高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀同步达标检测题

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1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二面角记作二面角 SKIPIF 1 < 0 -AB- SKIPIF 1 < 0 ，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 SKIPIF 1 < 0
-l- SKIPIF 1 < 0 ，如图(1).
②若在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 SKIPIF 1 < 0 ；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是 SKIPIF 1 < 0 .所以二面角的平面角的范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
2．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂
直，记作 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 .
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 .
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
3．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 .
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥ SKIPIF 1 < 0 b⊥ SKIPIF 1 < 0 .
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，a⊥ SKIPIF 1 < 0
a⊥ SKIPIF 1 < 0 .
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
【题型1 求二面角】
【方法点拨】
求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即
过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找
到二面角的平面角或其补角.
【例1】（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为．
(1)二面角的大小；
(2)直线与平面所成的角的大小．
【变式1-2】（2023春·江苏常州·高三开学考试）如图，在边长为4的等边三角形中，平行于的直线分别交线段于点.将沿着折起至，使得二面角是直二面角.
(1)若平面平面，求证：；
(2)若三棱锥的体积为1，求二面角的正弦值.
【变式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，，点为线段上一动点.
(1)当点为中点时，证明：；
(2)当平面与平面所成二面角为时，试确定点的位置.
【题型2 面面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通
过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【例2】（2023·河南郑州·统考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点．
(1)证明：平面⊥平面PCD；
(2)求四棱锥的体积；
【变式2-1】如图，四棱锥，平面平面，，，，，，E为PC中点．
(1)求证：直线 平面PAD；
(2)平面平面PDC．
【变式2-2】（2023春·河南·高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是和的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【变式2-3】（2023·贵州毕节·统考一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，，为上一点，．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求证：平面平面．
【题型3 面面垂直性质定理的应用】
【方法点拨】
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平
面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
【变式3-1】（2023春·青海西宁·高三开学考试）如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【变式3-2】（2023·四川南充·四川模拟预测）如图， 在平行六面体 中，分别是的中点， 侧面平面．
(1)求证：平面;
(2)试求三棱锥 体积．
【变式3-3】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，E为BC的中点，D为的中点，P为线段AC上的动点．
(1)若平面，请确定点在线段上的位置；
(2)若点为的中点，求三棱锥的体积．
【题型4 垂直关系的相互转化】
【方法点拨】
在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判定定理与性质定
理的合理应用是证明垂直问题的关键.
【例4】（2023秋·四川内江·高二期末）如图，正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，为圆的直径，是圆上不同于、的动点，四边形为矩形，平面平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【变式4-2】（2022秋·河南·高三阶段练习）如图，在平行四边形中，，．以为折痕将折起，使点到达点的位置，分别为的中点．
(1)证明：；
(2)设，求．
【变式4-3】（2022秋·江苏南通·高二期中）在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【题型5 点、线、面的距离问题】
【方法点拨】
结合具体条件，根据点到平面的距离、线面距、面面距的定义，进行转化求解即可.
【例5】（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，直三棱柱中，，为上的中点.
(1)证明：平面平面;
(2)若，求点到平面的距离.
【变式5-1】（2023秋·重庆巫山·高二期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.
(1)求证：平面；
(2)求直线到面的距离.
【变式5-2】（2023·河南·高三阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中， ，，．
(1)证明：；
(2)若，， ，且点到平面的距离为，求的长．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【题型6 平行关系与垂直关系的综合应用】
【方法点拨】
根据线、面平行的判定和性质、线、面垂直的判定和性质等知识，结合具体问题，进行求解即可.
【例6】（2023·河北·高三学业考试）如图，已知矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求证：平面PCD.
【变式6-1】（2023秋·四川遂宁·高二期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面.
【变式6-2】（2022·上海·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面.
【变式6-3】（2023秋·广东汕尾·高二期末）如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.