50°1+3sin10°cs10°=sin50°×cs10°+3sin10°cs10°
=sin50°×2sin10°+30°cs10°=2sin50°sin40°cs10°=2sin50°cs50°cs10° =sin100°cs10°=sin90°+10°cs10°=cs10°cs10°=1，
sin70°1+cs40°=sin70°1+2cs220°-1=sin90°-20°×2cs20° =cs20°×2cs20°=2cs220°，
所以cs40°+sin50°1+3tan10°sin70°1+cs40°=cs40°+12cs220° =2cs220°-1+12cs220°=2.
【变式4-1】4. （2023·全国·高三专题练习）化简：
(1)1+sinα1+csα-1-csα+1-sinα1+csα+1-csα π<α<3π2；
(2)cs3π2-α-tanα21+csα1-csα 0<α<π.
【答案】(1)-2csα2
(2)-22csα2
【分析】（1）先求出α2的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，
（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.
【详解】（1）因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，
所以原式=sin2α2+2sinα2csα2+cs2α22cs2α2-2sin2α2+sin2α2-2sinα2csα2+cs2α22cs2α2+2sin2α2
=sinα2+csα22-2csα2-2sinα2+sinα2-csα22-2csα2+2sinα2
=-22sinα2+csα2+22sinα2-csα2
=-2csα2.
（2）因为tanα2=sinα2csα2=2sinα2csα22cs2α2=sinα1+csα，
所以1+csαtanα2=sinα.
又因为cs3π2-α=-sinα，且1-csα=2sin2α2，
所以原式=-sinα-sinα2sin2α2=-2sinα2sinα2=-22sinα2csα2sinα2，
因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以sinα2>0.
所以原式=-22csα2.
题型5正切恒等变形
◆类型1正切化简求值
【例题5-1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若α∈-π2,-π4，且cs2α+cs3π2+2α=-12，则tanα-π4= .
【答案】2
【分析】由已知可得cs2α+sin2α=-12，分母“1”化平方关系、弦化切得tan2α+4tanα+3=0，结合范围求得tanα=-3，最后应用差角正切公式求值.
【详解】由cs2α+cs3π2+2α=cs2α+sin2α=-12，则cs2α+2sinαcsαcs2α+sin2α=1+2tanα1+tan2α=-12，
所以tan2α+4tanα+3=(tanα+3)(tanα+1)=0，则tanα=-3或tanα=-1，
又α∈-π2,-π4，故tanα∈-∞,-1，则tanα=-3，
由tanα-π4=tanα-11+tanα=-4-2=2.
故答案为：2
【变式5-1】1.（多选） （2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知θ∈0,2π，O为坐标原点，θ终边上有一点Msin3π8-cs3π8,sin3π8+cs3π8.则（ ）
A．θ=3π8B．OM=2
C．tanθ<1D．csθ>12
【答案】AB
【分析】对于A，利用任意角的三角函数的定义结合已知条件分析判断，对于B，利用距离公式求解判断，对于CD，利用三角函数的单调性分析判断即可
【详解】tanθ=sin3π8+cs3π8sin3π8-cs3π8=tan3π8+1tan3π8-1=-tan3π8+tanπ41-tan3π8tanπ4=-tan5π8=tan3π8，故θ=3π8+kπk∈Z，
又sin3π8-cs3π8>0，sin3π8+cs3π8>0，故θ是第一象限角，
又θ∈0,2π，故θ=3π8，故A正确；
对于B，OM2=sin3π8-cs3π82+sin3π8+cs3π82=2，故OM=2，故B正确；
对于C，因为y=tanx在0,π2上单调递增，且3π8>π4，所以tanθ=tan3π8>tanπ4=1，故C错误；
对于D，因为y=csx在0,π2上单调递减，3π8>π3，所以csθ=cs3π8故选：AB.
【变式5-1】2. （2023·全国·高三专题练习）当x=x0时，函数fx=sinx-2csx取得最大值，则tanx0+3π4= .
【答案】-3
【分析】利用辅助角公式得出fx=5sinx-φ，分析可得出x0=φ+π2+2kπk∈Z，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】利用辅助角公式fx=sinx-2csx=5sinx-φ，其中tanφ=2
当x=x0时，函数fx取得最大值，则x0-φ=π2+2kπk∈Z，
所以x0=φ+π2+2kπk∈Z，
所以tanx0+3π4=tanφ+π2+2kπ+3π4=tanφ+3π4+π2=sinφ+3π4+π2csφ+3π4+π2 =csφ+3π4-sinφ+3π4=-1tanφ+3π4
又tanφ+3π4=tanφ-11+tanφ=2-11+2=13，
所以tanx0+3π4=-3
故答案为：-3.
【变式5-1】3. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角α,β∈0,π，且sinα+β+2csα-β=0,sinαsinβ+2csαcsβ=0，则tanα+β=（ ）
A．13B．12C．23D．-2
【答案】C
【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由sinα+β+2csα-β=0可得tanα+tanβ1+tanαtanβ=-2，再根据sinαsinβ+2csαcsβ=0可得tanαtanβ=-2，进而求解即可.
