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第五章一次函数专题5.6 一次函数章末重难点突破（含解析）
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这是一份第五章一次函数专题5.6 一次函数章末重难点突破（含解析），共33页。
一次函数章末重难点突破10大题型【考点1 函数的概念】【例1】（2021秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（ ）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2021春•青县期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．【变式1-2】（2021春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【变式1-3】（2021春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h之间的关系式；（3）估计岩层10km深处的温度是多少．【考点2 函数自变量的取值范围】【例2】（2021•吴江区一模）函数中，自变量x的取值范围为 ．【变式2-1】（2021•曲靖二模）若整数x满足|x|≤4，则使函数y有意义的x的值是 （只需填一个）．【变式2-2】（2019•椒江区校级二模）函数y＝1中自变量x的取值范围是 ．【变式2-3】（2021春•天心区期末）若函数y在实数范围内无意义，则自变量x的取值范围是 ．【考点3 一次函数的定义】【例3】（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（ ）A． B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【变式3-1】（2021春•九龙坡区期中）若y＝（a﹣2）5是y关于x的一次函数，则a的值为 ．【变式3-2】（2021秋•泰兴市校级期中）已知函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，则n＝ ．【变式3-3】（2021春•洛宁县期中）若函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝ ．【考点4 一次函数的系数与图象的关系 】【例4】（2021春•雄县期末）若k＞1，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象是（ ）A． B． C． D．【变式4-1】（2021秋•莲湖区期中）若k＜0，则一次函数y＝﹣2x﹣k的图象大致是（ ）A． B． C． D．【变式4-2】（2021秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【变式4-3】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）A． B． C． D．【考点5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】【例5】（2021秋•攸县校级期中）已知函数y＝﹣2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【变式5-1】（2021秋•峄城区期中）作出函数yx﹣3的图象并回答以下问题：（1）当x的值增大时，y的值如何变化？（2）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是多少？（3）求出该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【变式5-2】（2021秋•城关区校级期中）已知一次函数y＝2x+4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）y的值随x值的增大而 ；（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．【变式5-3】（2021秋•宝丰县期中）在如图所示的直角坐标系中画出一次函数yx+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标是什么？（2）当x＞0时，y随x的增大而怎样变化？（3）计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．【考点6 一次函数的平移】【例6】（2021•汉台区一模）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（ ）A．﹣2或4 B．2或﹣4 C．4或﹣6 D．﹣4或6【变式6-1】（2021春•天心区期中）将一次函数y的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（ ）A．yx+1 B．yx+2 C．yx﹣1 D．yx﹣2【变式6-2】（2021秋•商河县校级期中）直线y＝kx向上平移4个单位后，经过（﹣1，2），则所得直线的解析式为 ．【变式6-3】（2021春•陇县期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为 ．【考点7 一次函数的增减性】【例7】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣2不经过的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-1】（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【变式7-2】（2021秋•丹徒区期末）一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ）A．﹣2 B．﹣2或2 C．1 D．2【变式7-3】（2021春•武城县期中）已知直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 ．【考点8 求一次函数解析式】【例8】（2021秋•敦煌市期中）一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤2时，﹣2≤y≤1，求此一次函数的解析式．【变式8-1】（2021秋•肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是： ．【变式8-2】（2021春•无为市期末）已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且当x＝﹣2时，y＝6；（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝﹣3时，y的值．【变式8-3】（2021秋•铜仁市期中）一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．【考点9 一次函数的实际应用 】【例9】（2021•禅城区二模）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【变式9-1】（2021秋•新化县期末）某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？