（尖子生题库）专题09算式的规律-六年级数学思维拓展培优讲义（通用版）

这是一份（尖子生题库）专题09算式的规律-六年级数学思维拓展培优讲义（通用版），共25页。试卷主要包含了有一数列，已知，若，则＝，有以下算式，一只小猴子在不停地搬石头等内容，欢迎下载使用。


妙招演练
1．有一数列：、、、、第8个数是（ ）．
A．B．C．D．
2．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，那么，第2016次输出的结果为（ ）
A．24B．12
C．6D．3
3．根据你发现的规律，算式1234567×8＋7的得数是（ ）．
1×8＋1＝9
12×8＋2＝98
123×8＋3＝987
……
A．9876B．98765
C．987654D．9876543
4．仔细观察、思考，然后再计算与选择，9×9＝92， 2×2×2＝23，5×5×5×5＝54，那么34＝（ ）。
A．7B．12C．27D．81
5．如果定义a△b=2ab﹣b2，那么7△9=（ ）
A．56B．45C．77D．14
6．已知，若，则＝（ ）。
A．19B．21C．99D．109
7．有以下算式：
则*、□和△分别等于（ ）．
A．⑤、11、61B．⑥、13、59C．⑤、11、59D．⑥、13、61
8．一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，放了奇数块石头，每两块之间的距离是1.5米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头)，它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有（ ）块．
A．15B．16C．17D．18
9．已知M＝4322×1233，N＝4321×1234，下面结论正确的是（ ）。
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．无法判断
10．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12…，第2012次输出的结果为（ ）。
A．3B．4C．5D．6
11．1-=，1--=，1---=，则1-------=（ ）
A．B．C．D．
12．仔细观察这些算式：22－12＝2＋1、42－32＝4＋3、122－112＝12＋11。计算20122－20112＋20102－20092的结果为（ ）。
A．2B．4802C．8042D．0
13．现规定一种新的运算：a★b＝，则7★9＝( )。
14．计算:×+后所得的结果末尾有_____个零。
15．我们知道，相同加数的连加可以转化成乘法，使得计算简便．相同乘数的乘法，我们也可以转化为一种新的运算．比如：1×1 = 12，2×2×2 = 23，5×5×5 = 53，那么，36( )53 (填“＞”或“=”）．
16．如果A※B=4A+3B．例如2※4=4×2+3×4=20.那么（2※3）※（4※5）的值是________．
17．( )。
18．将循环小数与相乘,取近似值,要求保留一百位小数.那么,该近似值的最后一位小数是_____.
19．=________．
20．已知；；；那么___×___；___×___．
21．老师让同学们计算AB．C＋D．E时（A、B、C、D、E是1～9的数字），马小虎把D。E中的小数点看漏了，得到错误结果37.6；马大虎把加号看成了乘号，得到错误的结果339，那么，正确的计算结果应该是_____。
22．观察一组等式：，，，，找规律填空。
( )－( )；
请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。
23．规定：5▲2=5+55=60，
2▲5=2+22+222+2222+22222=24690，
1▲4=1+11+111+1111=1234,
那么，4▲3=__________．
24．观察下列等式，你会发现一些规律，依照你发现的规律，请在最后一个等式的括号里填上相同的数。
3＋1＝3×1，2＋1＝2×1，1＋3＝1×3，…，1＋( )＝1×( )。
25．观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。
26．（云阳县）按规律填空：
27．1－＝，－＝，－＝，根据你发现的规律，那么＋＋＋＋＋＝( )。
28．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝( )，1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝( )。
29．在自然数中存在着许多有趣的现象，也隐藏许多令人神往的奥秘，例如：
2＋4=3×2
2＋4＋6=4×3
2＋4＋6＋8=5×4
（1）请你继续往下写三行：__________________
（2）你有什么发现：______________
（3）利用你的发现，找出第40行的等号右边的乘法算式：____×____
30．找规律，然后填数．
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+…+21=____2
1+3+5+7+…+____=202
如果算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1），那么这个算式的结果应该是___．
31．观察下列等式，按以下各式成立的规律，写出第12个等式是( )．
9×0+1=01，9×1+2 = 11，9×2 + 3 = 21，9×3 + 4 = 31，9×4 + 5 = 41
32．找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5；
(1)请你再写个这样的算式：______________________。
(2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12＝( )。
33．是一个三位数,由三个数码组成的另外五个三位数之和等于2743.求三位数.