【详解】由sinα+β+2csα-β=0可得sinαcsβ+csαsinβ+2csαcsβ+2sinαsinβ=0，即sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ=-2，故tanα+tanβ1+tanαtanβ=-2.
又sinαsinβ+2csαcsβ=0，故sinαsinβ=-2csαcsβ，即tanαtanβ=-2，代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=-2可得tanα+tanβ=2.
故tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=23.
故选：C
【变式5-1】4. （2023·四川成都·校联考二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanAsinAtanBtanC-1=2tanBtanC，sinB>sinC，且bsinB+csinC=masinA，则实数m的取值范围为 ．
【答案】1,2
【分析】由两角和的正切公式化简可得sin2A=2sinBsinC，再根据三角形形状以及正弦、余弦定理可限定出bc∈1,1+2，将参数m表示成m=12bc+cb再利用函数单调性即可求得其范围.
【详解】在△ABC中，由A+B+C=π可得tanA=-tanB+C=tanB+tanCtanBtanC-1,
又因为tanAsinAtanBtanC-1=2tanBtanC，
所以sinAtanB+tanC=2tanBtanC，即tanB+tanCtanBtanC=2sinA
则2sinA=1tanB+1tanC=csBsinB+csCsinC=sinCcsB+csCsinBsinBsinC=sin(C+B)sinBsinC=sinAsinBsinC，
所以可得sin2A=2sinBsinC，由正弦定理得a2=2bc．
又sinB>sinC可知B>C．又△ABC为锐角三角形，所以csB>0，
由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac>0．所以2bc+c2-b22ac>0，
即2bc+c2-b2>0，所以bc2<1+2bc，
解得1-2又bc>1，所以bc∈1,1+2．
又因为bsinB+csinC=masinA，所以b2+c2=ma2，
即m=b2+c2a2=b2+c22bc=12bc+cb．
令bc=x，则x∈1,1+2，则m=b2+c2a2=f(x)=12x+1x．
因为f(x)在1,1+2上单调递增，又f(1)=1，f(1+2)=2，
所以实数m的取值范围为1,2．
故答案为：1,2
【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等公式的灵活运用，再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等求出参数取值范围.
【变式5-1】5.（2023·全国·高三专题练习）在锐角△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到tanB+tanC=2tanBtanC，再根据正切公式得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC-1⋅tanBtanC，最后再换元，利用基本不等式求最小值.
【详解】由正弦定理可知2RsinA=2×2R×sinBsinC⇔sinA=2sinBsinC,
又因为sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+csBsinC=2sinBsinC，
因为△ABC是锐角三角形，所以csBcsC>0,
上式两边同时除以csBcsC，可得tanB+tanC=2tanBtanC，①
又因为tanA=-tanB+C=tanB+tanCtanBtanC-1>0，
∴tanB+tanC=tanAtanBtanC-1,
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC-1⋅tanBtanC，
令tanBtanC-1=m>0，由①可知tanB+tanC=2m+1
所有tanA+tanB+tanC=2m+1m⋅m+1=2m+12m，
=4+2m+2m≥4+22m×2m=8，
当且仅当2m=2m时，即m=1时，取等号，此时tanBtanC=2，
所以tanA+tanB+tanC的最小值是8.
故选：D
【点睛】本题考查解三角形，三角恒等变换，基本不等式求最值，重点考查转化，变形，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.
【变式5-1】6.（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（ ）
命题p：对任何锐角A，都存在△ABC，使得csA+csB=csC；
命题q：对任何锐角A，都存在△ABC，使得tanA+tanB=tanC．
A．p是真命题，q是真命题B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题D．p是假命题，q是假命题
【答案】A
【分析】利用和差角的余弦公式变形csA+csB=csC推理判断p，利用和角的正切结合已知推理判断q作答.
【详解】命题p，csA+csB=csC，
在△ABC中，csC=cs(A+B2+A-B2)+cs(A+B2-A-B2)=2csA+B2csA-B2
=2cs(π2-C2)csA-B2=2sinC2csA-B2，则1-2sin2C2=2sinC2csA-B2，
令sinC2=m,csA-B2=n，则有2m2+2mn-1=0，即n=1-2m22m，
于是0<1-2m22m≤1，又m>0，因此3-12≤m<22，而正弦函数y=sinx在(0,π2)上递增，
则arcsin3-12≤C2<π4，即2arcsin3-12≤C<π2，亦即2arcsin3-12≤π-(A+B)<π2，
所以对任何锐角A，都存在△ABC，使得csA+csB=csC，p是真命题；
命题q，tanA+tanB=tanC，
在斜△ABC中，tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)，
于是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，将tanA+tanB=tanC代入得：2tanC=tanAtanBtanC，即有tanAtanB=2，则对任何锐角A，都存在△ABC，q是真命题，
所以选项A正确，BCD错误.