【变式9-2】（2021秋•和平区校级期中）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【变式9-3】（2021•滦州市二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500m，BC＝300m，CD＝2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度；（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【考点10 一次函数的图象及其应用】【例10】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【变式10-1】（2021春•罗湖区校级期中）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是390元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？【变式10-2】（2021•吉林一模）为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距 km，m＝ ，n＝ ；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【变式10-3】（2021•双阳区一模）已知M、N两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从M地匀速开往N地，甲车从N地沿此公路匀速驶往M地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车速度为 千米/时．（2）求甲乙两车相遇后的y与x之间的函数关系式．（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．一次函数章末重难点突破 【考点1 函数的概念】【例1】（2021秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（ ）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【解题思路】根据自变量与常量、因变量的定义解答．【解答过程】解：A、正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a，正确；B、圆的面积公式S＝πr2中的π是常量，正确；C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；D、如果a＝b，那么a，b都是变量，故错误．故选：D．【变式1-1】（2021春•青县期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．【解题思路】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论．【解答过程】解：当x取一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．选项C中的曲线，当x取一个值时，y的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，故选：C．【变式1-2】（2021春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【解题思路】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解．【解答过程】解：A、y＝（x）2x2，y是x的函数，故A选项错误；B、每一个学生对应一个身高，y是x的函数，故B选项错误；C、y＝π（x）2πx2，y是x的函数，故C选项错误；D、y＝±，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D选项正确．故选：D．【变式1-3】（2021春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h之间的关系式；（3）估计岩层10km深处的温度是多少．【解题思路】（1）直接利用常量与变量的关系得出自变量和因变量；（2）利用表格中数据进而得出答案；（3）直接利用（2）中函数关系式得出t的值．【解答过程】解：（1）上表反映了岩层的深度h（km）与岩层的温度t（℃）之间的关系；其中岩层深度h（km）是自变量，岩层的温度t（℃）是因变量；（2）岩层的深度h每增加1km，温度t上升35℃，关系式：t＝55+35（h﹣1）＝35h+20；（3）当h＝10km时，t＝35×10+20＝370（℃）．【题型2 函数自变量的取值范围】【例2】（2021•吴江区一模）函数中，自变量x的取值范围为 x≥4 ．【解题思路】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此即可求解．【解答过程】解：根据题意得x﹣4≥0，解得：x≥4．故答案是：x≥4．【变式2-1】（2021•曲靖二模）若整数x满足|x|≤4，则使函数y有意义的x的值是 0 （只需填一个）．【解题思路】根据题意可以求得使得二次根式有意义的x满足的条件，又因为整数|x|≤4，从而可以写出一个符号要求的x值．【解答过程】解：∵y，∴1﹣2x≥0，解得x，∵整数|x|≤4，∴当x＝0时符合要求．故答案为：0．【变式2-2】（2019•椒江区校级二模）函数y＝1中自变量x的取值范围是 x≥2 ．【解题思路】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解【解答过程】解：根据题意得，2x﹣4≥0解得x≥2故答案为：x≥2．【变式2-3】（2021春•天心区期末）若函数y在实数范围内无意义，则自变量x的取值范围是 x ．【解题思路】根据二次根式无意义列出不等式，解不等式得到答案．【解答过程】解：由题意得：2x-3＜0，解得：x，故答案为：x．【题型3 一次函数和正比例函数的定义】【例3】（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（ ）A． B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【解题思路】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．【解答过程】解：A．右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；故选：B．【变式3-1】（2021春•九龙坡区期中）若y＝（a﹣2）5是y关于x的一次函数，则a的值为 ﹣2 ．【解题思路】根据形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得a2﹣3＝1，且a﹣2≠0，再解即可．【解答过程】解：由题意得：a2﹣3＝1，且a﹣2≠0，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【变式3-2】（2021秋•泰兴市校级期中）已知函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，则n＝ ﹣3 ．【解题思路】根据正比例函数：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，可得答案．【解答过程】解：函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，得，解得n＝﹣3，n＝3（不符合题意要舍去）．