34．2000个8除以26的余数是多少？
35．找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
36．规定：正整数n的“H运算”：
①当n为奇数时，H＝3n＋13；
②当n为偶数时，H＝nx1/2．
如：数n＝3经过1次“H运算”的结果是3×3＋13＝22；
经过2次“H运算”的结果是22x1/2＝ll；
经过3次“H运算”的结果是11x3＋13 ＝ 46；
经过4次“H运算”的结果是46x1/2＝23．
请解答：（1）当数n＝9时，经过3次“H运算”得到的结果是多少？
（2）当数n ＝ 7时，经过100次“H运算”得到的结果是多少？
37．“※”表示一种新的运算规则，如8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18（加数为连续自然数），根据这样的运算规则则完成下面各题．
（1）计算：9※6
（2）阅读、思考并填空．
在8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数．
在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数．
因为x※5=250中，用250÷5=50，可知：
五个加数正中间的一个数是 ；五个加数是（ 、 、 、 、 ）；所以x是 ．
（3）你知道x※22=671中的x是多少吗？简要写出你的想法．
38．,为自然数,且56+392为完全平方数,求+的最小值.
39．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）。例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6。
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝，当F（s）＋F（t）＝18时，求k的最大值。
40．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如：
6×6＝36
5×7＝35
4×8＝32
3×9＝27
(1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。
(2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？
(3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（ ）。
A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1
B．（a＋1）×（a－1）＝a2
C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1
D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2
(4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。
41．先用计算器计算下面各题，找出规律，自己再出几道类似的题目。
18×101
24×101
69×101
42．观察下面的式子，归纳其特征．
4÷3=4﹣3
5 ÷4=5 ﹣4
8 ÷7=8 ﹣7
…
写出两个类似的式子：
43．数学源于生活，与生活息息相关，一些网络表情就是数字构成的，可以很准确、生动有趣地地表达出人们的情感，例如图0-我爱你，555-哭泣，88-再见，666-赞赏、支持．下面我们看看数学中关于“a的n次方”的有趣知识吧．
我们把“n个相同的数a相乘”记为“an”读作“a的n次方”，例如图×2×2=8．
（1）计算：29= ，55= ．
（2）观察等式：
（x﹣1）×（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）×（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）×（x3+x2+x+1）=x4﹣1
…
由以上规律，可以可知（x﹣1）×（xn+xn﹣1+…+x+1）= ．
（3）结合题干，根据你对下面算式、文字的理解，阐述这些算式可以告诉我们哪些关于学习的道理．（提示，365次方可看作一年365天．）
1365=1
1.01365≈37.8
1.02365≈1377.4
44．阅读下列文字，并回答：
每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如=3+），上面的真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（=1+），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（=4+，=2），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．
如：对于假分数，则=3+，=1+，=4+，=2，所生成的自然数组为，请回答：
（1）所生成的自然数组为{ }
（2）某个假分数所生成的自然数组为{1，2，3，4}，这个假分数为多少？
45．“※”表示一种新的运算规则，如8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18（加数为连续自然数），根据这样的运算规则则完成下面各题．
（1）计算：9※6
（2）阅读、思考并填空．
在8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数．
在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数．
因为x※5=250中，用250÷5=50，可知：
五个加数正中间的一个数是 ；五个加数是（ 、 、 、 、 ）；所以x是 ．
（3）你知道x※22=671中的x是多少吗？简要写出你的想法．
妙招总结
1、在加减乘除法算式中，和、差、积、商往往会有由于某一部分的变化而发生有规律的变化，如和与加数、差与被减数和减数、积与乘数、商与被除数和除数的变化都有一定规律，弄明白这些规律可以帮助我们更快的解决问题。
2、在加法中，加数增加(或减少)，和也随着增加(或减少)
3、 在减法中，被减数增加(或减少)几,差也随着增加(或减少)几，减数增加(或减少)几，差反而减少(或增加)几。
4、在乘法中，乘数扩大(或减少)几倍，积也随着扩大(或减少)几倍。
5、在除法中，被除数扩大(或减少)几倍，商也扩大(或减少)几倍，除数扩大(或减少)几倍，商反而缩小（或扩大）几倍。
6、除了算式之间存在一些规律外，一些数列和数组也存在一些规律,我们可以根据给出的一些算式或数列、数组写出类似的不同算式，利用这些变化规律，我们可以解决计算中出现的一一些间题。
参考答案：
1．C
2．D
【详解】因为第三次输出为6，从第四次开始输出都是3、6、3、6…循环；那么，第2016-3=2013,2013÷4=503…1.答案选D.