故选：A
【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
◆类型2与其他知识结合
【例题5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}中a1=d=1, bn=tanan⋅tanan+1(n∈N*)，则数列{bn}的前n项和Sn= .
【答案】tan(n+1)tan1-n-1n∈N*
【解析】利用两角差的正切公式可得到tanα⋅tanβ=tanα-tanβtanα-β-1，从而可得到数列{bn}的通项公式bn=tanan+1-tanantan1-1，再代入求和化简即可得到结果。
【详解】∵tanα-β=tanα-tanβ1+tanα⋅tanβ，∴tanα⋅tanβ=tanα-tanβtanα-β-1
∴bn=tanan⋅tanan+1=tanan+1-tanantanan+1-an-1
又等差数列{an}中a1=d=1，∴an+1-an=1，an+1=n+1
∴bn=tanan+1-tanantan1-1
∴Sn=tana2-tana1tan1-1+tana3-tana2tan1-1+⋯+tanan+1-tanantan1-1 =tana2-tana1+tana3-tana2+⋯+tanan+1-tanantan1-n =tanan+1-tana1tan1-n=tanan+1-tan1tan1-n=tan(n+1)tan1-n-1
故答案为：tan(n+1)tan1-n-1n∈N*
【点睛】关键点睛：本题考查数列求和，解题的关键是会逆利用两角差的正切公式，得到数列{bn}的通项公式，在求和的过程中巧用相消法得到数列的和，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.
【变式5-2】1. （2022·上海·高三专题练习）已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，其中一条边所在直线的斜率为2，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为 ．
【答案】-3210
【分析】设点Aa,a2,Bb,b2,Cc,c2，则可得kAB=a+b，kBC=b+c，kAC=a+c，不妨设kAB=2，且直线AB的倾斜角为α，可得kBC=tanα+π3,kAC=tanα-π3，然后利用a+b+c=12kAB+kBC+kAC=122+tanα+π3+tanα-π3算出答案即可.
【详解】设点Aa,a2,Bb,b2,Cc,c2，
则kAB=a2-b2a-b=a+b，kBC=b2-c2b-c=b+c，kAC=a2-c2a-c=a+c
不妨设kAB=2，且直线AB的倾斜角为α
因为ΔABC是等边三角形，所以kBC=tanα+π3,kAC=tanα-π3
所以a+b+c=12kAB+kBC+kAC=122+tanα+π3+tanα-π3
=22+12⋅tanα+tanπ31-tanαtanπ3+12⋅tanα-tanπ31+tanαtanπ3=-3210
故答案为：-3210
【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题.
【变式5-2】2. （2022·浙江绍兴·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A为最小角且tanA,tanB,tanC均为整数，则csA= ，设B【答案】 22 8510
【分析】对于第一空，因为A为最小角且tanA,tanB,tanC均为整数，可确定tanA=1，故可得答案；
第二空，结合第一空的结果，根据B+C=135∘，tanA,tanB,tanC均为整数，可确定tanB=2,tanC=3，进而求得sinB=255,csB=55,sinC=31010,csC=1010，然后利用正弦定理即可表示边b,c，在△ADC中由余弦定理表示出CD ,即可求得答案.
【详解】第一空：在△ABC 中，A为最小角且tanA,tanB,tanC均为整数，
则tanA>0 ,
若tanA≥2，因为tan60∘=3 ，且y=tanx 在[0,π2)上单调递增，
故A≥60∘ ，又因为A为最小角，则B,C都大于60∘ ，与A+B+C=180∘ 矛盾，
所以tanA=1，即A=45∘,csA=22 ；
第二空：由第一空可知A=45∘，故B+C=135∘，
则tan(B+C)=tanB+tanC1-tanB⋅tanC=-1 ，即tanB+tanC=tanB⋅tanC-1，
因为B故sinB=255,csB=55,sinC=31010,csC=1010 ,
由正弦定理得：asin45∘=bsinB=csinC ，
即b=255a22=2105a,c=31010a22=355a ，
所以在△ADC中，AB的中点为D ，故AD=3510a
CD2=AC2+AD2-2AC⋅AD⋅csA
=(2105a)2+(3510a)2-2⋅2105a⋅3510a⋅22=1720a2 ，
则CD=8510a ，
故CDCB=8510aa=8510；
故答案为：22；8510
【变式5-2】3. （2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知椭圆C的一个焦点为F，短轴B1B2的长为23,P,Q为C上异于B1,B2的两点.设∠PB1B2=α,∠PB2B1=β，且tanα+β=-3tanα+tanβ，则△PQF的周长的最大值为 .
【答案】8
【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.
【详解】
由条件tanα+β=-3tanα+tanβ=tanα+tanβ1-tanαtanβ ，∵α+β＜π,∴tanα+tanβ≠0 ，
即1-tanαtanβ=-13 ，tanαtanβ=43 ，
设Px0,y0 ，由题意：B10,3,B20,-3 ，则tanα=x03-y0,tanβ=x03+y0 ，
∴tanαtanβ=x023-y02=43 ，即x024+y023=1 ，即椭圆C的标准方程为x24+y23=1 ，
a=2,b=3,c=1 ；
设左焦点为F，右焦点为F2 ，如下图：
则△PFQ 的周长l=PF+QF+PQ=4a-PF2-QF2+PQ ,
∵PF2+QF2≥PQ ，当P,Q,F2 三点共线时等号成立，∴l≤4a=8 ，
l的得最大值为8；
故答案为：8.
