秦皇岛市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份秦皇岛市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设集合,,则( )
A.B.C.D.
2、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3、已知,,则为( )
A.奇函数B.偶函数
C.非奇非偶函数D.奇偶性与a有关
4、下列函数中,值域为R的是( )
A.B.C.D.
5、已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
6、若不等式的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
7、已知函数是R上的减函数,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、某同学解关于x不等式时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
9、负实数x,y满足,则最小值为( )
A.1B.0C.-1D.-4
10、已知定义在R上的函数满足,且当时,．给出以下四个结论：
①;
②可能是偶函数;
③在上一定存在最大值;
④的解集为．
其中正确的结论为( )
A.①②B.①③C.①④D.②④
二、多项选择题
11、若函数的定义域为,值域为,则实数m的值可以是( )
A.1B.2C.3D.4
12、下列说法正确的有( )
A.函数的单调递增区间为
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“关于x的方程有一正根和一负根”的充要条件
D.已知集合,,全集,若,则实数m的取值集合为
13、已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件：①,;②,,当时,;③．则下列选项成立的是( )
A.B.若,则
C.若,则D.,,使得
14、已知a,b为正实数,且,则( )
A.ab的最大值为4B.的最小值为8
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
15、已知幂函数的图象是轴对称图形,则实数___________．
16、已知函数为奇函数,则___________．
17、若函数在区间上单调,则实数a的取值范围是__________.
18、若当时,函数是单调函数,且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间,则实数m的取值范围为___________．
19、设;.若p是q充分不必要条件,求实数a的取值范围___________.
四、解答题
20、已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
（1）求当时,函数的解析式;
（2）若,求实数a的取值范围.
21、已知函数满足,且．
（1）求函数的解析式;
（2）若在上的最大值为2,求实数的值．
22、某品牌手机公司的年固定成本为50万元,每生产1万部手机需增加投入20万元,该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时,每销售1万部手机的收入万元;当年销售量x不低于40万部时,每销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式;
（2）年销售量为多少万部时,利润最大,并求出最大利润．
23、已知函数是定义域为R的奇函数,且满足．
（1）判断函数在区间上的单调性,并用定义证明;
（2）已知,,且,若,证明：．
参考答案
1、答案：B
解析：,,
又,
故选：B.
2、答案：C
解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题,
所以命题“,”的否定是,.
故选：C.
3、答案：B
解析：函数的定义域为R,
,
函数偶函数.
故选：B．
4、答案：D
解析：对于函数,由于,则,故它的值域不是R,故A不满足题意;
对于函数,由于,则,故它的值域不是R,故B不满足题意;
对于函数,由于,则,故它的值域不是R,故C不满足题意;
对于函数,可得关于x的方程有解,
,y可以取任意实数,即,故D满足条件.
故选：D.
5、答案：C
解析：因为函数的定义域为,所以满足,即,
又函数有意义,得,解得,
所以函数的定义域为.
故选：C.
6、答案：B
解析：由题意知,不等式的解集为R,
即为不等式在R上恒成立,
当时,即时,不等式恒成立,满足题意;
当时,即时,则满足,
即,解得,
综上可得,实数m的取值范围是.
故选：B.
7、答案：C
解析：二次函数的对称轴为,
因为函数是R上的减函数,
所以有.
故选：C.
8、答案：C
解析：由题意可知,且,所以,
所以化为,
,解得.
故选：C.
9、答案：B
解析：根据题意有,故,
当且仅当,时取等号．
故选：B.
10、答案：C
解析：对于①,令,则,所以,故①正确;
对于②,令,则,
所以,所以为奇函数,
又当时,,所以不是常函数,不可能是偶函数,故②错误;
对于③,设,则,
则,
所以,所以是减函数,
所以在上一定存在最大值,故③错误;
对于④,因为为减函数,,
由,得,解得,
所以的解集为,故④正确.
故选：C.
11、答案：BC
解析：因为为开口方向向上,对称轴为的二次函数,
当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,
所以当时,,,
令,解得,,
故要想在上的值域为,则要,
结合选项知,实数m的值可以是2和3.
故选：BC.