3．D
4．D
5．B
【详解】 根据题意得出a△b等于ab的2倍，再减去b的平方，据此解答．
解：7△9
=2×7×9﹣92
=126﹣81
=45；
6．D
【分析】观察算式可知，b等于等式左边的第一个数字，a等于等式右边第一个数字的平方减1，据此解答即可。
【详解】通过观察算式规律可知，
因为
所以b＝10，a＝－1＝99
所以a＋b＝10＋99＝109
故答案为：D。
【点睛】解题的关键是根据所给的式子，得出算式规律，再利用算式规律求和。
7．A
【详解】观察发现，等号左边是（2n+1）的平方．c2=a2-b2中，等号右边a比b大1，a、b之和是c2．因此□2=△2-602，可以确定△=60+1=61，又b=（c2-1）÷2，所以60=（c2-1）÷2，c2=121，c=11，即□=11．因为11=2×5+1，所以是⑤．
故答案为A．
8．C
【详解】本题考查的是用字母表示数及找规律的知识点．小猴子走的总路程与石头的块数有关，我们不妨用字母表示石头的块数，因为是奇数块，所以设其为（2n＋1）块．另外需要注意，只有第一次搬石头是走的单程，搬其它石头都是走的往返，即两个路程．
设一共有2n+1块石头（n是自然数），则中间石头的两边都有n块石头，两边最远的距离都是1.5n（米），再往中间的距离依次是1.5(n-1)、1.5(n-2)、……、1.5×2、1.5×1．因为除第一次搬石头走1次外，搬其余石头都需要走2次，所以
1×1.5×4＋2×1.5×4＋3×1.5×4＋……＋(n－1)×1.5×4＋n×1.5×3＝204
6×（1＋2＋……＋n－1）＋4.5n＝204
3n（n-1）＋4.5n＝204
3n²＋1.5n－204＝0
（3n＋25.5）(n－8) ＝0
解得n＝－8.5(非自然数,舍去），n＝8，所以一共有2n＋1＝17块石头．故选C．
9．C
【分析】N＝4321×1234＝（4322﹣1）×（1233＋1）＝4322×1233＋4322﹣1233﹣1＝M＋3088，所以M＜N，据此判断即可。
【详解】N＝4321×1234
＝（4322﹣1）×（1233＋1）
＝4322×1233＋4322﹣1233﹣1
＝M＋3088
所以M＜N
故答案为：C
【点睛】此题主要考查了比较大小的问题，解答此题的关键是把4321分成4322－1，把1234分成1233＋1，进而表示出M和N的关系。
10．A
【分析】由题意可知，当输入48时，输出48÷2＝24，输入24，输出24÷2＝12，输入12，输出12÷2＝6，输入6，输出6÷2＝3，输入3，输出3＋3＝6…输出从第3次开始到6、3、6、3循环出现，据此解答。
【详解】如图：
输出的结果从第③次到第⑤次循环出现：
（2012﹣2）÷（5﹣3）
＝2010÷2
＝1005（次）
输出结果为3。
故答案为：A。
【点睛】关键是找出循环的规律，从第几次输出开始循环，几次一循环。
11．B
【详解】根据已知算式中的规律可知，1-------=
故答案为B．
12．C
【详解】观察算式我们会发现相邻两个自然数的平方差等于这两个自然数的和，所以20122－20112＋20102－20092＝2012＋2011＋2010＋2009－8042。
故答案为：C
13．8
【分析】根据新运算的法则：分子是两个数的和，分母是2；据此代入数值计算出得数即可。
【详解】7★9
＝
＝
＝8
现规定一种新的运算：a★b＝，则7★9＝8。
【点睛】关键是正确理解新定义算式的含义，然后按照新定义的运算法则，将数值代入，转化为常规的算式进行计算。
14．3998
【详解】×+
=×++
=×(+1)+
=×+
=×(+1)
=×
=
15．＞
【详解】本题是要比较两个数的大小．应先根据规定的新运算将36和53表示出来，然后分别计算出结果，最后比较大小．比较两个数的大小要先看位数，位数多的大，位数少的小，位数一样的，从高位开始比较．
根据题意可知，36表示6个3相乘，53表示3个5相乘，即36=3×3×3×3×3×3=729，53=5×5×5=125，因为729＞125，所以36＞53．
16．161
【详解】2※3=4×2+3×3=17，4※5=4×4+3×5=31
（2※3）※（4※5）=17※31=4×17+31×3=161
17．
【分析】通过观察，分数中的分母部分都是两个自然数的乘积，并且相差3，因此把提出来，每个分数可拆分为两个分数相减的形式，通过加减互相抵消的方法，求得结果。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【点睛】根据已知算式找到规律是解答本题的关键，再根据规律解决实际问题。
18．9
【详解】×
=
=
=
=
这个小数小数点后第100位是8,第101位是5,所以保留小数点后100位的近似值的最后一位是9.
