高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义精品达标测试

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1．（3分）（2021·江苏·高二专题练习）函数fx=12x在x=2处的导数为（ ）
A．2B．12C．14D．-18
【解题思路】利用导数的定义即可求出结果.
【解答过程】limΔx→0ΔfxΔx=limΔx→0f2+Δx-f2Δx=limΔx→0122+Δx-12×2Δx=limΔx→0-12⋅14+2Δx=-18，所以函数fx在x=2处的导数为-18.
故选：D.
2．（3分）（2021·江苏·高二单元测试）已知函数fx=x-1x，则该函数在x=1处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】利用导数的定义求解.
【解答过程】因为f1+Δx-f1=1+Δx-11+Δx-1-11，
=Δx+1-11+Δx=Δx+Δx1+Δx，
所以斜率k=limΔx→0f1+Δx-f1Δx，
=limΔx→01+11+Δx=1+1=2．
故选：C.
3．（3分）（2022·浙江·高二期中）已知函数fx可导，且满足lim△x→0f3-Δx-f3+ΔxΔx=2，则函数y=fx在x=3处的导数为（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【解题思路】根据导数的定义求解.
【解答过程】因为lim△x→0f3-Δx-f3+ΔxΔx=-2lim△x→0f3-Δx-f3+Δx-2Δx=-2f'(3)=2,
所以f'(3)=-1,
故选:A.
4．（3分）（2022·山东·高二期中）设fx存在导函数且满足limΔx→0f1-f1-2Δx2Δx=-1，则曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.
【解答过程】解：因为fx存在导函数且满足limΔx→0f1-f1-2Δx2Δx=limΔx→0f1-f1-2Δx1-1-2Δx=-1，
所以f'1=-1，即曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为-1，
故选：A.
5．（3分）（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数fx的导函数为f'x，若y=f'x的图象如图所示，则函数y=fx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【解答过程】由导函数得图象可得：x>0时，f'x<0，所以fx在-∞,0单调递减，
排除选项A、B，
当x>0时，f'x先正后负，所以fx在0,+∞先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
6．（3分）（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t)，定义域为D，设t0∈D,t0±Δt∈D,k1,k2分别表示f(t)在区间t0-Δt,t0,t0,t0+Δt(Δt>0)上的平均变化率，则（ ）
A．k1>k2B．k1【解题思路】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还要注意变化量和变化率是负数，可判断出结果.
【解答过程】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以f(t)在区间t0-Δt,t0,t0,t0+Δt(Δt>0)上的平均变化率由大变小，即k1>k2．
故选：A．
7．（3分）（2021·全国·高二专题练习）函数fx的图象如图所示，f'x为函数fx的导函数，下列排序正确的是（ ）
A．fa+1-fa＜f'a＜f'a+1
B．f'a+1＜f'a＜fa+1-fa
C．f'a+1＜fa+1-fa＜f'a
D．f'a＜fa+1-fa＜f'a+1
【解题思路】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.
【解答过程】因为f'(a)、f'(a+1)分别是函数f(x)在x=a、x=a+1处的切线斜率，
由图可知f'(a+1)又f(a+1)-f(a)=f(a+1)-f(a)(a+1)-a=f'(x0)，x0∈(a,a+1)，
所以f'a+1＜fa+1-fa＜f'a，
故选：C.
8．（3分）（2022·北京·高二阶段练习）为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=ft，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同.
B．在t2,t3内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同.
C．若t0∈t2,t3，则在t0时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同
D．若t0∈t1,t2，则在t0时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度
【解题思路】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．
【解答过程】对于A选项，在t1时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，瞬时变化率为切线的斜率，故不相同，故A错误；
对于B选项，在t2,t3两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在t2,t3这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故B错误；
对于C选项， t2,t3这个时间段内，在t2时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率大于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，在t3时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率小于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，故存在t0∈t2,t3使得甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同，故C错误；
对于D选项，在t1,t2内，乙血管中药物浓度始终大于甲血管中药物浓度，在t1,t2时刻，甲乙血管中药物浓度相同，故若t0∈t1,t2，则在t0时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度，D正确.
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若当Δx→0，满足f1-f1-Δx2Δx→-1，则下列结论正确的是（ ）
A．f1+Δx-f1-ΔxΔx→-4
B．f1+Δx-f1-ΔxΔx→-2
C．曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为-1
D．曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为-2
【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.
