广西师范大学附属外国语学校2022届高三5月适应性模拟训练测试一数学（理）试卷(含答案)

这是一份广西师范大学附属外国语学校2022届高三5月适应性模拟训练测试一数学（理）试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设复数在复平面内对应的点为,则的虚部为( )
A.iB.C.1D.3
2、“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点,某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品,2020年前三个季度,该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番,其前三季度的收入情况如图所示,则下列说法正确的是( )
A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍
B.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
C.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
D.该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和
3、设集合,,则集合的元素个数为( )
A.3B.2C.1D.0
4、星等分为两种:目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换,其中M为绝对星等,m为目视星等,d为距离(单位:光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77,绝对星等为2.19;织女星目视星等为0.03,绝对星等为0.5,且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为,则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据:,,)
A.26光年B.16光年C.12光年D.5光年
5、已知椭圆的左,右焦点分别为,,点P在椭圆上,若,则的面积为( )
A.8B.C.16D.
6、已知中,边AB,AC的垂直平分线交于点D,且,若,则( )
A.B.C.2D.4
7、某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:)是( )
A.B.C.D.
8、已知,,则( )
A.B.C.D.
9、设等差数列的公差为d,若,则“”是“()”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10、已知函数是定义在R上的偶函数,且为奇函数.若,则曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
11、公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的围是:,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A.720B.1440C.2280D.4080
12、声音是物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数;以下几个结论:
①是的一个周期;
②在上有3个零点;
③的最大值为;
④在上是增函数.
则正确的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题
13、若实数,y满足约束条件:,则的最小值为______
14、设,分别是椭圆的左,右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于P点,若满足,且,则椭圆C的离心率为______.
15、正四棱柱中,,.若M是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
16、设等差数列的前n项和为,等比数列的前项和,数列满足,,,且;下列几个结论中,所有正确结论的编号为___________.
①;
②;
③;
④.
三、解答题
17、在中,角A,B,C的对边分别为,b,c,C均为锐角,且满足.
（1）证明:是直角三角形;
（2）若面积为,求的周长的最小值.
18、已知二面角的大小为,四棱锥中,,,,,,且,,,.
（1）证明:.
（2）求二面角余弦值.
19、某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务(货物全部用统一规格的包装箱包装),现统计了最近100天内每天可配送的货物量,按照可配送的货物量T(单位:箱)分成了以下几组:,,,,,,并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率).
（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析每日的可配送货物量少的原因,并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析,求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.
（2）由频率分布直方图可以认为,该物流公司每日的可配送货物量T(单位:箱)近似服从正态分布,其中近似为样本平均数.
(i)试利用该正态分布,估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数(结果保留整数).
附:若,则,.
(ii)该物流公司负责人根据每日可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.
方案一:直接发放奖金,按每日的可配送货物量划分为三级,时,奖励50元;时,奖励80元;时,奖励120元.
方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会,每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率为
小张为该公司装卸货物的一名员工,试从数学期望的角度分析,小张选择哪种奖励方案对他更有利?
20、已知抛物线的焦点为F,A､是该抛物线上不重合的两个动点,O为坐标原点,当A点的横坐标为4时,.
（1）求抛物线C的方程;
（2）以AB为直径的圆经过点,点A､B都不与点P重合,求的最小值.
21、已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).
（1）求实数的值;
（2）用表示m,n中的最小值,设函数,若函数
为增函数,求实数c的取值范围.
22、已知平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(t为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程以及曲线的直角坐标方程;
（2）已知过原点的直线l与曲线C仅有1个交点M,若l与曲线也仅有1个交点N,求点M的极坐标.
23、（1）求的解集M;
（2）在（1）的条件下,设,,,证明:,,不能都大于1.
参考答案
1、答案：C
解析:由题意可得,所以,故其虚部为1,
故选:C.
2、答案：D
解析:设该直播间第一季度的总收入为,则该直播间第二季度的总收入为,第三季度的总收入为4a.
对于A选项,该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的4倍,A错;
对于B选项,该直播间第二季度,第三季度的化妆品收入分别为,,
故该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的,B错;
对于C选项,该直播间第一季度化妆品收入是,
故该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的,C错;
对于D选项,该直播间第一季度,第二季度,第三季度的服装收入分别为,,,
,故该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和,D对.
故选:D.
3、答案：A
解析:因为函数与在第二象限有唯一个交点,在第一象限有两个交点和.
所以集合的元素个数为.
故选:A.
4、答案：B
解析:由,所以,由题意知:,,,,设地球与牛郎星距离为,地球与织女星距离为,织女星与牛郎星距离为d,则,
,如图由余弦定理,所以,即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年;
故选:B
5、答案：B
解析:在椭圆中,,,则,所以,,
由椭圆的定义可得,
取的中点M,因为,则,
由勾股定理可得,
所以,.
故选:B.
6、答案：A
解析:依题意,D为的外接圆心.而,即,
则,则D为BC的中点,故BC为圆D的直径,
则,
又,故是等边三角形,,,
则,
故选:A.
7、答案：B
解析:根据题意作出长方体,取AB的中点E,
分别连接,DE,BD,,得到几何体,
可得几何体即为三视图所对应的几何体,
根据给定的几何体的三视图,可得,,,
则三棱柱的体积为,
三棱锥的体积为,
所以几何体的体积为.
故选:B.
8、答案：D
解析:方法一:因为,
所以,
又,,,
故,
故.
由题意,,
则,
上式平方得,故,,
故.