19．
【详解】原式= =
20． 10 11 n n+l
【详解】略
21．24.1
【分析】因为AB.C＋DE＝37.6，所以C＝6；又因为：AB.C×D.E＝339，所以E＝5；因为：AB.6＋D5＝37.6，所以B＝2；
即：A2.6×D。5＝339，所以3＋6D的个位数＝9，可以得出：D＝1或6；但由于加法式的结果不足40，所以D只能是1，A2.6×15＝339，所以A＝2，进而把字母表示的数替换，求出正确的计算结果。
【详解】因为AB.C＋DE＝37.6，所以C＝6；
又因为：AB.C×D。E＝339，所以E＝5；
因为：AB.6＋D5＝37.6，所以B＝2；
即：A2.6×D.5＝339，所以3＋6D的个位数＝9，可以得出：D＝1或6；
但由于加法式的结果不足40，所以D只能是1，A2.6×15＝339，所以A＝2，
则：22.6＋1.5＝24.1。
【点睛】本题考查了横式数字迷。此题较难，属于复杂的逻辑推理题，根据题意，进行认真分析、推理，分别得出字母表示的数的值，是解答此题的关键。
22． 20212 1 （n＋1）2－1
【分析】观察一系列等式得到一般性规律，写出规律即可：n（n＋2）＝（n＋1）2－1，据此解答即可。
【详解】由分析可知；2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1
通过观察可得到规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1
2020×2022＝20212－1
猜想到的规律用只含一个字母的式子表示：n（n＋2）＝（n＋1）2－1
【点睛】解答本题关键是找出规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1。
23．492
【解析】略
24． 2 2
【分析】先把带分数化成假分数，再找规律，即＋＝，，，观察可知两个分数的分子相同，且是两个分母的和，根据此规律可求解。
【详解】＋＝，，，观察可知两个分数的分子相同，且是两个分母的和，所以，即1＋2＝1×2，
【点睛】本题主要考查“式”的规律，先变化原式，再发现规律，根据规律解答。
25． n2－（n－1）2＝2n－1 55
【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。
【详解】n2－（n－1）2
＝n＋（n－1）
＝2n－1
即n2－（n－1）2＝2n－1。
102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12
＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
＝（10＋1）＋（9＋2）＋（8＋3）＋（7＋4）＋（6＋5）
＝11×5
＝55
【点睛】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。
26．25
【详解】分析：根据图可知：1=1，1+3=22，1+3+5=32，…，由此得出：从1开始的连续几个奇数相加，是几个数相加，则和等于几的平方；由此即可得出：1+3+5+7+9=52．
解答：解：1=1，1+3=22，1+3+5=32，…，则1+3+5+7+9=52=25；
故答案为25．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
27．
【详解】观察加数，发现分母是相邻的自然数的乘积，分子是1的分数，可以将每个加数改写成由分母是相邻的自然数且分子都是1的两个分数相减的形式，据此进行简算。
【解答】
＝
＝1－
＝
【点睛】本题考查找规律，从已知的数列中发现规律，利用规律解答。
28． 121 41
【分析】观察算式，每相邻两个加数都相差2，发现：
2个加数的和：1＋3＝4＝22
3个加数的和：1＋3＋5＝9＝32
4个加数的和：1＋3＋5＋7＝16＝42
……
规律：n个加数的和＝n2
据此规律解答。
观察算式可得，算式为连续的奇数相加求和，对于像1，3，5这样的连续奇数求和，首尾两数之和等于中间的数的2倍，以此类推。由此解答即可。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112＝121
1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋9）＋（3＋7）＋5＋（5＋3）＋（7＋1）
＝（2×5＋2×5＋1×5）＋（2×4＋2×4）
＝5×5＋4×4
＝25＋16
＝41
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
29． 2＋4＋6＋8+10=6×5 2＋4＋6＋8+10+12=7×6 2＋4＋6＋8+10+12+14=8×7 2×1+2×2+……+2×（n+1）=（n+2）（n+1） 42 41
【详解】略
30． 11 39 n2
【详解】试题分析：1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
从1开始的连续n个奇数的和，就是奇数个数的平方，由此进行求解．