【变式5-2】4. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知A、B是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点F，且tan∠AMB=-3，则双曲线的离心率为 ．
【答案】233/233
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得kMB=-kPB=-kBN，再由正切的和角的公式得到b2a2=13，结合双曲线离心率公式即可得解.
【详解】由题意可知：A-a,0,Ba,0
如图，设P(x0,y0)，可得直线的斜率分别为kPA=y0x0+a,kPB=y0x0-a，
因为点P在双曲线上，则x02a2-y02b2=1，整理得y0x0-a⋅y0x0+a=b2a2，
所以kPA⋅kPB=b2a2，
设点M(x1,y1)，可得直线MA,MB的斜率kMA=y1x1+a,kMB=y1x1-a，
因为点M(x1,y1)在椭圆上，则x12a2+y12b2=1，整理得y1x1-a⋅y1x1+a=-b2a2，
所以kMA⋅kMB=-b2a2，即kPA⋅kMB=-b2a2，
可得kMB=-kPB=-kBN，所以直线MB与NB关于x轴对称，
又因为椭圆也关于x轴对称，且M,N过焦点F，则MN⊥x轴，
令F(c,0)，则MF=NF=b2a，
因为tan∠AMF=a+cb2a=a2+acb2，tan∠BMF=a-cb2a=a2-acb2，
则tan∠AMB=tan∠AMF+∠BMF=tan∠AMF+tan∠BMF1-tan∠AMF⋅tan∠BMF
=a2+acb2+a2-acb21-a2+acb2⋅a2-acb2=2a2b2-a2=-3，
解得b2a2=13，
所以双曲线的离心率e=a2+b2a=1+b2a2=1+13=233.
故答案为：233.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；
齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
题型6正切求角
【例题6】（2023春·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）已知tanα、tanβ是方程x2+33x+4=0的两个根，且α,β∈(-π2,π2)，则α+β等于（ ）
A．2π3B．-2π3
C．π3或2π3D．π3或-2π3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.
【详解】方程x2+33x+4=0中，Δ=(33)2-4×4>0，则tanα+tanβ=-33<0tanαtanβ=4>0，
于是tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-331-4=3，显然tanα<0,tanβ<0，
又α,β∈(-π2,π2)，则有α,β∈(-π2,0)，α+β∈(-π,0)，
所以α+β=-2π3.
故选：B
【变式6-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知tanβ=csα1-sinα，tanα+β=1+sinαcsα，若β∈0,π2，则β=（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为tanα=tanα+β-β=tan(α+β)-tanβ1+tan(α+β)⋅tanβ，
又因为tanβ=csα1-sinα，tanα+β=1+sinαcsα，
所以tanα=1+sinαcsα-csα1-sinα1+1+sinαcsα⋅csα1-sinα=(1+sinα)⋅(1-sinα)-csα⋅csαcsα(1-sinα)csα⋅(1-sinα)+csα⋅(1+sinα)csα(1-sinα)，
所以tanα=(1+sinα)⋅(1-sinα)-csα⋅csαcsα⋅(1-sinα)+csα⋅(1+sinα)=1-sin2α-cs2α2csα
因为sin2α+cs2α=1，所以tanα=0，
所以α=kπ,k∈Z，
所以当k为奇数时，csα=-1，sinα=0，
当k为偶数时，csα=1，sinα=0，
因为tanβ=csα1-sinα，所以tanβ=±1，
因为β∈0,π2，所以β=π4.
故选：C.
【变式6-1】2. （2020·全国·高三专题练习）已知等差数列an中，a1+a3=-27，a2+a8+a11=-32，又tanβ=a2，tan(β-α)=a7，其中α,β∈(0,π)，则2α-β的值为（ ）
A．-3π4或-π4B．3π4C．-π4D．-3π4
【答案】D
【分析】利用等差中项的性质可以算出a2，再利用等差数列中的关键量a1和d可以求出a7.利用tanα=tan[(α-β)+β]，求出tanα，进而求出tan(2α-β)，确定-π<2α-β<0即可得出结论.
【详解】∵a1+a3=-27 ∴a1+a3=2a2=-27,a2=tanβ=-17，
∵a2+a8+a11=-32,∴a2+a8+a11=a2+a7+a12=3a7=-32
∴a7=-12 , tan(α-β)=12
∵tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ =12-171+12×17=13>0，
∴0<α<π2.又∵tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-(13)2=34>0，
∴0<2α<π2，
∴tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.
∵tanβ=-17<0，π2<β<π，-π<2α-β<0，
∴2α-β=-3π4.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列中关键量a1和d的运用，以及角的正切公式和角的变换.