故答案为：﹣3．【变式3-3】（2021春•洛宁县期中）若函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝ ﹣2 ．【解题思路】依据正比例函数的定义可知m2﹣3＝1，由正比例函数的性质可知m＜0，故此可求得m的值．【解答过程】解：∵函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，∴m2﹣3＝1且m＜0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．【题型4 一次函数的系数与图象的关系 】【例4】（2021春•雄县期末）若k＞1，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象是（ ）A． B． C． D．【解题思路】判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，进而判断函数不经过的象限．【解答过程】解：∵k＞1，∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，所以一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：，所以，一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象不经过第二象限，故选：A．【变式4-1】（2021秋•莲湖区期中）若k＜0，则一次函数y＝﹣2x﹣k的图象大致是（ ）A． B． C． D．【解题思路】根据一次函数y＝﹣2x﹣k中的﹣2、﹣k的符号判定该直线所经过的象限．【解答过程】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴直线y＝﹣2x﹣k的图象经过第第一、二、四象限，∴该直线不经过第三象限；故选：A．【变式4-2】（2021秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【解题思路】根据一次函数图象的性质分析．【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．【变式4-3】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）A． B． C． D．【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解答过程】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，∴直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．【题型5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】【例5】（2021秋•攸县校级期中）已知函数y＝﹣2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解题思路】先写出函数y＝﹣2x+3与坐标轴的两个交点的坐标，根据坐标画图．读图、据解析式计算，问题可求．【解答过程】解：（1）如图：（2）函数y＝﹣2x+3与坐标轴的两个交点的坐标（0，3），（，0）（3）此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积3．【变式5-1】（2021秋•峄城区期中）作出函数yx﹣3的图象并回答以下问题：（1）当x的值增大时，y的值如何变化？（2）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是多少？（3）求出该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【解题思路】利用五点法画出函数图象．（1）观察函数图象，可找出y随x的增大而增大；（2）观察函数图象，找出函数yx﹣3的图象与x，y轴的交点坐标；（3）利用三角形的面积公式，可求出函数yx﹣3的图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【解答过程】解：列表如下：描点、连线，画出函数图象.（1）观察函数图象，可知：y随x的增大而增大；（2）图象与x轴的交点坐标为（6，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；（3）该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积6×3＝9．【变式5-2】（2021秋•城关区校级期中）已知一次函数y＝2x+4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）y的值随x值的增大而 增大 ；（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．【解题思路】（1）由解析式可求得一次函数与两坐标轴的交点，利用两点法可画出函数图象；（2）由一次函数的性质可求得答案；（3）利用（1）可求得答案；（4）由A、B坐标可求得OA、OB的长，则可求得△AOB的面积．【解答过程】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得x＝﹣2，令x＝0可得y＝4，∴一次函数图象过（﹣2，0）和（0，4）两点，且一次函数图象为一条直线，∴函数图象如图所示；（2）在y＝2x+4中，∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故答案为：增大；（3）由（1）可知A（﹣2，0），B（0，4）；（4）由（3）可知OA＝2，OB＝4，∴S△AOBOA•OB2×4＝4．【变式5-3】（2021秋•宝丰县期中）在如图所示的直角坐标系中画出一次函数yx+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标是什么？（2）当x＞0时，y随x的增大而怎样变化？（3）计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解题思路】（1）可由解析式先求得A、B两点的坐标，由两点法可画出函数图象；（2）由图象可直接求得答案；（3）由A、B坐标可求得OA、OB的长，则可求得△OAB的面积．【解答过程】解：（1）在yx+3中，令y＝0可得x＝﹣6，令x＝0可得y＝3，∴A（﹣6，0），B（0，3），其图象如图所示；（2）由图象可知当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）∵A（﹣6，0），B（0，3），∴OA＝6，OB＝3，∴S△AOB6×3＝9．【题型6 一次函数的平移】【例6】（2021•汉台区一模）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（ ）A．﹣2或4 B．2或﹣4 C．4或﹣6 D．﹣4或6【解题思路】根据上加下减的原则可知，将直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到直线y＝kx﹣b±3，即直线y＝kx﹣1，那么﹣b±3＝﹣1，即可求出b的值．【解答过程】解：根据上加下减的原则可得：﹣b±3＝﹣1，解得b＝﹣2或4．故选：A．【变式6-1】（2021春•天心区期中）将一次函数y的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（ ）A．