数学人教A版 (2019)第四章 数列4.2 等差数列完美版ppt课件

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4.2.2 等差数列的前n项和思维导图常见考法考点一 等差数列的基本量【例1】（陕西省安康中学其他（理））记为等差数列的前项和，，，则（ ）A．-77 B．-70 C．-49 D．-42【答案】A【解析】由，得，∴，，.故选:A【一隅三反】1．（内蒙古赤峰）若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（ ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】∵，∴，，解得.故选：A.2．（河南信阳·其他（文））正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）A．35 B．36 C．45 D．54【答案】C【解析】正项等差数列的前项和，，，解得或（舍），，故选C.3．（湖北十堰）已知等差数列的前n项和满足，则（ ）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【解析】因为，所以，又，所以．故，解得．故选：D.考点二 前n项和Sn与等差中项【例2】(1）（云南省云天化中学高一期末）等差数列中，，则数列前11项和（ ）A．12 B．60 C．66 D．72（2）．（吉林朝阳·长春外国语学校开学考试）设是等差数列的前n项和，若则（ ）A． B． C． D．【答案】(1)C（2）A【解析】（1）在等差数列中，，所以所以.故选：C.（2）在等差数列{an}中，由，得 故选：A（1）如果为等差数列，若，则 ．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.【一隅三反】1．（四川成都·二模（文））若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为 ，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．2．（河北运河·沧州市一中月考）若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（ ）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，又因为，所以.故选：D3．（河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在为等差数列中，当，，，时，．所以，又因为，所以．故选：A．4．（湖南宁乡一中）在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得：，，代入已知可得，即，故数列的前项之和．故选．考点三 前n项和Sn的性质【例3】（1）（陕西省洛南中学高二月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A．6 B．5 C．4 D．3（2）．（陕西武功·高三月考（理））设等差数列的前项和为若,，则( )A．45 B．54 C．72 D．81（3）（浙江吴兴·湖州中学）设为等差数列的前项和，且，，则（ ）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）B（3）A【解析】（1）因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，选B（2）因为为等差数列，所以为等差数列，所以即，所以，故选B.（3）设等差数列的公差为，则，则，因此，.故选：A.一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列【一隅三反】1．（山东省临沂第一中学高二期中）一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ）A．75 B．100 C．50 D．125【答案】A【解析】设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，由题意得，，解得，，故中间的项的和为75，故选：A．2．（河北运河·沧州市一中月考）是等差数列}的前n项和，若，则为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，根据是一个首项为，公差为的等差数列，各项分别为，故.故选：.3．（黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）A．0 B．2018 C． D．2020【答案】D【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得.则.故选：D.考点四 前n项和Sn的最值【例4】（陕西省洛南中学高二月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（ ）A．8 B．7或8 C．8或9 D．9【答案】C【解析】，数列是等差数列，并且公差为， ，对称轴是，，所以当或时，取得最大值.故选：C【一隅三反】1．（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，S100＞0，S101＜0，则满足anan+1＜0的n＝（ ）A．50 B．51 C．100 D．101【答案】A【解析】根据题意，等差数列中，，，则有，则有；又由，则有；则有，若，必有；故选：A2．（吉林南关·长春市实验中学）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因为等差数列的前项和有最大值，故可得因为，故可得，整理得，即，又因为，故可得.又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D.3．（安徽金安·六安一中高一期中（文））已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（ ）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因为，故.因为，故，所以，所以当时，取得最小值.故选：C.4．（安徽金安·六安一中高一期中（理））已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得到； 由，得到，∴等差数列为递减数列，且，,,当时，，且最大，最小，所以最大；当时，，此时；当时，，且，，所以，综上所述，，，…，中最大的是.故选：C．考点五 含有绝对值的求和【例5】（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，设，求．【答案】（1），；（2）.【解析】（1），当时，，满足，.设等差数列的公差为，则，；（2）由（1）知，，．当时，；当时，．综上所述，.【一隅三反】1．（浙江吴兴·湖州中学高一月考）已知等差数列 中，，，记，记的前项和为，的前项和为.（1）求首项和公差；（2）求和的表达式【答案】（1），；（2），.【解析】（1）由题可得，解得 ，；（2）由（1）可知， ，，当，即时，,当时，，.2．（安徽月考）已知数列的前n项和为，且().（1）求的最小值；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）.（2）【解析】（1），又，所以当或时，取得最小值，且最小值为.（2）当时，，所以. 当时，满足上式，所以. 由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正. 所以数列的前20项和为.3．（商丘市第一高级中学期末）已知数列的前项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以当时，，又因为时，适合上式，所以；（2）因为.①当时，，所以；②当时，，所以.所以.