{an}为等差数列，若m+n＝p+q，则am+an＝ap+aq (m，n，p，q∈N*)．
【变式6-1】3. （20122秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在ΔABC中，若6AC⋅AB=2AB⋅BC=3BC⋅CA，则角A的大小为
A．π4B．π3C．2π3D．3π4
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的定义得出tanB、tanC与tanA的等量关系，再由tanA=-tanB+C并代入tanB、tanC与tanA的等量关系式求出tanA的值，从而得出A的大小.
【详解】∵6AC⋅AB=2AB⋅BC=3BC⋅CA，∴6bccsA=-2cacsB=-3abcsC，
∴acsB=-3bcsA，由正弦定理边角互化思想得sinAcsB=-3csAsinB，
∴tanA=-3tanB，∴tanB=-13tanA，同理得tanC=-12tanA，
∴tanA=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC=--13tanA-12tanA1--13tanA⋅-12tanA =56tanA1-16tan2A=5tanA6-tan2A，∵0∵ΔABC中至少有两个锐角，且tanB=-13tanA，tanC=-12tanA，所以，tanA=-1，
∵0【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
【变式6-1】4. （2022·湖南·校联考二模）已知在△ABC中，(2BA-3BC)⋅CB=0，则角A的最大值为 ．
【答案】π6/30°
【分析】根据题设作出示意图，令BC=2、AF=x，利用差角正切公式求tan∠BAC，应用基本不等式求其最大值，即可得A的最大值，注意取值条件.
【详解】由题意DE⊥BC，作AF⊥BC，如图所示，
令BC=2，则CF=1，设AF=x，则tan∠BAF=3x，tan∠CAF=1x，
所以tan∠BAC=tan(∠BAF-∠CAF)=tan∠BAF-tan∠CAF1+tan∠BAFtan∠CAF=3x-1x1+3x2=2xx2+3=2x+3x≤223=33，
则∠BAC∈(0,π2)，当且仅当x=3时，∠A取得最大值π6.
故答案为：π6
【变式6-1】5. （2022秋·江苏常州·高三统考期中）已知A、B、C为△ABC的内角，若3tanA+tanB=0，则角C的取值范围为 .
【答案】0,π6
【分析】通过tanC=tan[π-(A+B)]利用公式展开，把3tanA+tanB=0代入，整理后利用基本不等式求得tanC的最大值，结合正切函数的性质即可求解．
【详解】∵由已知可得tanB=-3tanA，
∴tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1=-2tanA-3tan2A-1 =2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA，
∵A、B、C为ΔABC的内角，若A为钝角，则tanA<0，tanC=21tanA+3tanA<0，∴ C也为钝角，矛盾，
∴A为锐角，tanA>0，可得tanC=21tanA+3tanA>0，C也为锐角，
∵ 1tanA+3tanA⩾23，当且仅当1tanA=3tanA时，取“=”号，即tanA=33，
∴tanC=21tanA+3tanA⩽223=33，
∵C∈(0，π6]．
故答案为：(0，π6]．
【点睛】本题考查两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题．考查对基础知识的综合运用和基本的运算能力，属于中档题
题型7二倍角公式与升幂降幂
【例题7】（2022·甘肃临夏·统考一模）已知角α终边上一点M的坐标为(-1,2)，则tan2α=（ ）
A．-2B．43C．2D．-43
【答案】B
【分析】根据任意角三角函数定义求出正切，再根据二倍角正切公式计算即可.
【详解】因为角α终边上一点M的坐标为(-1,2),所以tanα=2-1=-2,
tan2α=2tanα1-tan2α=-41--22=43.
故选:B.
【变式7-1】1. （2020·北京·高三强基计划）已知z1=sinα+2i,z2=1+i⋅csα，则13-z1+iz22z1-iz2的最小值是（ ）
A．12B．2C．43D．32
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求最小值.
【详解】根据题意，记题中代数式为M，则M=13-|sinα-csα+3i|2|sinα+csα+i|
=13-(sinα-csα)2-9(sinα+csα)2+1
=3+2sinαcsα2+2sinαcsα
=2+sin2α+12+sin2a
≥2，
等号当sin2α=-1时取得，因此所求代数式的最小值是2．
故选：B.
【变式7-1】2. （2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知θ∈π4,π2，则当tan2θ-tanθ取得最大值时，tan2θtanθ= ．
【答案】1-52
【分析】设tanθ=x，利用二倍角的正切公式得到tan2θ-tanθ=2x1-x2-x=x+x31-x2，再利用导数即可求出其最值时的x值，再代入即可得到答案.
【详解】设tanθ=x，因为θ∈π4,π2，则x>1，则tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2x1-x2，
则tan2θ-tanθ=2x1-x2-x=x+x31-x2．
设函数f(x)=x+x31-x2(x>1)，
则f'(x)=-x4+4x2+11-x22=-x2-5-2x2+5-21-x22(x>1)．
当10，此时f(x)单调递增；
当x2>5+2时，即x>5+2，f'(x)<0，此时f(x)单调递减，
所以当x=5+2时，f(x)取得最大值，即tan2θ-tanθ取得最大值，
此时tan2θtanθ=2tanθ1-tan2θtanθ=21-x2=21-(5+2)=1-52．
故答案为：1-52.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角公式构造出关于tanθ的函数关系，再利用导数法求出最值即可.