yx+1 B．yx+2 C．yx﹣1 D．yx﹣2【解题思路】直接利用一次函数平移规律，“上加下减，左加右减”进而得出即可．【解答过程】解：∵一次函数y的图象向左平移2个单位，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y（x+2）+2，即yx﹣1．故选：C．【变式6-2】（2021秋•商河县校级期中）直线y＝kx向上平移4个单位后，经过（﹣1，2），则所得直线的解析式为 y＝2x+4 ．【解题思路】设平移后所得直线的解析式是y＝kx+4，把（﹣1，2）代入求出k即可．【解答过程】解：因为直线y＝kx向上平移4个单位后，设平移后所得直线的解析式是y＝kx+4，把（﹣1，2）代入y＝kx+4，可得：2＝﹣k+4，解得：k＝2，所以直线解析式为：y＝2x+4，故答案为：y＝2x+4．【变式6-3】（2021春•陇县期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为 y＝﹣2x+8 ．【解题思路】根据一次函数图象与几何变换可设直线AB的解析式为y＝﹣2x+b，再把点（m，n）代入得n＝﹣2m+b，然后利用2m+n＝3可得到b的值．【解答过程】解：设直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y＝﹣2x+b，把点（m，n）代入得n＝﹣2m+b，解得b＝2m+n，∵2m+n＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．故答案是：y＝﹣2x+8．【题型7 一次函数的增减性】【例7】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣2不经过的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．【解答过程】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵b＝﹣2＜0，∴一次函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限，故选：A．【变式7-1】（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【解题思路】根据一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大可得答案．【解答过程】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，∵a﹣1＜a＜a+1，∴y1＜y2＜y3．故选：A．【变式7-2】（2021秋•丹徒区期末）一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ）A．﹣2 B．﹣2或2 C．1 D．2【解题思路】由y随x的增大而增大，根据一次函数的性质得m＞0；再由于一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），则m2＝4，然后解方程，求出满足条件的m的值．【解答过程】解：根据题意得m＞0且m2＝4，解得m＝2．故选：D．【变式7-3】（2021春•武城县期中）已知直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 m ．【解题思路】先根据当x1＜x2时，有y1＞y2得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答过程】解：∵直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，∴此函数是减函数，∴2﹣3m＜0，解得m．故答案为：m．【题型8 求一次函数解析式】【例8】（2021秋•敦煌市期中）一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤2时，﹣2≤y≤1，求此一次函数的解析式．【解题思路】一次函数经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）或点（﹣1，1）和（2，﹣2），利用待定系数法即可求解．【解答过程】解：当一次函数经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）时，，解得：，则一次函数的解析式是y＝x﹣1；当一次函数经过点（﹣1，1）和（2，﹣2）时，，解得：，则一次函数的解析式是y＝﹣x．总之，一次函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x．【变式8-1】（2021秋•肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是： yx﹣1 ．【解题思路】利用待定系数法计算即可．【解答过程】解：设一次函数解析式为：y＝kx+b，由题意得，，解得，，则一次函数解析式为yx﹣1，故答案为：yx﹣1．【变式8-2】（2021春•无为市期末）已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且当x＝﹣2时，y＝6；（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝﹣3时，y的值．【解题思路】（1）根据y﹣2与x+1成正比例关系设出函数的解析式，再把当x＝﹣2时，y＝6代入函数解析式即可求出k的值，进而求出y与x之间的函数解析式．（2）根据（1）中所求函数解析式，将x＝﹣3代入其中，求得y值；【解答过程】解：（1）依题意得：设y﹣2＝k（x+1）．将x＝﹣2，y＝6代入得：6﹣2＝﹣k，解得：k＝﹣4．故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣4x﹣2．（2）由（1）知，y＝﹣4x﹣2，则当x＝﹣3时，y＝（﹣4）×（﹣3）﹣2＝10，即y＝10．【变式8-3】（2021秋•铜仁市期中）一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．【解题思路】首先根据题意画出函数图象，分两种情况，但是直线都过（0，2），分别求出A，B点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式．【解答过程】解：①∵一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴OB×CO＝8，OB×2＝8，BO＝8，∴B（8，0）∵y＝kx+b的图象过点（0，2），（8，0），∴，解得：，∴此一次函数的解析式为：yx+2；②∵一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴OA×CO＝8，OA×2＝8，AO＝8，∴A（﹣8，0）∵y＝kx+b的图象过点（0，2），（﹣8，0），∴，解得：，∴此一次函数的解析式为：yx+2，综上：此一次函数的解析式为：yx+2或yx+2．【题型9 一次函数的实际应用 】【例9】（2021•禅城区二模）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【解题思路】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．【解答过程】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得，解得．