华中科技大学附属中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份华中科技大学附属中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若复数满足,则下列说法正确的是( )
A.的虚部为B.的共轭复数为C.对应点在第二象限D.
2、在下列条件中,一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是( )
A.B.
C.D.
3、已知向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为( )
A.B.C.D.
4、已知A,B,C,D,E是空间中的五个点,其中点A,B,C不共线,则“存在实数x,y,使得是“平面ABC”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5、在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,,,则的面积为( )
A.或B.或C.或D.或
6、为庆祝中国共产党成立100周年,甲,乙,丙三个小组进行党史知识竞赛,每个小组各派5位同学参赛,若该组所有同学的得分都不低于7分,则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数）,以下为三个小组的成绩数据,据此判断,一定是“优秀小组”的是( )
甲:中位数为8,众数为7
乙:中位数为8,平均数为8.4
丙:平均数为8,方差小于2
A.甲B.乙C.丙D.无法确定
7、如图,已知电路中有5个开关,开关闭合的概率为,其它开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为( )
A.B.C.D.
8、已知正方体的棱长为3,点P在的内部及其边界上运动,且,则点P的轨迹长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为:PM2.5日均值在以下,空气质量为一级:PM2.5日均值在,空气质量为二级:PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位:)变化的折线图,关于PM2.5日均值说法正确的是( )
A.这10天的日均值的80%分位数为60
B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C.这10天的日均值的中位数为41
D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
10、下列命题:①对立事件一定是互斥事件;
②若A,为两个随机事件,则;
③若事件A,满足,,,则A,相互独立;
④若事件,满足,则与是对立事件.其中错误的命题是( )
A.①B.②C.③D.④
11、已知空间四点,,,,则下列说法正确的是( )
A.
B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为
C.点O到直线BC的距离为
D.O,A,B,C四点共面
12、如图,在棱长为1的正方体中,E为侧面的中心,F是棱的中点,若点P为线段上的动点,则下列说法正确的是( )
A.的最小值为
B.若,则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C.PF与底面所成的角的取值范围为
D.若正方体绕旋转角度后与其自身重合,则的最小值是
三、填空题
13、如图,平行六面体中,,,,则线段的长度是_______.
14、已知向量是空间的一个基底,向量是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为__________.
15、祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,天文学家.他一生钻研自然科学,其主要贡献在数学,天文历法和机械制造三方面,特别是在探索圆周率的精确度上,首次将“”精确到小数点后第七位,即…,在此基础上,我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a,b,则事件“”的概率为_______.
16、设空间向量,,是一组单位正交基底,若空间向量满足对任意的x,y,的最小值是2,则的最小值是_________.
四、解答题
17、已知,.
（1）求与夹角的余弦值;
（2）当时,求实数k的值.
18、袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球,分别为黑球,黄球,绿球,从中任意取一球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求:
（1）从中任取一球,得到黑球.黄球.绿球的概率各是多少?
（2）从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少?
19、某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有20人,按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图,估计这20人的平均年龄和第80百分位数;
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
20、已知函数.
（1）若,且,求的值;
（2）在锐角中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,求的取值范围.
21、如图,在等腰直角三角形PAD中,,,,分别是PA,PD上的点,且,M,N分别为BP,CD的中点,现将沿BC折起,得到四棱锥,连结MN.
（1）证明:平面PAD;
（2）在翻折的过程中,当时,求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.
22、如图,三棱柱中,侧面,已知,,,点E是棱中点.
（1）求证:平面ABC;
（2）在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析:由,得,
对于A,复数的虚部为,故A不正确;
对于B,复数的共轭复数为,故B不正确;
对于C,复数对应的点为,所以复数对应的点在第二象限,故C正确;
对于D,,故D不正确.
故选:C.
2、答案：C
解析:根据向量共面定理,,若A,B,C不共线,且A,B,C,M共面,则其充要条件是,
由此可得A,B,D不正确,
选项C:,所以M,A,B,C四点共面,
故选:C.
3、答案：B
解析:因为,
所以,
因为平面的法向量,
所以点P到平面的距离.
故选:B
4、答案：B
解析:若平面ABC,则,,共面,故存在实数x,y,使得,所以必要性成立;
若存在实数x,y,使得,则,,共面,则平面ABC或平面ABC,所以充分性不成立;
所以“存在实数x,y,使得是“平面ABC”的必要不充分条件,
故选:B
5、答案：C
解析:因为,由正弦定理,
因为,,所以,因为,所以,根据余弦定理得,得或,所以或,
故选:C.
6、答案：A
解析:甲:中位数为8,众数为7,可知甲组的得分依次为:7,7,8,9,10,根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”
当乙组得分依次为:6,8,8,10,10时,中位数为8,平均数为8.4,但乙组不符合“优秀小组”的概念,
当丙组得分依次为:6,8,8,8,10时,丙:平均数为8,方差为,但丙组不符合“优秀小组”的概念.
故选:A.
7、答案：A
解析:设开关闭合为事件,,则事件灯不亮可表示为,由已知,,
,
事件灯亮的概率,
故选:A.
8、答案：A
解析:连接,,BD,
则,,,
平面,,
同理,平面.