【变式7-1】3. （2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知tan2α-tanα⋅cs2α=2，则tanα= ．
【答案】2
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系进行求解.
【详解】根据二倍角公式，tan2α-tanα=2tanα1-tan2α-tanα=tanα⋅1+tan2α1-tan2α，
cs2α=cs2α-sin2αcs2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α，于是tan2α-tanα⋅cs2α=2=tanα⋅1+tan2α1-tan2α⋅1-tan2α1+tan2α=tanα，
即tanα=2.
故答案为：2
【变式7-1】4. （2023秋·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知倾斜角为α的直线l与直线m:x-2y+3=0垂直，则cs2α= .
【答案】-35/-0.6
【分析】根据直线垂直关系可得12tanα=-1，然后结合平方关系和二倍角公式可得.
【详解】直线m:x-2y+3=0的斜率为12，
因为直线l与直线m:x-2y+3=0垂直，
所以12tanα=-1，
则sinα=-2csα，代入sin2α+cs2α=1可得cs2α=15，
所以cs2α=2cs2α-1=2×15-1=-35.
故答案为：-35.
【变式7-1】5. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若函数fx=sin2x-2csx，则fx的最小值是 ．
【答案】-332
【分析】因为三角函数具有周期性，令x∈0,2π，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单调性，求出最小值.
【详解】不妨设x∈0,2π，
f'(x)=2cs2x+2sinx=2(1-2sin2x)+2sinx=2(1-sinx)(2sinx+1)
则f(x)在0,2π上的单调性如下表：
f(0)=-2，f(11π6)=sin11π3-2cs11π6=-332，因为-332<-2，
所以函数的最小值为-332.
故答案为：-332.
【变式7-1】6. （2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，tanC2=3tanA2，则2sinA+6sinC的最小值为（ ）
A．4B．25C．45D．16
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简得到2sinA+6sinC=22tanA2tan2A2+1+62tanC2tan2C2+1，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为tanC2=3tanA2，设m=tanA2，则tanC2=3m，显然tanA2>0,tanC2>0，即m>0，所以2sinA+6sinC=22sinA2csA2sin2A2+cs2A2+62sinC2csC2sin2C2+cs2C2 =22tanA2tan2A2+1+62tanC2tan2C2+1=22mm2+1+66m9m2+1=m2+1m+9m2+1m=10m+2m≥210×2=45，
当且仅当10m=2m，即m=tanA2=55时等号成立，故2sinA+6sinC的最小值为45．
故选：C．
题型8正余弦和差积问题
【例题8】（2023秋·新疆巴音郭楞·高三校考开学考试）已知csα+csβ=45，sinα-sinβ=-35，则cs2α+2β=（ ）
A．1B．12C．-12D．-1
【答案】C
【分析】利用平方的方法，结合两角和的余弦公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】由csα+csβ=45两边平方得cs2α+cs2β+2csαcsβ=1625①，
由sinα-sinβ=-35两边平方得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=925②，
由①②两式相加并化简得csα+β=-12，
所以cs2α+2β=2cs2α+β-1=-12.
故选：C
【变式8-1】1. （2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知α为象限角，且满足sina+2csa=1，则sinα⋅csα2sin2α-cs2α=（ ）
A．-6B．6C．-1223D．1223
【答案】A
【分析】由sina+2csa=1两边平方可以求出tana的值，然后将sinα⋅csα2sin2α-cs2α分子、分母同时除以cs2a转化为tana的式子可求解.
【详解】α为象限角，则csα≠0 .
由sina+2csa=1两边平方得：sin2α+4sinαcsα+4cs2α=1.
即4sinαcsα+3cs2α=0，所以4sinα=-3csα.
所以tanα=-34.
sinα⋅csα2sin2α-cs2α=tanα2tan2α-1=-342-342-1=-6
故选：A
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式及应用，考查运算能力，属于中档题
【变式8-1】2. （2022秋·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知22sinα2-csα2=63，则sinα的值为
A．-13B．13C．223D．-223
【答案】A
【分析】根据题意将两式平方得到1-2sinα2csα2=43，再由二倍角公式可得到结果.
【详解】已知22sinα2-csα2= 63两式平方得到1-2sinα2csα2=1-sinα=43
由二倍角公式得到sinα=-13.
故答案为A.
【点睛】三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcsα;形如asinx+bcsxcsinx+dcsx,asin2x+bsin xcs x+ccs2x等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cs2θ=(sinθ+csθ)2-2sinθcsθ=tanπ4等.
(3)和积转换法:利用(sinθ±csθ)2=1±2sinθcsθ,(sinθ+csθ)2+(sinθ-csθ)2=2的关系进行变形、转化.