12、答案：CD
解析：对于A,令,解得,故函数定义域为,
其中,
故在上单调递增,在上单调递减,
其中在上单调递增,
由复合函数单调性可知,的单调递增区间为,A错误;
对于B,若,不一定得到,例如：,,
故“”不是“”的必要条件,B错误;
对于C,有一正一负根,则需要满足,,
故“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件,C正确;
对于D,,要使,进一步可得,故当时,显然满足,此时,
当时,此时,解得,符合题意,
当时,此时,解得,符合题意,
综上可知实数的集合为,故D正确.
故选：CD.
13、答案：BCD
解析：因为函数定义在R上的函数,
所以由①：,,所以函数为偶函数,
又因为由②知：,,当时,,
所以函数在上单调递增,
所以函数在上单调递减,
又因为,所以,
作出函数的大致图象,如图所示：
对于A：因为函数在上单调递减,因此,故A错误;
对于B：因为定义在R上的偶函数在上单调递增且连续,且,
所以,即,解得,即,故B正确;
对于C、因为,,
因为函数为偶函数,在单调递增,
所以由或,解得或,即,因此C正确;
对于D、由C知是函数的最小值,
因此,,使得,因此D正确,
故选：BCD．
14、答案：BC
解析：A选项,因为a,b为正实数,
则,
令,,则,解得,
所以,
即,即,
当且仅当即,时等号成立,
故ab的最大值为8,A错误;
B选项,由,得,
则,
所以,
,
当且仅当,即时等号成立,
此时取得最小值8,B正确;
选项C,,
当且仅当,即时等号成立,
故的最小值为,即C正确;
选项D,,
当且仅当,即,时,等号成立,
此时取得最小值,D错误．
故选：BC．
15、答案：2
解析：因为是幂函数,
所以,即,
解得或,
当时,为奇函数,不满足题意;
当时,的图象关于y轴对称,满足题意.
所以,.
故答案为：2.
16、答案：4
解析：由题可得,因为为奇函数,
所以,即,解得.
故答案为：4.
17、答案：
解析：二次函数的对称轴为,
因为函数在区间上单调,且区间有意义,
所以或,解得或,
则实数a的取值范围是.
故答案为：.
18、答案：
解析：若,则在上单调递减,所以
得,所以,,
则,又因为,所以,
则有,所以,
当时,在上单调递增,所以
则关于x的方程有两个不同的非负根,所以解得,
综上可知.
故答案为：.
19、答案：
解析：由,两边平方得,解得.
（也可以根据绝对值得性质直接去绝对值求解）
,化为,解得.
因为p是q的充分不必要条件,
所以,且等号不同时成立,解得,
所以实数a的取值范围为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,
所以,
因为是定义在上的奇函数,
所以,
所以,
所以
即当时,函数的解析式为,
（2）由,得,
因为为奇函数,所以,
当时,,
所以在上单调递增,
因为函数是定义在上的奇函数,
所以在上单调递增,
所以,解得,
即实数a的取值范围为.
21、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）利用换元法令,则,由求得,所以;（2）根据（1）有,对称轴为,函数左减右增,最大值在两端取得,、,当时,,当时,,,.
（i）令,则,又,,即.
（ii）,
图像对称轴为,
在上是减函数,在上是增函数,
在上的最大值为或,
又,,
当时,,当时,,,.
22、答案：（1）
（2）38万部时,最大利润为7170万元.
（1）依题意,生产万部手机,成本是（万元）,
故利润,而,
故,
整理得,;
（2）时,,开口向下的抛物线,在时,
利润最大值为;
时,,
其中,在上单调递减,在上单调递增,
因,故时,取得最小值
故在时,y取得最大值
而,
故年销售量为38万部时,利润最大,最大利润为7170万元.
23、答案：（1）,单调递减
（2）证明见解析
解析：（1）因为函数是定义域为R的奇函数,,
所以,解得,所以,
且,函数是定义域为R的奇函数,
设,则
,因为,所以,,
所以,,
所以函数在区间上单调递减;
（2）证法一：由题意,,则有,
因为,所以,即,
所以,得证．
证法二：由（1）知,在上单调递减,
设,则,
因为,所以,
所以,,
所以函数在区间上单调递增;
因为,,,所以,,
所以要证,即证,
即证,即证,
代入解析式得,即证,
化简整理得,即证,
因为,显然成立,所以原不等式得证,所以．