【解答过程】由f1-f1-Δx2Δx→-1得：f1-f1-ΔxΔx→-2，即f'1=-2，
∴曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为-2，C错误；D正确；
f1+Δx-f1-ΔxΔx=2×f1+Δx-f1-Δx2Δx=2×f1-f1-ΔxΔx→-4，A正确；B错误.
故选：AD.
10．（4分）（2022·安徽·高二阶段练习）若函数y=fx的导函数在区间a,b上是增函数，则函数y=fx在区间a,b上的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据导数的几何意义判断即可.
【解答过程】因为函数y=fx的导函数在区间a,b上是增函数，
即在区间a,b上，函数y=fx各点处的斜率k是递增的，
由图知选BCD．
故选：BCD.
11．（4分）（2021·全国·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解题思路】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【解答过程】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v=s0t0，故A错误．
瞬时速度为切线斜率，故B错误．
在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2-s0t1-t0，乙的平均速度为s1-s0t1-t0，
因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以s2-s0t1-t0>s1-s0t1-t0，故C正确．同理D正确．
故选：CD.
12．（4分）（2022·浙江·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数f(x)=x3+2x，则该函数在区间1,3上的平均变化率为30
B．已知A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数y=f(x)图象上，若函数f(x)从x1到x2平均变化率为3，则曲线y=f(x)的割线AB的倾斜角为π3
C．已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V=2t2-1，则t=2时瞬时加速度为7
D．已知函数f(x)=x，则f(9.05)≈3.008
【解题思路】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.
【解答过程】由题意可知，f(3)-f(1)3-1=33+2×3-13+2×13-1=302=15，故A错误；
根据平均变化率的概念可知若函数f(x)从x1到x2平均变化率即为割线AB的斜率，即AB的斜率fx2-fx1x2-x1=3，所以割线AB的倾斜角为π3，故B正确.
因为V'=4t，根据速度与加速的关系可知t=2时瞬时加速度为V'2=8，故C错误；
函数y=fx在点x0处的导数f'x0=limx→0△y△x=limx→0f(x0+△x)-f(x0)△x，由极限的意义可知，当△x充分小时，△y△x≈f'x0，即△y≈△xf'x0，从而fx0+△x≈fx0+△xf'x0，
又f'(x)=12x，
所以f(9.05)=f9+0.05≈f9+0.05×f'9≈3+0.05×12×3≈3.008，故D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市高二期末）已知f(x)=x+1x，则limh→0f(2+h)-f(2)h= -14 ．
【解题思路】先求出f(2+h)-f(2)，然后代入limh→0f(2+h)-f(2)h中求解即可.
【解答过程】因为f(x)=x+1x=1+1x，
所以f(2+h)-f(2)=1+12+h-1+12=12+h-12=-h2(2+h)，
所以limh→0f(2+h)-f(2)h=limh→0-h2(2+h)h=limh→0-12(2+h)=-14，
故答案为：-14.
14．（4分）（2022·上海高二期末）若函数f(x)=x2-m2在区间[2,t]上的平均变化率为5，则t= 3 ．
【解题思路】利用函数平均变化率的计算公式计算.
【解答过程】解：函数f(x)=x2-m2在区间[2,t]上的平均变化率为ft-f2t-2=t2-m2-4-m2t-2=5，
解得t=3.
故答案为：3.
15．（4分）（2022·上海·高三期中）若fx为可导函数，且limx→0f1-2x-f14x=-1，则过曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为 2 ．
【解题思路】直接根据导数的定义计算得到答案.
【解答过程】limx→0f1-2x-f14x=-1，
故k=f'1=limx→0f1-2x-f1-2x=2.
故答案为：2.
16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为vt，区间0,t1，0,t2，t1,t2上的平均速度分别为v1，v2，v3，则下列判断正确的个数为 3 ．
（1）v1（2）v1+v32>v2；
（3）对于vii=1,2,3，存在mi∈0,t2，使得vmi=vi；
（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．
【解题思路】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知t1,s20，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可.
【解答过程】解：由题意，可知v1=s02-0t1+-0=s02t1，v2=s0-0t2-0=s0t2，v3=s0-s02t2-t1=s02t1-t1．
由题中图像可知t1t2，因此v1=s02t1而t2-2t2-t1=2t1-t2>0，所以t2>2t2-t1，
因此v2=s0t2因为v1+v3-2v2=s012t1++12t2-t1-2t2，
t22t1t2-t1-2t2=t22-4t1t2-t12t1t2t2-t1=t2-2t122t1t2t2-t1>0，故v1+v32>v2成立，（2）正确；
由题中图像可知，直线与曲线的交点为t1,s20，故存在mi∈0,t2，使得vmi=vi，即当mi=t1时，vt1=v1，故（3）正确；
t时刻的瞬时速度为vt，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当t=t1时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确．
故答案为：3．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数fx=ax2-43ax+b，f'1=1，f1=2，求实数a，b的值.
