第十八章 平行四边形 单元复习 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

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单元复习人教版 八年级下册问题 1 本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么次序学习的？请说说这些四边形之间的关系.平行四边形一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角矩形菱形平行四边形矩形菱形正方形问题 2 各种平行四边形中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？问题 3 你能说说平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形问题 3 你能说说平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形问题 3 你能说说平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？对边平行，对角相等，四条边都相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角四条边相等的四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形问题 3 你能说说平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？对边平行，四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角有一组邻边相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形1. 选择题. （1）若平行四边形中两个内角的度数比为 1∶2，则其中 较小的内角是（ ）. （A）90° （B）60° （C）120° （D） 45°（2）若菱形的周长为 8，高为 1，则菱形两邻角的度数比 为（ ）. （A）3∶1 （B）4∶1 （C）5∶1 （D） 6∶1BC【选自教材P67 第1题】（3）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE， 则∠AEB 为（ ）. （A）10° （B） 15° （C）20° （D）125°B2. 如图，将 □ ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长，分别 至点 E 和点 F，且使 BE = DF. 求证: 四边形 AECF 是平 行四边形.证明: 连接 AC. 交 BD 于 O 点，∵四边形 ABCD 是平行四边形.∴AO = CO，BO = DO，又∵ BE = DF，∴ EO = FO，∴四边形 AECF 是平行四边形.【选自教材P67 第2题】3. 矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个 50°的角。 对角线与各边组成的角是多少度?【选自教材P67 第3题】4. 如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下 底都垂直吗？为什么？【选自教材P67 第4题】5. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DE // AC，CE // BD. 求证: 四边形 OCED 是菱形.证明: ∵DE // AC，CE // BD，∴四边形 OCED 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴DO = CO.∴□ OCED 是菱形.【选自教材P67 第5题】6. 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？解:四边形 EFGH 是正方形.理由: ∵E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点，∴易证△AEH≌△BEF≌△CFG≌△DGH.∴EH = EF = FG = HG.∴四边形 EFCH 是菱形.又∠HEF = 180°-45°-45° = 90°，∴菱形 EFGH 是正方形.【选自教材P67 第6题】7. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE∥DF. 且分别 交对角线 AC 于点 E，F，连接 ED，BF. 求证∠1 =∠2.证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = CD，AB // CD. ∴∠BAE =∠DCF.又BE∥DF，∴∠BEF = ∠DFE. 由图知，∠AEB +∠BEF = 180°，∠CFD + ∠DFE = 180°， ∴∠AEB =∠CFD.∴△ABE≌△CDF (AAS). ∴BE = DF.又 BE// DF，∴四边形 BFDE 是平行四边形. ∴ DE // BF. ∴ ∠1 =∠2.【选自教材P68 第7题】8. 如图，ABCD 是一个正方形花园，E，F 是它的两个门， 且 DE = CF. 要修建两条路 BE 和 AF，这两条路等长吗？ 它们有什么位置关系？为什么？解:这两条路等长，它们互相垂直.理由:如图，设 AF 与 BE 交于点 O.∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.又 DE = CF，∴AD-DE = CD-CF，即AE = DF. ∴△ABE≌△DAF (SAS).∴BE = AF，∠AEB = ∠DFA.∵∠D = 90°，∠ AFD +∠DAF = 90°.∴∠AEB +∠DAF = 90°. ∴∠AOE = 90°，即AF⊥ BE.【选自教材P68 第8题】9. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 叫做中点四边形. （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？【选自教材P68 第9题】（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？任意平行四边形的中点四边形为平行四边形，理由同（1）.（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么 形状？为什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么 形状？为什么？②若四边形 ABCD 为菱形，则 AC⊥BD. 又 EH // BD，EF // AC，∴EF⊥EH. ∴□ EFGH 为矩形.③若四边形 ABCD 为正方形，则 AC⊥BD且 AC = BD，易知 EH⊥EF 且 EH = EF，∴□ EFGH 为正方形.10. 如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的 对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗？解:如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它不一定是菱形，也不一定是正方形.【选自教材P68 第10题】11. 用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想 拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成 菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由.解:用它们能够拼成平行四边形（如图①）；要想拼成一个矩形，需要两个全等的直角三角形（如图②）；【选自教材P68 第11题】11. 用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想 拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成 菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由.要想拼成菱形，需要两个全等的等腰三角形（如图③）；要想拼成正方形，需要两个全等的等腰直角三角形（如图④）.【选自教材P68 第11题】12. 如图，过 □ ABCD 的对角线 AC 的中点 О 作两条互相 垂直的直线，分别交 AB，BC，CD，DA 于 E，F，G， H 四点，连接 EF，FG，GH，HE. 试判断四边 EFGH 的形状，并说明理由.解:四边形 EFGH 为菱形.理由如下:∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO = CO， DC∥AB. ∴ ∠GCO =∠EAO. 又∠AOE = ∠COG，∴GCO≌△EAO (ASA).∴EO = OG. 同理可得 HO = FO，四边形EFGH 为平行四边形.又GE⊥HF，∴□ EFGH 为菱形.【选自教材P68 第12题】13. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AB = 8 cm， AD = 24 cm，BC = 26 cm. 点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向 点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动. 规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 从运 动开始，使 PQ // CD 和 PQ = CD，分别需经过多少时间？为什么？解: 设经过 x 秒四边形 PQCD 成为平行四边形，则 DP = 24-t，CQ = 3t，由平行四边形的性质可得，DP = QC，即 24-t = 3t，解得: t = 6（秒），∴从运动开始，经过 6 秒，四边形 PQCD 为平行四边形.【选自教材P68 第13题】14. 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点， ∠AEF = 90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．求证 AE = EF.（提示: 取 AB 的中点 G，连接 EG.）【选自教材P69 第14题】证明: 取 AB 的中点 G，连接 EG.∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC，∵G、E 是 AB、BC 中点，∴ AG = EC.∵∠AEF = 90°，∴ ∠AEB +∠FEC = 90°.∴∠B = 90°，∴∠AEB + ∠EAG = 90°.∴ ∠EAG = ∠FEC. ∵CF是正方形 ABCD 的外角平分线，∴∠FCE = 135°.又 BG = BE，∠B = 90°，∴∠BGE = ∠BEG = 45°. ∠EGA = 135°.∴∠FCE = ∠EGA. 在△AGE 和△ECF 中，∠GAE =∠CEF，AG = EC，∠EGA = ∠FCE，∴△AGE≌△ECF (ASA). ∴AE = EF.G15. 求证: 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.证明:如图，在□ ABCD 中，设 AB = CD = a，AD = BC = b，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，过点 D 作 DF⊥BC 于 F，设 BE = x ，则 CF = x，设 AC = c，BD = d，设 AE = h，则 DF = h.由勾股定理：a2 = h2 + x2，①c2 = h2 + (b-x)2，②d2 = (b + x)2 + h2，③②+③，得 c2 + d2 =2h2 + (b-x)2 + (b+x)2 = 2h2 + 2b2 + 2x2;将①代入，得 2(a2-x2) + 2b2 +2x2 = c2 + d2，即 2a2 +2b2 = c2 + d2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.【选自教材P69 第15题】