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000；②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y＝﹣50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．【变式9-1】（2021秋•新化县期末）某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？【解题思路】（1）设A旅行社费用为y1，B旅行社费用为y2，该单位旅游人数为x，根据题意，y1与x成正比例，y2与x﹣1成正比例，可分别写出函数表达式．A、B两家旅行社所收费用相同时，即y1＝y2，列出方程即可求解；（2）通过算出A、B两旅社各需要的费用，选择优惠的旅行社．【解答过程】解：（1）设A旅行社费用为y1，B旅行社费用为y2，该单位旅游人数为x，由题意得：y1＝300×0.75x＝225x，y2＝300×0.8×（x﹣1）＝240x﹣240，（2分）令y1＝y2，即225x＝240x﹣240，解得：x＝16，答：该单位的旅游人数为16人时，A、B两家旅行社所收费用相同；（2）若选择A旅行社，y1＝225×30＝6750元若选择B旅行社，y2＝240×30﹣240＝6960元∴应选A旅行社．【变式9-2】（2021秋•和平区校级期中）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【解题思路】（1）①根据A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费，可以写出学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；②根据B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费，可以写出学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；（2）先判断哪家公司比较合算，然后将x＝150代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的函数值，再比较大小即可说明理由．【解答过程】解：（1）①由题意可得，学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y1＝100x×0.7+1200＝70x+1200，故答案为：y1＝70x+1200；②由题意可得，学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y2＝100x×0.8＝80x，故答案为：y2＝80x；（2）若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算，理由：当x＝150时，y1＝70×150+1200＝11700，y2＝80×150＝12000，∵11700＜12000，∴若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算．【变式9-3】（2021•滦州市二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500m，BC＝300m，CD＝2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度；（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【解题思路】（1）设火车甲的速度是am/s，火车甲的长是bm，由题意得二元一次方程组，求解即可；（2）分类车头到达B点前、车头在B点时、车头经过B点后三种情况写函数解析式，并求出y＝1800时x的值即可；（3）先求出甲火车从车头到达A点，到车尾离开隧道所用时间，再求出乙火车在这段时间内所走路程，从而求出两车不在隧道内会车，乙距离D点的距离．【解答过程】解：（1）设火车甲的速度是am/s，火车甲的长是bm，由是题意得：，解得：，答：火车甲的速度是30m/s，火车甲的长是300m；（2）当车头到达B点前，即x＜40时，y＝1500﹣300﹣30x＝1200﹣30x；当车头在B点时，y＝0，当车头经过B点后，即x＞40时，y＝（x﹣40）×30＝30x﹣1200，综上，y，当车头差500米未到达D点时，y＝1800，即30x﹣1200＝1800，解得：x＝100，所以当x＝100时，车头差500米未到达D点；（3）火车甲从车头到达A点，到车尾离开隧道，共用时（1500+300+300）÷30＝70（s），因此要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达A点时，火车乙的车头距C点至少要有70s的车程，也就是70×30＝2100（m），∴2100﹣2000＝100（m），所以当火车甲车头到达A点时，火车乙车头不能到达D点，至少距离D点100m．【题型10 一次函数的图象及其应用】【例10】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【解题思路】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项【解答过程】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．故选：D．【变式10-1】（2021春•罗湖区校级期中）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是390元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？【解题思路】（1）图象与y轴的交点就是农民自带的零钱；（2）0到80时线段的斜率就是西瓜的售价；（3）计算出降价后卖出的西瓜+未降价卖出的质量＝总共的西瓜；（4）赚的钱＝总收入﹣批发西瓜用的钱．【解答过程】解：（1）由图可得农民自带的零钱为50元，答：农民自带的零钱为50元；（2）（290﹣50）÷80＝240÷80＝3元，答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3元；（3）（390﹣290）÷（3﹣0.5）＝100÷2.5＝40（千克），80+40＝120千克，答：他一共批发了120千克的西瓜；（4）390﹣120×1.8﹣50＝124元，答：这个水果贩子一共赚了124元钱．【变式10-2】（2021•吉林一模）为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距 360 km，m＝ 5 ，n＝ 6 ；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【解题思路】（1）根据函数图象可知AB两市相距360km，再根据时间＝路程×速度即可求出m，n的值；（2）由（1）的结果，根据点（1，0）和点（5，360），利用待定系数法即可得；（ 3）先利用待定系数法求出甲车行驶过程中y关于x的函数解析式，再求出两车相遇时x的值，然后分①甲、乙两车未相遇前和②甲、乙两车相遇后两种情况讨论即可得．