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2023-2024学年沪科版（2012）八年级上册第十四章轴对称图形和等腰三角形单元测试卷(含答案)
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2023-2024学年 沪科版（2012）八年级上册 第十四章 轴对称图形和等腰三角形� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．下列图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A． B． C． D．3．如图，在中，，为的角平分线，与相交点，若，，则的面积是（ ）.A．32 B．30 C．60 D．454．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F，在上截取，连接，若，则等于（ ）A． B． C． D．5．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，连接．若，则的度数为（ ）A． B． C． D．6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．不能确定7．如图，是等边三角形，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D．8．如图，点在内部，且，点在边上，且，，连接并延长交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，在中，的垂直平分线交于点，那么等于（ ）A． B． C． D．10．已知点关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．11．如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ．12．如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值 ．13．如图，是等腰三角形，，延长至点D，使得，在上取一点E，使得，连接，此时，则的度数为 ．14．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 .15．如图，在第一个中，，，在AB上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则第2024个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为 ．16．如图，在中，，，于点D，若点P是高上一动点，点E是边上一动点，连接，则的最小值是 ．17．如图，已知点到的两边、的距离相等，且．(1)如图①，若点在上，求证：是等腰三角形；(2)如图②，若点在内部，求证：；18．如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、证明题参考答案：1．C【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．2．C【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键．【详解】解：如图， ∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵、是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，，以此类推：．故选：．3．B【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，如图，过作于，利用角平分线的性质求解，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，过作于，如图所示： ，为的角平分线，∴． 故选：B．4．B【分析】证明，得到，从而证明是等边三角形，求出的值，即可得到答案．【详解】解：等边三角形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，．故选B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质及等腰三角形性质，熟练掌握外角和定理及全等三角形的判定是解题的关键．5．B【分析】本题考查了垂直平分线，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据作图可得是的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线，，，，，故选：B．6．C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识．由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故选：C．7．B【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得，由垂线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理结合等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，，故选：B．8．A【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的判定定理判断①；根据邻补角的定义求出，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解判断②③；在上截取，连接，根据等边三角形的性质推出，根据角的和差求出，证明，根据全等三角形的性质及线段和差求解即可判断④；熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理是解此题的关键．【详解】解：，∴点在的垂直平分线上，，∴点在的垂直平分线上，垂直平分，的延长线交于点，，故①符合题意；，，，，，，故②符合题意；，故③符合题意；如图，在上截取，连接，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，在和中，，，，，，故④符合题意；故选：A．9．C【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质；根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角性质，即可求解．【详解】解：∵的垂直平分线交于点，那∴，∵，∴，∴，故选：C．10．B【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称；根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案．【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为，故选：B．11．【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质；根据等边对等角得出，则可得出的度数，并且和度数相等，同理依次求得为顶点的角的度数，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：∵∴，∴∴∴故答案为：．12．8【分析】此题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案．【详解】解：连接，是等腰三角形，点D是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点B，的长为的最小值，的周长最短．故答案为：8．13．/72度【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质及角的和差推出，即，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．14．/度【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】，，，且，平分，平分∴，，，，．故答案为：．15．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，本题根据题意得出，的度数，再总结规律是解答本题的关键．【详解】解：∵在中，，，∴，∵，是的外角，∴；同理可得，∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为，∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为．故答案为：．16．4【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积公式．根据等腰三角形的性质，得到点B与点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接,∵，于点D，∴点B，点C关于直线对称，∴∴当点C、P、E三点共线时，最小当时，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴的最小值为4，故答案为：4．17．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；熟练的判定三角形是等腰三角形是解本题的关键.（1）先利用斜边直角边定理证明和全等，根据全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边的性质即可得到；（2）先证明和全等，得到，又因为，得到，利用等式的性质得到，即可得到．【详解】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为；依题意，，在和中，)，，，是等腰三角形；（2）如图所示，过点作垂足分别为；依题意，，在和中，，)，，又，，，即，．18．(1)(2)见解析(3)的面积为15【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．（1）利用平角的定义，直角三角形的锐角互余，计算即可．（2）利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可．（3）设，利用，求出，从而求出的面积即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴．（2）证明：如图，过点作于点，作于点，∵平分，，，由（1）可知，，即平分，，，，，又点在的内部，平分．（3）解：如上图，过点作于点，作于点，由（2）已得：，设，∵，∴，∴，即，∴，又∵，∴，，∵，∴的面积为．