解答：解：1+3+5+7+…+21=112
1+3+5+7+…+39=202
如果算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1），那么这个算式的结果应该是 n2．
故答案为11，39，n2．
点评：解决本题先根据算式找出规律，再根据规律进行求解．
31．9×11＋12＝111
【详解】本题考查的是算式的规律．应认真观察算式中的特点，从中发现规律，再按要求完成本题．
此类算式的特点是：第一个算式是9乘以0加1；第二个算式是9乘以1加2；第三个算式是9乘以2加3；……，所以第n个算式应该是9乘以（n－1）加n，即9（n－1）＋n．当n＝12时，等式是：9×11＋12＝111．
32．(1)72－62＝7＋6
(2)1275
【分析】（1）观察算式，找出规律：相邻两个数的平方差，等于这两个数的和；可以表示为（n＋1）2－n2＝n＋1＋n，据此规律再写出一个算式即可。
（2）运用规律，将算式改写成50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1，再计算出结果即可。
【详解】（1）72－62＝7＋6
（答案不唯一）
（2）502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12
＝50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1
＝51×50÷2
＝2550÷2
＝1275
【点睛】本题考查找规律，从已知的算式中找到规律，并按规律解题。
33．365
【详解】由三个数码组成的所有六个三位数之和等于()×222,由题意可知,这六个三位数之和应大于2743,小于3743.因为2743÷222>12,3743÷222<17,所以只能等于13,14,15或16.
如果=13,则=13×222-2743=143,此时=1+4+3=8,不合题意;
如果=14,则=14×222-2743=365,此时=3+6+5=14,符合题意;
类似地可以得到,当=15或=16时,都不合题意.
所以,=365.
34．10
【分析】根据题意，1个8余数为8，2个8余数为10，3个8余数为4，4个8余数为22，5个8余数为20，6个8余数为0，7个8余数为8……依次6个8为1循环，余数为0，所以2000个8，2000除以6余数为2，所以2000个8除以26的余数与2个8除以26的余数相同，即为10。
【详解】8÷26余数为8
88÷26余数为10
888÷26余数为4
8888÷26余数为22
88888÷26余数为20
888888÷26余数为0
8888888÷26余数为8……依次6个8为1循环，余数为0
所以2000个8，2000除以6余数为2，
所以2000个8除以26的余数与2个8除以26的余数相同，即为10
答：2000个8除以26的余数是10。
【点睛】解答此题的关键是根据题干的叙述确定余数的规律，然后再列式解答即可。
35．（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
36．（1）第一次40；第2次20；第3次10
（2）16
【详解】略
37．（1）69；（2）50；48，49，50，51，52；48；（3）x=20
【详解】试题分析：（1）根据8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18可知：从左边的数字开始连续自然数相加即可，加数的个数就是右边的数字；
（2）根据8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数；
在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数；
所以x※5=250中是由5个连续自然数相加，用250÷5=50，可知50是这五个自然数最中间的一个，即可求得这五个数，而这五个数最小的是未知数的值；
（3）根据第二问可知：671÷22的值是22个数中中间两个数的平均数，进而求得这22个数，最小的数就是x的值．
解：（1）9※6
=9+10+11+12+13+14
=（9+14）×3
=23×3
=69
（2）根据题意可知：
因为x※5=250中，用250÷5=50，可知：
五个加数正中间的一个数是50；五个加数是48、49、50、51、52；所以x是48．
（3）671÷22=30.5
30.5是22个数中最中间的一个，所以30.5左边11个数，右边11个数，分别为：
20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41
最左边的数字就是未知数的取值，所以x=20
答：x=20
故答案为50；48，49，50，51，52；48
点评：解答本题的关键是：认真分析新规律，按照规律计算即可．
38．8
【详解】56+392=56(+7)=×7(+7)为完全平方数,则7|+7.从
而7|,令=7(为自然数),则56+392=×7(7+7)=×(+).
要求+的最小值,取=1,=1,此时=7,56+392==,故+的最小值为8.