【解答过程】解：（1）由函数图象可知，AB两市相距360km，则m1＝5（h），n6（h），故答案为：360，5，6；（2）设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将点（1，0）和点（5，360）代入得：，解得：，则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝90x﹣90，由（1）可知，m＝5，则1≤x≤5；（3）设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝cx，将点（6，360）代入得：6c＝360，解得：c＝60，则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，即当甲车行驶3h时，两车相遇，由题意，分以下两种情况：①当甲、乙两车未相遇前，即1≤x＜3时，则60x﹣（90x﹣90）＝30，解得：x＝2，符合题设；②当甲、乙两车相遇后，即3≤x＜5时，则90x﹣90﹣60x＝30，解得：x＝4，符合题设；综上，在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，x的值为2或4．【变式10-3】（2021•双阳区一模）已知M、N两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从M地匀速开往N地，甲车从N地沿此公路匀速驶往M地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车速度为 80 千米/时．（2）求甲乙两车相遇后的y与x之间的函数关系式．（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．【解题思路】（1）根据已知和图中的条件求出结果；（2）先由相遇时用2小时，求出甲乙各走的路程，再求出甲乙离目的地的距离，以及所用时间，求出点B，C，D坐标，进而求出有关解析式；（3）分两种情况讨论，列方程求出结果．【解答过程】解：（1）由图可知2小时相遇，∵乙车以40千米/时的速度匀速行驶，∴2小时走的路程：40×2＝80（千米），乙的速度：（240﹣80）÷2＝80千米/时，故答案为：80．（2）∵相遇时用2小时，∴甲里目的地80千米，∴甲再用1小时走完全部路程，此时甲乙相距120千米，乙走完整个路程所用时间：240÷40＝6（小时），∴C（3，120），D（6，240）设线段BC函数关系式：y＝kx+b，此图象经过B（2，0），C（3，120），则有，解得k＝120，b＝﹣240，∴线段BC函数关系式：y＝120x﹣240，设线段DC函数关系式：y＝mx+n，此图象经过D（6，240），C（3，120），则有，解得m＝40，n＝0．∴线段DC函数关系式：y＝40x，（3）①面对面相距140千米，设乙车行驶的时间为t小时，40t+80t+140＝240．解得t，②背靠背相距140千米，∵t＝3时，甲到目的地，此时两人相距120千米，当背靠背相距140千米时，乙再走20千米，乙走0.5小时，乙车行驶的时间：3.5小时．综上所述：乙车行驶的时间：3.5小时或小时． 岩层的深度h/km 12 3 4 5 6 … 岩层的温度t/℃ 5590 125 160 195 230 … 岩层的深度h/km 12 3 4 5 6 … 岩层的温度t/℃ 5590 125 160 195 230 …x…﹣4﹣2024…y…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1…
一次函数章末重难点突破10大题型【考点1 函数的概念】【例1】（2021秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（ ）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2021春•青县期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．【变式1-2】（2021春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【变式1-3】（2021春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h之间的关系式；（3）估计岩层10km深处的温度是多少．【考点2 函数自变量的取值范围】【例2】（2021•吴江区一模）函数中，自变量x的取值范围为 ．【变式2-1】（2021•曲靖二模）若整数x满足|x|≤4，则使函数y有意义的x的值是 （只需填一个）．【变式2-2】（2019•椒江区校级二模）函数y＝1中自变量x的取值范围是 ．【变式2-3】（2021春•天心区期末）若函数y在实数范围内无意义，则自变量x的取值范围是 ．【考点3 一次函数的定义】【例3】（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（ ）A． B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【变式3-1】（2021春•九龙坡区期中）若y＝（a﹣2）5是y关于x的一次函数，则a的值为 ．【变式3-2】（2021秋•泰兴市校级期中）已知函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，则n＝ ．【变式3-3】（2021春•洛宁县期中）若函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝ ．【考点4 一次函数的系数与图象的关系 】【例4】（2021春•雄县期末）若k＞1，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象是（ ）A． B． C． D．【变式4-1】（2021秋•莲湖区期中）若k＜0，则一次函数y＝﹣2x﹣k的图象大致是（ ）A． B． C． D．【变式4-2】（2021秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【变式4-3】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）A． B． C． D．【考点5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】【例5】（2021秋•攸县校级期中）已知函数y＝﹣2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【变式5-1】（2021秋•峄城区期中）作出函数yx﹣3的图象并回答以下问题：（1）当x的值增大时，y的值如何变化？（2）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是多少？（3）求出该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【变式5-2】（2021秋•城关区校级期中）已知一次函数y＝2x+4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）y的值随x值的增大而 ；（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．【变式5-3】（2021秋•宝丰县期中）在如图所示的直角坐标系中画出一次函数yx+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标是什么？（2）当x＞0时，y随x的增大而怎样变化？（3）计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．【考点6 一次函数的平移】【例6】（2021•汉台区一模）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（ ）A．