数学人教A版 (2019)7.1 复数的概念优秀同步达标检测题

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1．（3分）（2022·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
【解题思路】利用复数的基本概念与性质，结合反例判断选项的正误即可．
【解答过程】解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；
任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；
任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确；
虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确
故选：D．
2．（3分）（2022·安徽·高二学业考试）已知复数，其中，若是实数，则（ ）
A．0B．1C．D．
【解题思路】由复数为实数，则虚部为零即可.
【解答过程】因为复数，且是实数，
则，
故选：B.
3．（3分）（2022春·上海浦东新·高一期中）下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是纯虚数
D．若且，则且
【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.
【解答过程】对于，当时，，故选项错误；
对于，当时，，但并不相等，故选项错误；
对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；
对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，
故选：.
4．（3分）（2022春·云南文山·高二期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据复数模长运算可直接化简等式求得结果.
【解答过程】，，.
故选：C.
5．（3分）（2023春·安徽·高三开学考试）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限.
【解答过程】因为，所以复数在复平面上的对应点为，在第三象限.
故选：C.
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（ ）
A．1B．2C．－2D．－4
【解题思路】根据复数相等的定义列方程求解即可．
【解答过程】解：由得
，
，
，
解得，
．
故选：B．
7．（3分）（2023·高一课时练习）与轴同方向的单位向量为，与轴同方向的单位向量为，它们对应的复数分别是（ ）
A．对应实数1，对应虚数
B．对应虚数i，对应虚数
C．对应实数1，对应虚数
D．对应实数1或－1，对应虚数或
【解题思路】根据题意可得，结合复数的几何意义即可得，对应的复数.
【解答过程】解：由题意可知，
所以在复平面内对应实数1，对应虚数.
故选：A.
8．（3分）（2022春·广东东莞·高一期末）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积
【解答过程】因为复数在复平面内对应的点为，且，
所以点的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环，
所以所求面积为，
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若是纯虚数，则实数
C．若，则为实数
D．若，且，则
【解题思路】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；
对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；
对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D正确．
故选：CD.
10．（4分）（2022·高一课时练习）（多选）若，且，则等于（ ）
A．4B．C．2D．0
【解题思路】根据，列方程组求解即可.
【解答过程】因为，且，
所以，解得或，
所以或0．
故选：AD.
11．（4分）（2022秋·江西·高二开学考试）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限D．
【解题思路】根据共轭复数的定义即可判断A选项；根据虚部的概念即可判断B选项；根据复数的几何意义可以判断C选项；根据复数模的计算公式可以判断D选项.
【解答过程】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A错误；
z的虚部为1，故B正确；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
，故D正确．
故选:BCD．
12．（4分）（2022秋·江苏苏州·高三阶段练习）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】设，根据选项条件求出满足的方程，判断是否满足圆的方程.
【解答过程】令，
对A，表示圆，A对.
对B，，则，则不是圆，B错.
对于C，，则
化简得表示圆，C对.
对于D，表示线段，D错.
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022秋·上海黄浦·高二阶段练习）的虚部是 ．
【解题思路】利用复数的概念求解.
【解答过程】解：因为复数为，
所以其虚部是，
故答案为：.
14．（4分）（2022秋·四川德阳·高三开学考试）已知，，则“”是“”的 充分不必要 条件．
【解题思路】根据充分条件，必要条件的定义即得.
【解答过程】当时，必有且，解得或，
显然“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
15．（4分）（2022秋·北京·高二阶段练习）已知i为虚数单位，复数且，z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为 .
【解题思路】根据复数的模列出方程求，再由复数对应的点在第四象限舍去4即可得解.
【解答过程】，
，解得，
在复平面内的对应点位于第四象限，，.
故答案为：.
16．（4分）（2023·高一课时练习）已知，，，则 ．
【解题思路】设，，根据复数模长运算可求得，代入即可整理求得结果.
【解答过程】设，，
，，，，
，
解得：，
，
.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·山东临沂·高一阶段练习）已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值：
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)在复平面内对应的点在直线上.
【解题思路】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实部为0，虚部不为0；点在直线上，其实部与虚部相等；
【解答过程】（1）
∵为实数，，解得：；
（2）
∵为纯虚数，；
（3）
在复平面内对应的点在直线上，
或.
18．（6分）（2022·高二课时练习）求满足下列条件的实数x与y的值．
（1）；
（2）．
【解题思路】根据复数相等列方程组，求x与y值即可.
【解答过程】（1）由题意，，解得.
（2）由题意，，解得.
19．（8分）（2023·全国·高一专题练习）设复数，满足，，求的值．
【解题思路】设复数，所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【解答过程】如图，设复数，所对应的点为，，；
由已知，，
∴平行四边形为菱形，且，都是正三角形，
∴，
，
∴．
20．（8分）（2022春·山东青岛·高一期末）已知复数，为虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上表示复数的点位于第二象限，求的取值范围；
(3)若在复平面上表示复数的点位于直线上，求的值．
【解题思路】（1）根据为纯虚数得出关于的方程组，从而得出答案.
（2）根据复数的点位于第二象限则，从而得出答案.
（3）将复数对应的点坐标代入直线方程，从而可得出答案.
【解答过程】(1)
为纯虚数,则，解得
(2)
复数的点位于第二象限则，解得
(3)
复数的点位于直线上，则
解得或.
21．（8分）（2022·高一课时练习）设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)；
(2)．
【解题思路】根据复数的几何意义可求解.
【解答过程】（1）
因为，即，所以满足的点Z的集合是以原点为圆心，为半径的圆，如图①．
（2）
不等式可化为不等式组不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆内部及圆上所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．
因此，满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界，如图②．
22．（8分）（2022春·河南安阳·高一期末）已知复数，.
在①z在复平面中对应的点位于第一象限，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
(1)若___________，求实数m的取值集合；
(2)若复数的模为1，求实数m的值.
注：若选择多个条件解答，则按所选第一个条件计分.
【解题思路】（1）选择① ：解不等式组即得解；选择② ：设，，解方程即得解；选择③ ：解不等式组即得解；
（2）解方程即得解.
【解答过程】(1)
解：选择① ：z在复平面中对应的点位于第一象限，
则解得.
选择② ：，则，，∴，解得或，
又，∴，即.
选择③ ：，则解得，即.
(2)
解：∵，
∴，
∵复数的模为1，
∴，∴解得.