设,连接BE交于O,
由且可知,则,
连接OP,则,,
可得点P的轨迹为以点O为圆心,为半径的圆在内部及其边界上的部分,
,E为中点,及为等边三角形可知O为中心,
,如图:
,,,
则,,同理易知,
故四边形是菱形,则.
的长度为,故点P的轨迹长度为.
故选:A.
9、答案：BD
解析:10个数据为:30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,
,故80%分位数为,A选项错误.
5天的日均值的极差为,后5天的日均值的极差为,B选项正确.
中位数是,C选项错误.
根据折线图可知,前5天数据波动性小于后5天数据波动性,所以D选项正确.
故选:BD
10、答案：BD
解析:对于①:对立事件一定是互斥事件,①正确;
对于②:若,为两个随机事件,则,②错误;
对于③:由,得A,相互独立,③正确;
对于④:记事件A为抛一枚硬币正面朝上,事件为掷一枚骰子出现偶数点,则,
,满足,显然事件A与可以同时发生,它们不是对立事件,④错误.
故选:BD
11、答案：AC
解析:空间四点,,,,则,,所以,,
对于A:,故A正确;
对于B:,所以,
所以以OA,OB为邻边的平行四边形的面积,故B错误;
对于C:由于,,所以,故,
所以点O到直线BC的距离,故C正确;
对于D:根据已知的条件求出:,,,
假设,,共面,则存在实数和使得,
所以,无解,故,,不共面,故D错误;
故选:AC.
12、答案：BCD
解析:以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由正方体棱长为1,则,,,,.
对于,,
设,,
所以,,,
,
所以时,,故A错误;
对于B,,则P是上靠近的三等分点,,
取AC上靠近C的三等分点G,则,.
显然与平面的法向量垂直,
因此平面,
所以截面PAC与平面的交线与PG平行,
作交于点M,
设,则,
由,可得,解得,
则M与F重合,因此取中点N,易得,
所以截面为ACFN,且为等腰梯形,
,,,
梯形的高为,
截面面积为,故B正确;
对于C,过P作的垂线,垂足为Q,连接FQ,则为所求角.
设,则,
由余弦定理知,.
因为P为线段上的动点,所以.
当时,.
,,
当时,,
所以,故,C正确;
对于D,,,,,,,
则,,同理.
所以是平面一个法向量,即平面,
设垂足为,则,
是正方体的外接球的直径,
因此正方体绕旋转角度后与其自身重合,至少旋转,故D正确.
故选:BCD.
13、答案：
解析:,
,
,
故答案为:.
14、答案：
解析:设;
,解得:,,;
在基底下的坐标为:.
故答案为:.
15、答案：
解析:依题意,“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4,1,5,9,2,6,从中任取两个数字a,b的不同结果是:
,,,,,,,,,,,,,,,共15种,它们等可能,
事件“”记为M,它含有的结果有:,,,,共4种,
于是得,
所以事件“”的概率为.
故答案为:
16、答案：1
解析:以,,方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,
设则,
当,时的最小值是,
取则
又因为x,y是任意值,所以的最小值是5.
取则
又因为x,y是任意值,所以的最小值是.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）或
解析:（1）.
（2）由于,
所以,
所以,
,
解得或.
18、答案：（1）,,
（2）
解析:（1）从中任取一球,分别记得到黑球,黄球,绿球为事件A,B,C,
由于A,B,C为互斥事件,
根据已知得,
解得,
从中任取一球,得到黑球,黄球,绿球的概率分别是,,;
（2）由（1）知黑球,黄球,绿球个数分别为2,1,3,
得到的两个球同色的可能有:两个黑球只有1种情况,两个绿球共3种情况,
而从6个球中取出2个球的情况共有15种,
所以所求概率为,
则得到的两个球颜色不相同的概率是.
19、答案：（1）37.5
（2）10
解析:（1）设这20人的平均年龄为,则
.
设第80百分位数为,由,解得.
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为,
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人,第四组和第五组分别抽取4人和2人,
设第四组,第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,,方差分别为,,
则,,,,
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为.
则,,
因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,
据此,可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为
,
由,得,因,所以,
所以,
所以
.
（2）由,因为,所以,
所以,即.
由正弦定理,可得,.
因为是锐角三角形,所以,即.
所以.
由,得,所以.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）在四棱锥中,取AB的中点E,连接EM,EN,
因为M,N分别为BP,CD的中点,,则,,
因为平面PAD,平面PAD,则平面PAD,同理可得,平面PAD,
又,ME,平面MNE,故平面平面PAD,因为平面MNE,
故平面PAD;
（2）因为在等腰直角三角形PAD中,,,
所以,则在四棱锥中,,,
因为,则,,又,PB,平面PAB,
故平面PAB,又平面PAB,故,
因为,,,则,所以,故.
以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则:
,,,,故,,,
设平面PBC的法向量为,则,
令,则,故;
设平面PCD的法向量为,则,
令,则,,故,
所以,
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为.
22、答案：（1）见解析
（2）或
解析:（1）由题意,因为,,,利用余弦定理,
解得,又,,侧面,.
又,AB,平面ABC,
直线平面ABC.
（2）以B为原点,分别以,和的方向为x,y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则有,,,,
设平面的一个法向量为,,,
,,令,则,,
假设存在点M,设,,,
,,
利用平面的一个法向量为,,得.
即,或,
或.