高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.1任意角和弧度制 学案（无答案）

这是一份高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.1任意角和弧度制 学案（无答案），共8页。
5.1 任意角和弧度制●任意角1.角的概念及其表示角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图，(1)始边：射线的 位置OA；终边：射线的 位置OB；顶点：射线的端点O.(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.正角：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角负角：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角零角：一条射线 做任何旋转形成的角3.角的相等如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .4.角的加法设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ . 例题1：如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ . 变式练习：1、图①②中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α，β，γ分别是 ， ， .6.象限角：（1）我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是 限角.（2）如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.注意：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；(2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小.例题2： (多选)下列结论正确的有A.－75°是第一象限角 B.225°是第三象限角C.475°是第二象限角 D.－315°是第四象限角变式练习： (多选)下列叙述不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角6.终边相同的角思考：给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？结论：给定一个角，它的终边 ；两角终边相同，这两个角 相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.因此：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例题3： 在与2 110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角；(2)最小的正角；（3）在360°～720°范围内的角.归纳：终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.变式训练3：(1)写出终边在直线y＝-3x上的角的集合.(2)与－2 024°角终边相同的最小正角是( )A.136° B.132° C.58° D.42°(3)若角2α与240°角的终边相同，则α等于( )A.120°＋k·360°，k∈ZB.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈ZD.240°＋k·180°，k∈Z7.终边相同的角思考　你能否表示出终边落在各个象限的角的集合？例题4：已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.变式训练1.若将本例题图改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？变式训练2.已知α是第一象限角.(1)2α是第几象限角？ (1) ∝2是第几象限角？ 变式训练3.如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角θ的集合.小结：1.知识清单：(1)正角、负角、零角的概念.(2)终边相同的角的表示.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°的角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.当堂测试1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是（ ）A.B＝A∩C B.A∪C=BC.B∪C＝C D.A＝B＝C2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，则α的终边在（ ）A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的角度为 .4.如图所示.终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为 .5.已知．(1)写出与角终边相同的角的集合，并求出在内与角终边相同的角；(2)若角与角终边相同，判断角是第几象限的角．●弧度制弧度制的概念（1）思考：我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？（2）度量角的两种制度（3）弧度数的计算注意：一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.例题1：下列命题中，假命题是A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC.1 rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关变式训练1.下列各命题中，真命题是A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小2.角度制与弧度制的互换(1)思考：根据公式|α|＝lr，你能得出圆周角的弧度数吗？(2)弧度与角度的换算.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系注意：(1)弧度单位rad可以省略；(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用例题2：把下列角度化成弧度，弧度化成角度：(1)37°30′； (2)－216°； (3)2 （4）−11π5注意：角度与弧度换算技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数.一般情况下，省略弧度单位rad.变式训练：将下列角度与弧度进行互化：511π6 （2）- 7π12 (3)10° (4)－855°3.利用弧度表示角 例题：将－1 125°角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α