高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀当堂达标检测题

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1．基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
3．复合函数的导数
(1)复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
(2)复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
【题型1 求函数的导数的方法】
【方法点拨】
1.总原则：先化简解析式，再求导.
2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，
再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.
【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（ ）
A．lnx'=xB．sinπ5'=csπ5
C．csx'=sinxD．ax'=axlna a>0,a≠1
【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.
【解答过程】lnx'=1x，A项错误；因为sinπ5是个常数，所以sinπ5'=0，B项错误；
csx'=-sinx，C项错误； ax'=axlna a>0,a≠1，D项正确.
故选：D.
【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（ ）.
A．sin10°'=cs10°B．csx'=sinx
C．sinx'=csxD．x-5'=-15x-6
【解题思路】由基本函数求导公式，依次对四个选项求导验证，只有C正确，故答案为C.
【解答过程】根据基本函数求导公式，
sin10°'=0，故A错误；
csx'=-sinx，故B错误；
sinx'=csx，故C正确；
x-5'=-5x-6，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=lnx+x2f'(1)+x，则f'(-1)=（ ）
A．323B．-323C．4D．-4
【解题思路】将fx求导，将1代入导数得f'1的值，再将-1代入导数就可计算出f'-1的值.
【解答过程】因为fx=lnx+x2f'1+x ，
所以f'x=1x+2f'1x+1 ，
所以f'1=2+2f'1 ，所以f'1=-2
f'x=1x-4x+1 ，所以f'-1=-1+4+1=4 .
故选：C.
【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=t2，g(x)=2csx，则（ ）
A．f'x=0,g'x=-2sinxB．f'x=2t,g'x=-2sinx
C．f'x=0，g'x=2sinxD．f'x=2t,g'x=2sinx
【解题思路】根据基本初等函数求导公式，可得答案.
【解答过程】由题意，f'x=0,g'x=-2sinx，
故选：A.
【题型2 复合函数的求导方法】
【方法点拨】
(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
(3)相乘：把上述求导的结果相乘；
(4)变量回代：把中间变量回代.
【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．sinπ5'=csπ5B．x2sin3x'=2xsin3x+x2cs3x
C．tanx'=1cs2xD．ln2x-1'=12x-1
【解题思路】根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.
【解答过程】对于A，sinπ5'=0，故A不正确；
对于B，x2sin3x'=(x2)'sin3x+x2(sin3x)'=2xsin3x+3x2cs3x，B错误.
对于C，tanx'=sinxcsx'=csx⋅csx-sinx⋅-sinxcs2x=1cs2x，C正确
对于D，ln2x-1'=12x-1×2=22x-1，D错误.
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．x+1x'=1+1x2B．[ln4x]'=1x
C．x2ex'=2x+x2exD．x2csx'=2xcsx+x2sinx
【解题思路】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可求解.
【解答过程】解：x+1x'=1-1x2，选项A错误；[ln4x]'=14x×4=1x，选项B正确；x2ex'=2xex-x2exex2=2x-x2ex，选项C错误；x2csx'=2xcsx-x2sinx，选项D错误.
故选：B.
【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（ ）
A．2e-x'=2e-xB．ln2+lg2x'=xln2
C．sinπ5'=csπ5D．excsx'=excsx-sinx
【解题思路】根据导数的运算法则和导数基本公式对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】对于A，2e-x'=-2e-x，故A不正确；
对于B，ln2+lg2x'=1xln2，故B不正确；
对于C，sinπ5'=0，故C不正确；
对于D，excsx'=excsx-sinx，故D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（ ）
A．x-1x'=1-1x2B．exlnx'=exx
C．tanx'=1cs2xD．ln2x-1'=12x-1
【解题思路】由导数的求导法则及复合函数的导数依次判断即可.
【解答过程】对于A，x-1x'=1+1x2，A错误；对于B，exlnx'=exlnx+exx，B错误；
对于C，tanx'=sinxcsx'=csx⋅csx-sinx⋅-sinxcs2x=1cs2x，C正确；
对于D，ln2x-1'=12x-1×2=22x-1，D错误.
故选：C.
【题型3 求曲线的切线】
【方法点拨】
求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.
(1)若“在”，则该点为切点.
(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.
【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线y=sinx+ex在x=0处的切线方程是（ ）
A．x-3y+3=0B．x-2y+2=0C．2x-y+1=0D．3x-y+1=0
【解题思路】求出函数y=sinx+ex的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．
【解答过程】y=sinx+ex的导数为y'=csx+ex，在点(0,1)处的切线斜率为k=cs0+e0=2，
即有在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1，即2x-y+1=0.
故选：C.
【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数fx=x2-4ex+1的图象在点0,f0处的切线方程为（ ）
A．x+4y+12=0B．4x+y+3=0C．x-4y-12=0D．4x-y-3=0
【解题思路】先求导，再求出f'0和f0的值，最后利用点斜式求出切线方程即可.
【解答过程】因为fx=x2-4ex+1，所以f'x=2x-4ex.因为f0=-3，f'0=-4，所以所求切线方程为y--3=-4x，即4x+y+3=0.