【变式8-1】3. （2022·陕西·校联考模拟预测）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若(sinα-csα)2=2sinαcsα，则角α可取的值用密位制表示错误的是（ ）
A．12-50B．2-50C．13-50D．32-50
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出α，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；
【详解】解：因为(sinα-csα)2=2sinαcsα，
即sin2α-2sinαcsα+cs2α=2sinαcsα，
即4sinαcsα=1，所以sin2α=12，所以2α=π6+2kπ,k∈Z，或2α=5π6+2kπ,k∈Z，
解得α=π12+kπ,k∈Z或α=5π12+kπ,k∈Z
对于A：密位制12-50对应的角为12506000×2π=5π12，符合题意；
对于B：密位制2-50对应的角为2506000×2π=π12，符合题意；
对于C：密位制13-50对应的角为13506000×2π=9π20，不符合题意；
对于D：密位制32-50对应的角为32506000×2π=13π12，符合题意；
故选：C
【变式8-1】4. （2023·河南·校联考模拟预测）已知α，β∈0,π2，csα+β=-513，tanα+tanβ=3，则csα-β=（ ）
A．13B．713C．47D．1
【答案】D
【分析】确定sinα+β=3csαcsβ，计算得到csαcsβ=413，sinαsinβ=913，计算得到答案.
【详解】tanα+tanβ=sinαcsα+sinβcsβ=3，化简得sinα+β=3csαcsβ，
故1=sin2α+β+cs2α+β=9cs2αcs2β+25169，解得csαcsβ=413，
又csα+β=csαcsβ-sinαsinβ =-513，则sinαsinβ=913，
故csα-β=csαcsβ+sinαsinβ=1.
故选：D.
【变式8-1】5. （2021·江西南昌·高三阶段练习）已知csα-cs2β=12,2sinα+sin2β=23，则sin2α2+β=（ ）
A．4172B．3172C．1136D．3136
【答案】B
【分析】根据题意得csα+2β=536，进而结合二倍角公式降幂求解即可.
【详解】解：因为csα-cs2β=12,2sinα+sin2β=23
所以2csα-cs2β=2,2sinα+sin2β=23
所以4cs2α+cs22β-4csαcs2β=4，
4sin2α+sin22β+4sinαsin2β=49，
所以5+4sinαsin2β-4csαcs2β=4+49，
整理得：csαcs2β-sinαsin2β=csα+2β=536
所以sin2α2+β=121-csα+2β=12-12csα+2β=12-572=3172
故选：B
【变式8-1】6. （2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）若sin2α+5-msinα+csα≥0在α∈0,π2上恒成立，则m的取值范围是 ．
【答案】-∞,32
【分析】设t=sinα+csα，利用参变分离可得m≤t+4t，然后利用导数求函数的最值即得.
【详解】由α∈0,π2可得α+π4∈π4,3π4，设t=sinα+csα=2sinα+π4∈1,2，
由sin2α+5-msinα+csα≥0可得m≤(sinα+csα)2+4sinα+csα=t+4t，
设ft=t+4t,t∈1,2，则f't=1-4t2=t2-4t2<0，
所以ft在1,2上单调递减，ft≥f2=32，
所以m≤f2=32，即m∈-∞,32．
故答案为：-∞,32.
【变式8-1】7. （2023·全国·高三专题练习）已知α∈0,π3，则sinαcsα+1sinα+csα的最大值是（ ）
A．1B．33-14C．334D．324
【答案】D
【分析】根据题意令t=sinα+csα∈1,2，然后代入所求的表达式，根据对勾函数的单调性即可求解,
【详解】因为α∈0,π3，α+π4∈π4,7π12，令t=sinα+csα=2sinα+π4∈1,2．
所以
sinαcsα+1sinα+csα=12⋅(sinα+csα)2+1sinα+csα=12sinα+csα+1sinα+csα=12t+1t，因为函数y=t+1t在(1,2]上单调递增，故y=12t+1t∈1,324，
即sinαcsα+1sinα+csα的最大值为324，
故选：D．
1．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知tanα+15°=7tanα-15°，则sinα-15°csα+15°=（ ）
A．23B．712C．13D．112
【答案】D
【分析】利用换元法，结合同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】由tanα+15°=7tanα-15°⇒sinα+15°csα+15°=7⋅sinα-15°csα-15°
⇒sinα+15°csα-15°=7sinα-15°csα+15°，
设A=sinα+15°csα-15°,B=csα+15°sinα-15°，A=7B①，
又A-B=sin30°=12②，
所以联立①②，解得A=712,B=112，故sinα-15°csα+15°=112．
故选：D
2．（2022·甘肃临夏·统考一模）已知函数f(x)=sinx-12cs2x，则f(x)的最大值为（ ）
A．12B．14C．32D．34
【答案】C
【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再换元，应用给定范围求二次函数最值即可.
【详解】f(x)=sinx-12cs2x=sinx-121-2sin2x=sin2x+sinx-12,
y=t2+t-12,t=sinx∈-1,1,对称轴为t=-12,应用二次函数的对称性可知，
当t=1时,ymax=1+1-12=32,
则f(x)的最大值为32.