【解题思路】先根据导数的定义求出f'(1)，再由f'1=1可求出a，然后由f1=2求出b，
【解答过程】解：∵f'1=limΔx→0f1+Δx-f1Δx
=limΔx→0a1+Δx2-43a1+Δx+b-a-43a+bΔx =limΔx→0aΔx2+23aΔxΔx=limΔx→0aΔx+23a=23a=1，
∴a=32.
又f1=a-43a+b=2，∴b=52.
故a=32，b=52.
18．（6分）（2022·湖南·高二课时练习）一个做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2s时的瞬时速度；
(3)求t＝0s到t＝2s的平均加速度.
【解题思路】求出平均速度，v＝ΔsΔt，由极限得出瞬时速度表达式，
（1）由t=0得初始速度；
（2）t=2代入得瞬时速度；
（3）由v(2)-v(0)2可得平均加速度．
【解答过程】(1)
在t0到t0＋Δt的时间内，轿车的平均速度为v＝ΔsΔt＝s(t0+Δt)-s(t0)Δt＝3－2t0－Δt.
当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于3－2t0.
所以，当t＝t0时轿车的瞬时速度v(t0)＝3－2t0.
初速度v(0)＝3m/s.
(2)
t＝2s时的瞬时速度v(2) ＝－1m/s.
(3)
t＝0s到t＝2s的平均加速度a＝v(2)-v(0)2＝－2m/s2.
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=2x2+3x-5.
(1)求当x1=4，且Δx=1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(2)求当x1=4，且Δx=0.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(3)若设x2=x1+Δx，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义.
【解题思路】（1）（2）由解析式展开并化简Δy=f(x1+Δx)-f(x1)，再将x1、Δx代入求值即可.
（3）根据ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1，结合直线斜率的两点式说明几何意义即可.
【解答过程】（1）
Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5- 2x12-3x1+5=4x1Δx+2(Δx)2+3Δx.
当x1=4且Δx=1时，Δy=4×4×1+2+3=21，
所以平均变化率ΔyΔx=121=21.
（2）
当x1=4且Δx=0.1时，Δy=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92，
所以平均变化率ΔyΔx=
（3）
在（1）中，ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=f(5)-f(4)5-4，
它表示曲线上两点P0(4,39)与P1(5,60)所在直线的斜率；
在（2）中，ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=f(4.1)-f(4)4.1-4，
它表示曲线上P0(4,39)与P2(4.1,40.92)所在直线的斜率.
20．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）如图，A，B，C，D，E，F，G为函数y=f(x)图象上的点．在哪些点处，曲线的切线斜率为0？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？
【解题思路】根据导数的定义以及函数的图象判断即可．
【解答过程】解：根据导数的定义结合图象可知，
在E，F处曲线的切线的斜率是0，
在A，B，C处曲线的切线的斜率是正，
在D，G处的曲线的切线的斜率是负，
在B处的切线的斜率最大，在D处的切线的斜率最小．
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
【解题思路】（1）用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况；
（2）先求k＝f′（2），再求切线的方程得解.
【解答过程】解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
当t＝2时，f（2）＝0．
当t＝2时，切线的斜率
k＝f′（2）＝limΔx→0f(2+Δt)-f(2)Δt=limΔx→04(2+Δt)-2(2+Δt)2-8+8Δt
=limΔx→04Δt-2(Δt)2-8ΔtΔt=limΔx→0(-2Δt-4)=-4，
所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0．
22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).
（1）若割线AB的斜率不大于-1，求Δx的范围；
（2）求函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的方程.
【解题思路】（1）求出割线的斜率（平均变化率），解不等式ΔyΔx≤-1可得；
（2）求出x=2进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程．
【解答过程】（1）由题意得，割线AB的斜率为ΔyΔx=f(2+Δx)-f(2)Δx
=-(2+Δx)2+(2+Δx)-(-4+2)Δx
=-4Δx+Δx-(Δx)2Δx=-3-Δx，
由-3-Δx≤-1，得Δx≥-2，
又因为Δx>0，所以Δx的取值范围是(0,+∞).
（2）由（1）知函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为
k=lim△x→0△y△x=lim△x→0-3-△x=-3，
又f(2)=-22+2=-2，
所以切线的方程为y-(-2)=-3(x-2)，
即3x+y-4=0.