故选：B.
【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线f(x)=xlnx在x=e（其中e为自然对数的底数）处的切线方程为（ ）
A．y=2x-eB．y=2x+eC．y=-xD．y=x
【解题思路】求导，切线斜率等于切点处的导函数值，点斜式求解即可.
【解答过程】由题知，f(x)=xlnx，
所以f'(x)=lnx+1，x>0，
当x=e时，f(e)=elne=e，f'(e)=lne+1=2，
所以切点为e,e，
所以切线方程为y-e=2x-e，即y=2x-e.
故选：A.
【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数fx=sinx1-2cs2x2，则曲线fx在x=π3处的切线斜率为（ ）
A．0B．-14C．32D．12
【解题思路】由导数的几何意义求解即可
【解答过程】由fx=sinx1-2cs2x2=sinx1-2×1+csx2=-sinx⋅csx，
可知f'x=-cs2x+sin2x，
所以f'π3=-14+34=12，
故选：D．
【题型4 已知切线方程求参数】
【方法点拨】
当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：
(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.
【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数fx=ex+ax在x=0处的切线与直线2x-y-5=0平行，则实数a=（ ）
A．-1B．1C．12D．14
【解题思路】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于a的方程，可求出a的值.
【解答过程】函数fx=ex+ax的导函数为f'(x)=ex+a ，
函数在x=0处的切线的导数即为切线的斜率为f'(0)=e0+a=1+a，
且切线与直线2x-y-5=0平行，
则有1+a=2 ，可得a=1 .
故选：B.
【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数f(x)=ax-2lnx在(1,f(1))处切线方程为x+y+m=0，则实数m=（ ）
A．-1B．-2C．2D．0
【解题思路】求导，利用导数的几何意义得到f'(1)=a-2=-1，求出a=1，得到切点坐标，代入切线方程中，求出m=-2.
【解答过程】f'(x)=a-2x，则f'(1)=a-2=-1，解得：a=1，
所以f(x)=x-2lnx，f(1)=1-2ln1=1，
所以切点坐标为1,1，将其代入x+y+m=0中，
故1+1+m=0，解得：m=-2.
故选：B.
【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数f(x)=a2x2+blnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x-y-1=0，则ab等于（ ）
A．2B．1C．0D．﹣2
【解题思路】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.
【解答过程】解：函数f(x)=a2x2+blnx的导数为f'(x)=ax+bx，
可得在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=a+b，
因为在点(1,f(1))处的切线方程是2x-y-1=0，
所以f'(1)=a+b=2，f(1)=2×1-1=1=a2，
解得a=2，b=0，
所以ab=0
故选：C.
【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx-52与曲线y=x2-3lnx的公切线，则m-n=（ ）
A．-30B．-25C．26D．28
【解题思路】设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx-52切于点(a,-a-m)，与曲线y=x2-3lnx切于点(b,-b-m)，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案.
【解答过程】设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx-52切于点(a,-a-m)，
与曲线y=x2-3lnx切于点(b,-b-m)．
对于函数y=x2-3lnx,y'=2x-3x，则2b-3b=-1，
解得b=1或-32（舍去）．
所以1-3ln1=-1-m，即m=-2．
对于函数y=x3+nx-52,y'=3x2+n，
则3a2+n=-1,a3-3a2+1a-52=-a+2，
整理得a3=-27,a=-3，所以n=-3a2-1=-28，故m-n=26．
故选：C.
【题型5 函数图象的应用】
【方法点拨】
结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.
【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知fx=14x2+sinπ2+x，f'x为fx的导函数，则f'x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】对函数fx求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将x=π6代入导函数即可解得答案.
【解答过程】解：∵fx=14x2+sinπ2+x=14x2+csx，
∴f'x=12x-sinx，
∴f'-x=12-x-sin-x=-12x+sinx
∴f'-x=-f'x
∴f'x=12x-sinx是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
将x=π6代入f'x得：f'π6=π12-12<0，排除C．
故选：A．
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数fx=ax2+bx+c，设gx=e-x⋅fx，若函数gx的导函数g'x的图像如图所示，则（ ）
A．ab，b>c
C．ba>1，b=cD．ba<1，b=c
【解题思路】求出函数g'x，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.
【解答过程】依题意，gx=e-x(ax2+bx+c)，求导得g'(x)=-e-x(ax2+bx+c)+e-x(2ax+b) =-e-x[ax2-(2a-b)x+c-b]，
观察g'x的图像得：g'0=c-b=0，即b=c，g'x的另一个零点为2a-ba=2-ba>1，即ba<1，
所以有ba<1，b=c.
故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为( )
A．2B． C．－D．－
【解题思路】求出函数的导函数，利用导函数的周期π，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（3π8，-1），求出φ，得到函数的解析式，进而求得f（π2）
的值.
【解答过程】依题意得 f ′(x)＝Aωcs(ωx＋φ)，结合函数y＝f ′(x)的图象，则T＝2πω＝4（3π8-π8）＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝12.