39．（1）9；14（2）
【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n＝243和n＝617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s＝100x＋32、t＝150＋y结合F（s）＋F（t）＝18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k＝中，找出最大值即可。
【详解】（1）（423＋342＋234）÷111
＝（765＋234）÷11
＝999÷11
＝9
（167＋716＋671）÷111
＝（883＋671）÷111
＝1554÷111
＝14
（2）因为s、t都是相异数，s＝100x＋32、t＝150＋y；
所以F（s）＝（302＋10x＋230＋x＋100x＋23）÷111
＝（302＋230＋23＋x＋100x＋10x）÷111
＝（555＋111x）÷111
＝x＋5
F（t）＝（510＋y＋100y＋51＋105＋10y）÷111
＝（510＋51＋105＋y＋100y＋10y）÷111
＝（666＋111y）÷111
＝y＋6
因为F（s）＋F（t）＝18，则x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18；
所以x＋y＝7
因为1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，
所以或或或或或
因为s是相异数，所以x≠2，x≠3，；
因为t是相异数，所以y≠1，y≠5；
所以或或；
所以或或；
所以k＝＝或k＝＝1或k＝＝，
＞1＞
答：k的最大值是。
【点睛】本题考查二元一次方程的应用。解题的关键是（1）根据F（n）的定义式，求出F（243），F（617）的值；（2）根据s＝100x＋32、t＝150＋y结合F（s）＋F（t）＝18，即可得出关于x、y的二元一次方程。
40．(1)7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40
(2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
(3)C
(4)4088483
【分析】根据算式的规律，可以发现：
6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1；
6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22；
6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32；
据此结合题意解答即可。
【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式：
7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40（答案不唯一）
（2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
（3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1
故答案为：C
（4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则：
2021×2023
＝2022×2022－1
＝4088484－1
＝4088483
【点睛】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。
41．1818；2424；6969
规律：两位数乘101，把这个两位数连续写两次就是算式的乘积。
35×101＝3535，46×101＝4646，75×101＝7575。（举例答案不唯一）
【分析】根据题意，先用计算器计算出结果，然后观察可得规律：两位数乘101，把这个两位数连续写两次就是算式的乘积，即×101＝，据此解答。
【详解】18×101＝1818；24×101＝2424；69×101＝6969。
规律：两位数乘101，把这个两位数连续写两次就是算式的乘积。
即×101＝。
35×101＝3535，46×101＝4646，75×101＝7575。（举例答案不唯一）
【点睛】此题考查计算器的正确应用和对规律的熟练掌握，能正确使用计算器，找出所含规律是解题的关键。
42．特征为：n ÷（n﹣1）=n ﹣（n﹣1）
类似的式子：；
【详解】根据已知条件可得规律：等式的左边是分子为一的带分数，整数部分、除数、分母是从大到小的三个连续的自然数；等式的右边只要把等式的左边的“÷”换成“﹣”即可：
规律公式表示是：÷（n﹣1）= ﹣（n﹣1）．
43．（1）512，3125；（2）xn+1﹣1；（3）合理即可．参考：这些算式告诉我们，只比你努力多一点点的人，其实已经甩你很远了．积硅步以致千里，积怠惰以致深渊，每天更努力一点，日积月累，你将取得巨大进步．
【详解】（1）根据乘方的运算法则计算即可，29=512，55=3125．
（2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是n+1，所以
（x﹣1）×（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1．
（3）根据算式的特点、文字的含义回答，合理即可．参考：这些算式告诉我们，只比你努力多一点点的人，其实已经甩你很远了．积硅步以致千里，积怠惰以致深渊，每天更努力一点，日积月累，你将取得巨大进步．
44．（1）6、1、2、2；（2）
【详解】=6+，=1+，=2+，=2
（1）4=，3+=，2+=，1+=
45．（1）69；（2）50；48，49，50，51，52；48；（3）x=20
【详解】试题分析：（1）根据8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18可知：从左边的数字开始连续自然数相加即可，加数的个数就是右边的数字；
（2）根据8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数；
在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数；
所以x※5=250中是由5个连续自然数相加，用250÷5=50，可知50是这五个自然数最中间的一个，即可求得这五个数，而这五个数最小的是未知数的值；
（3）根据第二问可知：671÷22的值是22个数中中间两个数的平均数，进而求得这22个数，最小的数就是x的值．
解：（1）9※6
=9+10+11+12+13+14
=（9+14）×3
=23×3
=69
（2）根据题意可知：
因为x※5=250中，用250÷5=50，可知：
五个加数正中间的一个数是50；五个加数是48、49、50、51、52；所以x是48．
（3）671÷22=30.5
30.5是22个数中最中间的一个，所以30.5左边11个数，右边11个数，分别为：
20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41
最左边的数字就是未知数的取值，所以x=20
答：x=20
故答案为50；48，49，50，51，52；48
点评：解答本题的关键是：认真分析新规律，按照规律计算即可．