故选：C.
3．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）已知tanθ-φ和tanθ+φ是关于x的方程x2+mx-3=0的两根，且tanθ=12，则m的值为（ ）
A．-5B．-163C．-173D．-6
【答案】B
【分析】根据条件可得tanθ-φ+tanθ+φ=-m，tanθ-φtanθ+φ=-3，tan2θ=43，然后利用tan2θ=tanθ-φ+θ+φ=tanθ-φ+tanθ+φ1-tanθ-φtanθ+φ建立方程求解.
【详解】因为tanθ-φ和tanθ+φ是关于x的方程x2+mx-3=0的两根，
所以tanθ-φ+tanθ+φ=-m，tanθ-φtanθ+φ=-3，
所以tan2θ=tanθ-φ+θ+φ=tanθ-φ+tanθ+φ1-tanθ-φtanθ+φ=-m4，
因为tanθ=12，所以tan2θ=2tanθ1-tan2θ=43，
所以-m4=43，m=-163，
故选：B
4．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）设sinπ5=m，则tanπ10+1tanπ10=（ ）
A．2mB．1mC．2mD．m
【答案】C
【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算，即可求解.
【详解】由tanπ10+1tanπ10=sinπ10csπ10+csπ10sinπ10=sin2π10+cs2π10csπ10sinπ10=2sinπ5=2m，
故选：C．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知sinα-β=13,csαsinβ=16，则cs2α+2β=（ ）．
A．79B．19C．-19D．-79
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为sin(α-β)=sinαcsβ-csαsinβ=13，而csαsinβ=16，因此sinαcsβ=12，
则sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23，
所以cs(2α+2β)=cs2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
6．（2023·全国·统考高考真题）过点0,-2与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（ ）
A．1B．154C．104D．64
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即x-22+y2=5，可得圆心C2,0，半径r=5，
过点P0,-2作圆C的切线，切点为A,B，
因为PC=22+-22=22，则PA=PC2-r2=3，
可得sin∠APC=522=104,cs∠APC=322=64，
则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcs∠APC=2×104×64=154，
cs∠APB=cs2∠APC=cs2∠APC-sin2∠APC=642-1042=-14<0，
即∠APB为钝角，
所以sinα=sinπ-∠APB=sin∠APB=154；
法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0，半径r=5，
过点P0,-2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，
可得PC=22+-22=22，则PA=PB=PC2-r2=3，
因为PA2+PB2-2PA⋅PBcs∠APB=CA2+CB2-2CA⋅CBcs∠ACB
且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cs∠APB=5+5-10csπ-∠APB，
即3-cs∠APB=5+5cs∠APB，解得cs∠APB=-14<0，
即∠APB为钝角，则csα=csπ-∠APB=-cs∠APB=14，
且α为锐角，所以sinα=1-cs2α=154；
方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0，半径r=5，
若切线斜率不存在，则切线方程为y=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，
则2k-2k2+1=5，整理得k2+8k+1=0，且Δ=64-4=60>0
设两切线斜率分别为k1,k2，则k1+k2=-8,k1k2=1，
可得k1-k2=k1+k22-4k1k2=215，
所以tanα=k1-k21+k1k2=15，即sinαcsα=15，可得csα=sinα15，
则sin2α+cs2α=sin2α+sin2α15=1，
且α∈0,π2，则sinα>0，解得sinα=154.
故选：B.

7．（2023·全国·统考高考真题）已知α为锐角，csα=1+54，则sinα2=（ ）．
A．3-58B．-1+58C．3-54D．-1+54
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为csα=1-2sin2α2=1+54，而α为锐角，
解得：sinα2= 3-58=5-1216=5-14．
故选：D．
非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tan p =ba，但是处理拔高题，仅仅简单的用此公式|是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次应用，不仅仅会"化正"，更要会“化余”.
asin α＋bcs α=a2+b2（aa2+b2sinα+ba2+b2csα）
令csφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2,
asin α＋bcs α=a2+b2（aa2+b2sinα+ba2+b2csα）=a2+b2（csφsinα+sinφcsα）=eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)
辅助角公式满足：
asin α＋bcs α=a2+b2（aa2+b2sinα+ba2+b2csα）=eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
-eq \r(a2＋b2)≤asin α＋bcs α≤eq \r(a2＋b2)
常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简.
两角和的正切公式的常见四种变形：
T(α＋β)：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③④tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
④1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；
T(α－β)：
①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；
②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③④tan α·tan β＝tanα-tanβtan(α-β)-1
④1+tan αtan β＝tanα-tanβtan(α-β)；
给值求角问题的解题策略:
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角
1.二倍角公式
2.升幂与降幂公式
1．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
2．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
注意：倍角公式中的"倍角"是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
x
0
0,7π6
7π6
7π6,11π6
11π6
11π6,2π
2π
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大
↘
极小
↗
sinα±csα的 问题一般通过1.平方法2.换元法进行解决