∵f ′（3π8）＝cs（3π4＋φ）＝－1，且0<φ<π，∴3π4<3π4＋φ<7π4，∴3π4＋φ＝π，即φ＝π4，f(x)＝12sin（2x+π4），所以f（π2）＝12sin（π+π4）＝－12×22＝－24.
故选D.
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数fx=16x2-csx的导函数y=f'x的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】求导得到f'x=13x+sinx，根据函数为奇函数排除B，证明x∈0,+∞时，f'x>0恒成立，排除CD，得到答案.
【解答过程】fx=16x2-csx，则f'x=13x+sinx，f'-x=-13x-sinx=-f'x，
导函数f'x为奇函数，排除B；
当x∈0,π时，f'x=13x+sinx>0；
当x∈π,+∞时，f'x=13x+sinx>1+sinx≥0，
故x∈0,+∞时，f'x=13x+sinx>0恒成立，排除CD.
故选：A.
【题型6 与导数有关的新定义问题】
【方法点拨】
与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为
所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.
【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数fx在D上可导，即f'x存在，且导函数f'x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f''x=f'x'，若f''x<0在D上恒成立，则称fx在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A．fx=exB．fx=2xC．fx=x3D．fx=lnx
【解题思路】求出每一个函数的二阶导数，判断是否f''x<0在定义域上恒成立,从而得到答案.
【解答过程】对于A选项，fx=ex,f'(x)=ex，则f''x=ex>0，不是凸函数；
对于B选项，fx=2x,f'(x)=2，则f''x=0，不是凸函数；
对于C选项，fx=x3,f'(x)=3x2，则f''x=6x<0在R上不恒成立，不是凸函数；
对于D选项，fx=lnx,f'(x)=1x，则f''x=-1x2<0，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程f'x+fx=1的实数解x0叫做fx函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（ ）
A．fx=x2+3B．fx=ex+1
C．fx=lnxD．fx=ex-sinx+3
【解题思路】根据f'x+fx=1逐个答案进行分析求解即可.
【解答过程】对于A选项，fx=x2+3，则f'x=2x，由fx+f'x=x2+2x+3=1，
即x2+2x+2=0，Δ=4-8<0，因此，fx=x2-3x不存在“自足点”，故A不满足易于题意；
对于B选项，fx=ex+1，则f'x=ex，由fx+f'x=ex+1+ex=1，
得2ex=0，又ex>0，所以2ex=0无解，所以fx=ex+1不存在“自足点”，故B不满足题意；
对于C选项，fx=lnx，则f'x=1x，其中x>0，所以fx+f'x=lnx+1x=1，
又f'1+f1=1，故函数fx=lnx存在“自足点”，C选项满足题意；
对于D选项，fx=ex-sinx+3，则f'x=ex-csx，
由fx+f'x=2ex-sinx-csx+3=1，得2ex-sinx-csx+2=0，
所以sinx+csx=2ex+1，即2sinx+π4=2ex+1，
因为2sinx+π4∈-2,2，2ex+1>2，
所以2sinx+π4=2ex+1无解，D选项不满足题意.
故选：C.
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间∃ξ∈[a,b]上的函数f(x)，其图象是连续不断的，若∃ξ∈[a,b]，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，则称ξ为函数f(x)在区间[a,b]以上的“中值点”．则下列函数：①f(x)=x；②2f(x)=x2；③f(x)=ln(x+1)；④f(x)=(x-12)3中，在区间[a,b]上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．②③
【解题思路】由题意函数f(x)在区间[a,b]上存在一点[ξ,f(ξ)]，使得函数f(x)在此处的切线的斜率等于(a,f(a))，(b,f(b))两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可．
【解答过程】①f'(x)=1，而f(b)-f(a)b-a=b-ab-a=1显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；
②f'(x)=x，而f(b)-f(a)b-a=b2-a22(b-a)=b+a2，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
③f'(x)=1x+1，而f(b)-f(a)b-a=ln(b+1)-ln(a+1)b-a>0，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
④f'(x)=3(x-12)2，而f(b)-f(a)b-a=(b-12)3-(a-12)3b-a>0，故有两个“中值点”，符合题设；
故选:A．
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）定义方程fx=f'x的实数根x0叫做函数fx的“新驻点”，若函数gx=2x，hx=lnx，φx=x3x≠0的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c
【解题思路】先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定a，b，c的值或所属区间即可得解.
【解答过程】由gx=2x得g'x=2，解方程gx=g'x，即2x=2，得x=1，即a=1；
由hx=lnx得h'x=1x，解方程hx=h'x，即lnx=1x，令F(x)=lnx-1x，显然F(x)在(0,+∞)单调递增，
F(1)=-1<0,F(2)=ln2-12>lne-12=0，则存在x0∈(1,2)，使得F(x0)=0，即1由φx=x3x≠0得φ'x=3x2，解方程φx=φ'x，即x3=3x2x≠0，得x=3，即c=3，
所以c>b>a.
故选：B.