高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀精练

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1．（3分）（2022春·江苏南京·高一期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
【解题思路】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
【解答过程】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；
B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；
C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误；
D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
故选：B.
2．（3分）如图，正四棱台中，所在的直线与所在的直线是（ ）
A．相交直线B．平行直线C．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线
【解题思路】首先证明平面，再说明，证明异面，再利用侧面为梯形，证明其互不垂直.
【解答过程】在正四棱台中,,又平面，平面，
所以平面,又平面，且，
所以与异面，
又因为四边形是等腰梯形,所以与不垂直，又
所以与不垂直，故两者为不互相垂直的异面直线，
故选：C.
3．（3分）（2022·上海·高二专题练习）已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．条或条B．条或条C．条或条D．条或条或条
【解题思路】根据平面与平面的位置关系，分类讨论，即可求解.
【解答过程】由题意，当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；
当平面和平行时，它们的交线有2条；
当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线；
故选：D.
4．（3分）（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．
【解答过程】如图，
∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．
故选：B．
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【解答过程】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．
故选：B.
6．（3分）（2023·高一课时练习）在棱长为1的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.
【解答过程】解：连接交于，取中点为，连接，
由正方体可知，，又交于，为中点，所以，
即，所以四边形为平行四边形，所以
则直线与所成角为或其补角，
在中，，
所以,
则直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
7．（3分）（2022春·四川成都·高二阶段练习）对于两条不同直线，和两个不同平面，，下列选项错误的为（ ）
A．若，，，则B．若，，，则或
C．若，，则或D．若，，则或
【解题思路】根据空间中的线面关系逐一判断即可.
【解答过程】若，，，则，故A正确；
由，，推不出或，故B错误；
若，，则或，故C正确；
若，，则或，故D正确；
故选：B.
8．（3分）（2022秋·黑龙江大庆·高二期中）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】由题可知该几何体的顶点均在边长为1的正方体的顶点上,再根据线面平行与垂直以及面面垂直平行的判定逐个判断即可.
【解答过程】由题画出该几何体外接的正方体.
对①,因为,,故MC⊥AN成立.故①正确.
对②,因为平面AMN,故DB∥平面AMN成立.故②正确.
对③,连接易得为正四面体.故平面CMN⊥平面AMN不成立.故③错误.
对④,正方体中平面DCM与平面ABN分别为前后两面,故④正确.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·广西桂林·高一期末）如图所示，已知在正方体中，平面，且与不平行，则下列能成立的是（ ）
A．与平行
B．与异面
C．与所成的角为
D．与垂直
【解题思路】依次分析每个选项，假设，得出矛盾，A错误；取为所在直线，满足BD；取与成角，C成立，即可得到答案.
【解答过程】假设，则由可得，与“与不平行”矛盾，所以与平行，A错误；
取为所在直线，满足B，又因为，，所以，D正确；
取与成角，因为，所以此时与所成的角为，C正确；
故选：BCD.
10．（4分）（2022秋·山东东营·高二阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（ ）
A．l过点
B．l不一定过点
C．的延长线与的延长线的交点不在l上
D．的延长线与的延长线的交点在l上
【解题思路】连接，在正方体中可得四边形是平行四边形，由点共面得点共线可判断A B；的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点，
由点共面得点共线可判断CD.
【解答过程】连接，在正方体中，取的中点，
连接，则，
所以四边形是平行四边形，平面，平面，
所以，故A正确，B错误；
如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，所以，
故C错误，D正确.
故选：BC.
11．（4分）（2023秋·浙江宁波·高三期末）设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
【解题思路】垂直于同一平面的两条直线平行，A正确；当时结论未必成立，B错误；证明CD正确，得到答案.
【解答过程】对选项A：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；
对选项B：当时结论未必成立，错误；
对选项C：，故，又，故，正确；
对选项D：，，则或，排除，则，正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（ ）
A．截面和面的交线与截面和面的交线等长
B．截面是一个五边形.
C．截面是一个梯形.
D．截面在顶点处的内角的余弦值为
【解题思路】做出截面，依次判断选项即可.
【解答过程】延长至，使；延长至，使；
连接，因，，则为等腰直角三角形，
同理可得为等腰直角三角形，又，
则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得
.又分别是中点，则.
故，，则，
则五点共面.设这五点所在平面为.
平面，平面，
则平面，连接交于.
因，则，得.
同理，可得平面，连接交于，则.
又，
则.即五点共面.
顺次连接，得截面为五边形.
对于A，如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，
又几何体棱长为3，，，
则，
，故，则A正确；
对于BC选项，由图可知B正确，C错误；
对于D选项，由图可知截面在顶点处的内角为，连接，
因，则四边形为平行四边形，得.
又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有
，则D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022秋·上海静安·高二期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点A 直线l（用集合符号表示）.
【解题思路】由题意点平面，又平面平面直线l，分析即得解.
【解答过程】由题意，点平面，点平面，
故点平面，
又平面平直线l，
故点直线l.
