江苏省2024届百校大联考高三上学期第二次模拟预测考试数学

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1.D 【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,
所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z-|=|z|=5,故选D.
法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z-|=|z|=5,故选D.
2.C 【解析】解不等式1x-10,则a>22.
所以g(a)在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,
所以g(a)min=g(22)=(22)2-12-ln22=ln2>0,则g(a)>0恒成立,
所以当a>0时,f(x)>2ln a+32恒成立,D正确.综上,故选BD.
13.(-∞,1] 【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤2xx2+1,
因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a小于或等于2xx2+1的最大值,当x=0时,2xx2+1=0,当x≠0时,2xx2+1=2x+1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,
所以2xx2+1的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].
14.273 【解析】设公比为q,a1+a3+a5=a3q2+a3+a3q2=919,解得q2=9或19,因为{an}递增,所以q=3,则a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=919×33=273.故答案为273.
15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径),∴△AOO1与△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,
∴AB=r1+r2,∴O1O22=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=23,
∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.
16.e2 【解析】f(x)≥0⇔ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=aln x+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且g(ex)=aln ex+ex=ax+ex,故f(x)≥0⇔g(ex)≥g(ax+b)⇔ex≥ax+b.
法一:设y=ex在点P(x0,ex0)处的切线斜率为a,ex0=a,即x0=ln a,
切线l:y=ax+a(1-ln a),
由ex≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-ln a),∴ab≤a2(1-ln a),设h(a)=a2(1-ln a),a>0,
h'(a)=2a(12-ln a),当a∈(0,e12)时,h'(a)>0,当a∈(e12,+∞)时,h'(a)