高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品当堂达标检测题

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1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0 ( SKIPIF 1 < 0 ≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0.
③求夹角问题，利用夹角公式： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 或|AB|=| SKIPIF 1 < 0 |=
SKIPIF 1 < 0 .
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
2．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 .功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度 SKIPIF 1 < 0 ，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.
【例1】（2022·高一课前预习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四边形中， ，是上的点，且.
求证： .
【变式1-2】（2022春·高一课时练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的
向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.
【例2】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【变式2-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【题型3 利用向量求线段间的长度关系】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.
【例3】（2021·高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.
【变式3-2】（2022·高一课前预习）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【变式3-3】（2022·高一单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
【题型4 用向量解决夹角问题】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.
【例4】（2022春·山东菏泽·高一期末）如图，在中，已知，，，且.求.
【变式4-1】（2022春·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【变式4-2】（2022春·广东河源·高一阶段练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【题型5 用向量解决物理中的相关问题】
【方法点拨】
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有
向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.
【例5】（2022·高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【变式5-2】（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【变式5-3】（2022·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？
【题型6 向量与几何最值】
【方法点拨】
根据具体条件，利用向量知识，将平面几何中的最值问题进行转化求解即可.
【例6】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
【变式6-1】（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在中，，，，为边中点．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值；
【变式6-2】（2022·高一课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动.
(1)当点是线段的中点时，求；
(2)求的最大值.
【变式6-3】（2022春·广东佛山·高一期中）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.