人教A版高中数学(必修第二册)同步培优讲义专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）1．向量的数量积(1)向量数量积的物理背景在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 SKIPIF 1 < 0 ，那么力 SKIPIF 1 < 0 所做的功W=| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.(2)向量的夹角已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，O是平面上的任意一点，作 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则∠AOB= SKIPIF 1 < 0  (0≤ SKIPIF 1 < 0 ≤π)叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，也常用 SKIPIF 1 < 0 表示. (3)两个向量数量积的定义已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，它们的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，我们把数量| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积(或内积)，记作 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 =| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 . 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0 SKIPIF 1 < 0 =0.(4)向量的投影如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个非零向量， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，我们考虑如下的变换：过 SKIPIF 1 < 0 的起点A和终点B，分别作 SKIPIF 1 < 0 所在直线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，我们称上述变换为向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影， SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非零向量，它们的夹角是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是与 SKIPIF 1 < 0 方向相同的单位向量，则① SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .② SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 =0.③当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向时， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向时， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .特别地， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .④|a SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，即 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.⑤ SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 . (2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ，有①交换律： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ；②数乘结合律：( SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  ( SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 )；③分配律：( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .3．向量数量积的常用结论(1) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)  SKIPIF 1 < 0 ；(4)  SKIPIF 1 < 0 ；(5)  SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线时右边等号成立， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用.【题型1 向量的投影】【方法点拨】根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【解题思路】利用向量数量积的运算律可求得，首先求得在上的投影数量，进而得到结果.【解答过程】由题意知：，，，，在上的投影向量为.故选：C.【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.【解答过程】在上的投影向量故选：C.【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【解答过程】在方向上的投影向量为故选：C.【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【解答过程】延长，交于点，如图所示，，，，又，向量在向量上的投影向量为，故选：B.【题型2 向量数量积的计算】【方法点拨】解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量与向量的夹角为60°，，，则（    ）A．20 B．10 C． D．【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的定义直接计算作答.【解答过程】因为向量与向量的夹角为60°，，，所以，B正确.故选：B.【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ）A．6 B．8 C．10 D．14【解题思路】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【解答过程】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.【变式2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在中，，，点M在边AB上，且满足，则（    ）A． B．3 C．6 D．8【解题思路】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.【解答过程】依题意，，，所以.故选：B.【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高三学业考试）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】结合平面向量的线性运算得到，进而根据平面向量的数量积的定义即可求出结果.【解答过程】因为，所以，又因为正边长为3，所以，，故，故选：C.【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】【方法点拨】求两非零向量的夹角 SKIPIF 1 < 0 或其余弦值一般利用夹角公式 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 求解.【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，满足，且，则，夹角为（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据向量的点乘关系，求出，即可求出，夹角.【解答过程】解：由题意，在向量，中，，，解得：∴故选：C.【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知，则（    ）A．0 B． C． D．【解题思路】根据数量积的性质求解，再根据向量夹角余弦值公式可得的值.【解答过程】解：，则所以.故选：D.【变式3-2】（2022·全国·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据，，，可求得，，最后利用数量积的公式求即可.【解答过程】解：由题可得①，②，①②两式联立得，，∴，而，∴．故选：D.【变式3-3】（2022秋·山东聊城·高一期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案.【解答过程】由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D.【题型4 已知向量的夹角求参数】【方法点拨】根据题目条件，借助向量的夹角公式 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【解题思路】根据与的夹角为锐角，由且与不共线求解.【解答过程】解：因为，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，解得，当时，则，即，解得，当时，与共线且同向，所以的取值范围为，故选：B.【变式4-1】（2022·高一单元测试）已知是正三角形,若与向量的夹角大于,则实数的取值范围是(　　)A． B． C． D．【解题思路】由平面向量数量积的定义与运算律求解，【解答过程】由题意得，设边长为，则，解得，故选：D.【变式4-2】（2022春·北京顺义·高三期中）已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量公式表示出和夹角的余弦值，再讨论夹角为时的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.【解答过程】，，，当时，，即和夹角为,故是和夹角为的充分不必要条件故选：A.【变式4-3】（2022秋·陕西渭南·高一期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【解题思路】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果.【解答过程】的夹角为锐角，且不同向，，解得：且，实数的取值范围为.故选：B.【题型5 向量的模】【方法点拨】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.【例5】（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（    ）A．3 B． C． D．4【解题思路】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【解答过程】∵向量满足，，，，，，，故选：D.【变式5-1】（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据题意确定向量两两间夹角为，利用条件求出， 再求的平方即可得解.【解答过程】因为平面向量，，两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，所以两两之间的夹角均为， ，且，则解得，所以，故.故选：B.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足 ，，的夹角为，若 ，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据向量的数量积运算即可.【解答过程】，，的夹角为，得 ， ， .故选：D.【变式5-3】（2022春·宁夏石嘴山·高三阶段练习）在边长为4的等边△ABC中，已知，点P在线段CD上，且，则（    ）A．1 B． C． D．【解题思路】将用和表示，再根据三点共线，求出的值，再根据即可得出答案.【解答过程】解：，因为三点共线，所以，所以，所以，则.故选：C.【题型6 向量数量积的最值问题】【方法点拨】先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.【例6】（2022·全国·高三专题练习）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（    ）A． B． C． D．0【解题思路】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可得到答案.【解答过程】如图所示：因为，所以，于是有，又，当且仅当时取等号，所以.故选：A.【变式6-1】（2022春·辽宁抚顺·高三阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据已知条件作出图形，利用向量的加法法则及相反向量的定义，结合向量的数量积的运算律及勾股定理即可求解.【解答过程】由题意可知，取的中点，如图所示所以．，当点与点或点重合时，取的最大值，取得最大值，且最大值为，故的最大值为.故选：D.【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【解题思路】由，得恒成立，从而可得，再结合，即可求解【解答过程】因为，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以，所以，所以，所以的最大值为，故选：A.【变式6-3】（2022秋·浙江·高三阶段练习）已知中，，，，是以为圆心的单位圆上的任意一条直径，则的最大值是（       ）A． B． C． D．【解题思路】计算出的值，利用平面向量的线性运算可得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值.【解答过程】因为，，，则，所以，，由题意可知，点为线段的中点，且，，，，所以，.当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.