方法二:因为,所以,
又,,,
所以.
又,
故选:D.
9、答案：C
解析:充分性:若,则,即,,即,所以充分性成立;必要性:若,即,,则,必要性成立.因此,“”是“”的充要条件.
故选:C.
10、答案：D
解析:函数是定义在上的偶函数,且为奇函数,
,
,
,
函数的周期为4,
令可得即
,
由得,
,又
,
曲线在点处的切线方程为即.
故选:D.
11、答案：C
解析:一共有7个数字,且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列,可以得到个不同的数字.
当前两位数字为11或12时,得到的数字不大于3.14
当前两位数字为11或12时,共可以得到个不同的数字,
则大于3.14的不同数字的个数为
故选:C
12、答案：B
解析:的最小正周期是,的最小正周期是,
所以的最小正周期是,故①正确;
当,时,
,即,
即或,解得或或,
所以在上有3个零点,故②正确;
因为的周期为,所以只需求在上的最大值,
,
令,解得或,
当或时,,此时,则在,上单调递增,
当时,,此时但不恒0,则在上单调递减,因为,,则当时,函数取得最大值,故③正确,④错误.
故答案为:B.
13、答案：
解析:不等式组表示的可行域如图所示,
由,得,作出直线,向下平移过点B时,取得最小值,
由,得,即,
所以的最小值为,
故答案为:
14、答案：
解析:设点A坐标为,,所以有,解得:.
因为,所以直线l的方程为,
所以点,
所以有,,
所以,
所以.
故答案为:.
15、答案：2.
解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设点,则,,,
,,又,
得即;
又平面,为与平面所成角,
令,,,
当时,最大,即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为:2
16、答案：③④
解析:对于①,当时,,
当时,,
因为是等比数列,所以,,所以,,①错;
对于②,因为,,.
又因为是等差数列,所以,公差,则.
所以,.
设,则,
所以,,即,②错;
对于③,
,③对;
对于④,因为,
当时,
,
当时,满足,
所以,.
所以,.
故,④对.
故答案为:③④.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）在中,由正弦定理及得,
而,于是得,
假设不是直角三角形,而,均为锐角,则,即或,
当时,,则,同理,
因此,与矛盾,
当时,,则,同理,
则有,与矛盾,
从而得假设不成立,则有,
所以是直角三角形;
（2）由（1）知,是直角三角形,,则,解得,即
的周长,当且仅当时取“=”,
所以的周长的最小值是.
18、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:因为,,所以,
因为,,所以,
因为,所以平面ABCD,
又由,,的,
,,得,
因为,所以平面ABCD,
所以.
（2）由（1）可知,,
为二面角的平面角,,
又,,
四边形ABCD为圆内接四边形,.
设,则,
,,
因为,所以,
所以,所以,所以,
所以,
所以,,
以C为原点,l为轴,CD为y轴,过C作DA的平行线为轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,,
设平面SBC的法向量为,则,
取,得,,.
设平面的法向量为,则,
取,得,,.
,
结合图形可知,二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
19、答案：（1）
（2）方案二
解析:（1）随机抽取的11天中来自前3组的数据分别有1个,4个,6个,
所以至少有2天的数据来自这一组的概率.
（2）(i)由题可得,
所以.
故该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数为.
(ii)若选择方案一,设小张每日可获得的奖金为X元,则X的可能取值为50,80,120,
其对应的概率分别为0.25,0.6,0.15,
故.
若选择方案二,设小张每日可获得的奖金为Y元,则Y的可能取值为50,100,150,200,易知,
故,,,.
所以Y的分布列为
所以.
因为,所以从数学期望的角度看,小张选择方案二更有利.
20、答案：（1）
（2）11
解析:（1）,因为,所以,,
所以,所以,所以,
所以,得,
所以所求抛物线的方程为.
（2）设直线AB的方程为,设点､.
由方程组得.
,即,且,.
,.
因为以AB为直径的圆经过点,所以,,
,即,
,
,,
或,
若,直线过点,不合题意,舍去.
所以,.
则,
所以,当时,最小,且最小值为11.
21、答案：（1）1
（2）
解析:（1）对求导得.
设直线与曲线切于点,则
,解得,
所以的值为1.
（2）记函数,,下面考察函数的符号,
对函数求导得,.
当时,恒成立.
当时,,
从而.
在上恒成立,故在上单调递减.
,,,
又曲线在上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的,使.
,;,,
,
从而,
,
由函数为增函数,且曲线在上连续不断知在,上恒成立.
①当时,在上恒成立,即在上恒成立,
记,,则,,
当变化时,,变化情况列表如下:
,
故“在上恒成立”只需,即.
②当时,,当时,在上恒成立,
综合①②知,当时,函数为增函数.
故实数c的取值范围是
22、答案：（1）
（2）或
解析:（1）当时,,当且仅当时等号成立.
当时,,当且仅当时等号成立.
而曲线故曲线C的普通方程（或）;
而曲线,
故曲线的直角坐标方程;
（2）易知直线l的斜率存在,设直线;
而圆,故,解得;
联立解得或
故点M的极坐标为或.
23、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）由题设,,
当时,,得;
当时,恒成立;
当时,,得;
综上,得.
（2）由（1）知:,b,,
,,,其中等号成立的条件为a,b,.
,
假设,,都大于1,即显然与结论矛盾
,,不能都大于1,得证.
奖金
50
100
概率
Y
50
100
150
200
P
3
0
极小值