故答案为：.
14．（4分）（2022·高二课时练习）下列命题中，所有正确命题的序号是 ①③④ .
①两个相交平面把空间分成4部分.
②有两个角是直角的四边形是平面图形.
③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.
④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上.
【解题思路】根据平面的性质依次判断选项即可。
【解答过程】对①，两个相交平面把空间分成4部分，故①正确；
对②，如图所示：
，满足题意，此时为立体图形，故②错误；
对③，若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点，在两个平面的交线上，
故③正确；
对④，如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，此时交点为两个平面的公共点，
必在两个平面的交线上，故④正确；
故答案为：①③④.
15．（4分）（2023秋·广东广州·高二期末）如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为 ．
【解题思路】作出异面直线所成的角，在三角形中由余弦定理求解．
【解答过程】如图，连接，取中点，连接，又是中点，则，
所以异面直线AN，CM所成角是或其补角，
由已知，，
，又，，
中，，
∴异面直线AN，CM所成角的余弦值为．
故答案为：．
16．（4分）（2023·高三课时练习）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是 ①②③ ．（填写所有符合要求的结论序号）
①三点共线； ②四点共面；
③四点共面； ④四点共面．
【解题思路】对于①，利用公理，证明为两个平面的公共部分即可；
对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断；
对于④，根据异面直线的定义，判定直线，直线为异面直线后可知其错误.
【解答过程】对于①，两条平行线确定一个平面，即共面，显然平面平面，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面，平面的交线为，注意到是的中点，矩形对角线互相平分，故也是的中点，即，平面，故平面，又，平面，故平面，即；由，平面，即平面，由题干直接可知，平面，故，故三点共线；
对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故确定的直线和共面，故②正确；
对于③，类似②，确定的直线和共面，故③正确；
对于④，平面，平面，平面，且，根据异面直线的定义，直线，直线为异面直线，故不可能四点共面，故④错误.
故答案为：①②③.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高二课时练习）将下列符号语言转化为图形语言．
（1）a⊂α，b∩α＝A，A∉a．
（2）α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P．
【解题思路】在集合中，点为元素，直线和平面为集合，根据题意，正确用集合中的符合即可．
【解答过程】（1）
（2）
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）三个平面分空间有几种情况？并说明每种情况下能将空间分成几部分.
【解题思路】按照平面的位置关系分类，即可得解.
【解答过程】三个平面分空间有种情况，
若三个平面均平行，则将空间分成部分；
若三个平面交于一条线，则将空间分成部分；
若三个平面两两相交，且交线不平行时，则将空间分成部分；
若三个平面两两相交，且交线平行时，则将空间分成部分.
19．（8分）（2022·上海·高二专题练习）如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；求证：PQ⊂α.
【解题思路】由已知，根据PQ∥a，可确定PQ和a属于平面β，再根据a⊂β，点P∈β且P∈b，b⊂α，得到P∈α，从而得到α与β重合，即可证明PQ⊂α.
【解答过程】证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a⊂β，点P∈β，
因为P∈b，b⊂α，所以P∈α，
又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，
所以PQ⊂α.
得证.
20．（8分）（2022秋·全国·高一专题练习）（1）平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？
（2）平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？
【解题思路】（1）举反例说明命题是假命题，（2）根据面面平行定义判断命题正确.
【解答过程】（1）不正确．
如图所示，设α∩β＝l，
则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，
它们是一组平行线，
这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行（因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点），
但此时α与β不平行，α∩β＝l．
（2）正确．
平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．
21．（8分）（2023·高一课时练习）在正方体中．
(1)与是否在同一平面内？请说明理由；
(2)点B、、D是否在同一平面内？请说明理由；
(3)画出平面与平面的交线；画出平面与平面的交线．
【解题思路】（1）由两平行直线可确定一平面，可得答案；
（2）由不共线三点可确定一平面，可得答案；
（3）如图，找到两平面的公共点，公共点连线为平面交线.
【解答过程】（1）是，平行直线确定一平面；
（2）是，不在同一直线上三点确定一平面
（3）如图，设，又平面，
平面，平面，平面，则平面，
平面，故平面与平面的交线为；
如图，设.
因平面，平面，平面，平面，
则平面，平面.故平面与平面的交线为.
22．（8分）（2023·高一单元测试）如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，．
(1)求证：直线与是异面直线；
(2)若，，求、所成角的大小．
【解题思路】（1）为上靠近的三等分点，易证四点共面（面），结合异面直线的定义判断与是否异面；
（2）分别为靠近的三等分点，易知、所成角为或其补角，进而求其大小.
【解答过程】（1）若为上靠近的三等分点，则，故，
所以四点共面，显然不共线，故面与面为同一个平面，
而面，面，即面，面，，
所以直线与是异面直线；
（2）若分别为靠近的三等分点，则，
所以，，故为平行四边形，且、所成角为或其补角，
又，，则，
由，故，则、所成角为60°.