2023-2024学年 沪科版（2012）八年级上册 第十四章 轴对称图形和等腰三角形� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．下列图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A． B． C． D．3．如图，在中，，为的角平分线，与相交点，若，，则的面积是（ ）.A．32 B．30 C．60 D．454．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F，在上截取，连接，若，则等于（ ）A． B． C． D．5．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，连接．若，则的度数为（ ）A． B． C． D．6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．不能确定7．如图，是等边三角形，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D．8．如图，点在内部，且，点在边上，且，，连接并延长交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，在中，的垂直平分线交于点，那么等于（ ）A． B． C． D．10．已知点关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．11．如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ．12．如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值 ．13．如图，是等腰三角形，，延长至点D，使得，在上取一点E，使得，连接，此时，则的度数为 ．14．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 .15．如图，在第一个中，，，在AB上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则第2024个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为 ．16．如图，在中，，，于点D，若点P是高上一动点，点E是边上一动点，连接，则的最小值是 ．17．如图，已知点到的两边、的距离相等，且．(1)如图①，若点在上，求证：是等腰三角形；(2)如图②，若点在内部，求证：；18．如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、证明题参考答案：1．C【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．2．C【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键．【详解】解：如图， ∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵、是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，，以此类推：．故选：．3．B【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，如图，过作于，利用角平分线的性质求解，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，过作于，如图所示： ，为的角平分线，∴． 故选：B．4．B【分析】证明，得到，从而证明是等边三角形，求出的值，即可得到答案．【详解】解：等边三角形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，．故选B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质及等腰三角形性质，熟练掌握外角和定理及全等三角形的判定是解题的关键．5．B【分析】本题考查了垂直平分线，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据作图可得是的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线，，，，，故选：B．6．C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识．由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故选：C．7．B【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得，由垂线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理结合等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，，故选：B．8．A【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的判定定理判断①；根据邻补角的定义求出，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解判断②③；在上截取，连接，根据等边三角形的性质推出，根据角的和差求出，证明，根据全等三角形的性质及线段和差求解即可判断④；熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理是解此题的关键．【详解】解：，∴点在的垂直平分线上，，∴点在的垂直平分线上，垂直平分，的延长线交于点，，故①符合题意；，，，，，，故②符合题意；，故③符合题意；如图，在上截取，连接，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，在和中，，，，，，故④符合题意；故选：A．9．C【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质；根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角性质，即可求解．【详解】解：∵的垂直平分线交于点，那∴，∵，∴，∴，故选：C．10．B【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称；根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案．【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为，故选：B．11．【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质；根据等边对等角得出，则可得出的度数，并且和度数相等，同理依次求得为顶点的角的度数，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：∵∴，∴∴∴故答案为：．12．8【分析】此题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案．【详解】解：连接，是等腰三角形，点D是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点B，的长为的最小值，的周长最短．故答案为：8．13．/72度【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质及角的和差推出，即，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．14．/度【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】，，，且，平分，平分∴，，，，．故答案为：．15．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，本题根据题意得出，的度数，再总结规律是解答本题的关键．【详解】解：∵在中，，，∴，∵，是的外角，∴；同理可得，∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为，∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为．故答案为：．16．4【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积公式．根据等腰三角形的性质，得到点B与点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接,∵，于点D，∴点B，点C关于直线对称，∴∴当点C、P、E三点共线时，最小当时，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴的最小值为4，故答案为：4．17．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；熟练的判定三角形是等腰三角形是解本题的关键.（1）先利用斜边直角边定理证明和全等，根据全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边的性质即可得到；（2）先证明和全等，得到，又因为，得到，利用等式的性质得到，即可得到．【详解】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为；依题意，，在和中，)，，，是等腰三角形；（2）如图所示，过点作垂足分别为；依题意，，在和中，，)，，又，，，即，．18．(1)(2)见解析(3)的面积为15【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．（1）利用平角的定义，直角三角形的锐角互余，计算即可．（2）利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可．（3）设，利用，求出，从而求出的面积即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴．（2）证明：如图，过点作于点，作于点，∵平分，，，由（1）可知，，即平分，，，，，又点在的内部，平分．（3）解：如上图，过点作于点，作于点，由（2）已得：，设，∵，∴，∴，即，∴，又∵，∴，，∵，∴的面积为．
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