﹣2或4 B．2或﹣4 C．4或﹣6 D．﹣4或6【变式6-1】（2021春•天心区期中）将一次函数y的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（ ）A．yx+1 B．yx+2 C．yx﹣1 D．yx﹣2【变式6-2】（2021秋•商河县校级期中）直线y＝kx向上平移4个单位后，经过（﹣1，2），则所得直线的解析式为 ．【变式6-3】（2021春•陇县期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为 ．【考点7 一次函数的增减性】【例7】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣2不经过的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-1】（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【变式7-2】（2021秋•丹徒区期末）一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ）A．﹣2 B．﹣2或2 C．1 D．2【变式7-3】（2021春•武城县期中）已知直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 ．【考点8 求一次函数解析式】【例8】（2021秋•敦煌市期中）一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤2时，﹣2≤y≤1，求此一次函数的解析式．【变式8-1】（2021秋•肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是： ．【变式8-2】（2021春•无为市期末）已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且当x＝﹣2时，y＝6；（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝﹣3时，y的值．【变式8-3】（2021秋•铜仁市期中）一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．【考点9 一次函数的实际应用 】【例9】（2021•禅城区二模）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【变式9-1】（2021秋•新化县期末）某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？【变式9-2】（2021秋•和平区校级期中）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【变式9-3】（2021•滦州市二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500m，BC＝300m，CD＝2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度；（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【考点10 一次函数的图象及其应用】【例10】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【变式10-1】（2021春•罗湖区校级期中）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是390元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？【变式10-2】（2021•吉林一模）为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距 km，m＝ ，n＝ ；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【变式10-3】（2021•双阳区一模）已知M、N两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从M地匀速开往N地，甲车从N地沿此公路匀速驶往M地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车速度为 千米/时．（2）求甲乙两车相遇后的y与x之间的函数关系式．（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．一次函数章末重难点突破 【考点1 函数的概念】【例1】（2021秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（ ）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【解题思路】根据自变量与常量、因变量的定义解答．【解答过程】解：A、正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a，正确；B、圆的面积公式S＝πr2中的π是常量，正确；C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；D、如果a＝b，那么a，b都是变量，故错误．故选：D．【变式1-1】（2021春•青县期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．【解题思路】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论．【解答过程】解：当x取一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．选项C中的曲线，当x取一个值时，y的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，故选：C．【变式1-2】（2021春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【解题思路】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解．【解答过程】解：A、y＝（x）2x2，y是x的函数，故A选项错误；B、每一个学生对应一个身高，y是x的函数，故B选项错误；C、y＝π（x）2πx2，y是x的函数，故C选项错误；D、y＝±，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D选项正确．故选：D．【变式1-3】（2021春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h之间的关系式；（3）估计岩层10km深处的温度是多少．【解题思路】（1）直接利用常量与变量的关系得出自变量和因变量；（2）利用表格中数据进而得出答案；（3）直接利用（2）中函数关系式得出t的值．【解答过程】解：（1）上表反映了岩层的深度h（km）与岩层的温度t（℃）之间的关系；其中岩层深度h（km）是自变量，岩层的温度t（℃）是因变量；（2）岩层的深度h每增加1km，温度t上升35℃，关系式：t＝55+35（h﹣1）＝35h+20；（3）当h＝10km时，t＝35×10+20＝370（℃）．【题型2 函数自变量的取值范围】【例2】（2021•吴江区一模）函数中，自变量x的取值范围为 x≥4 ．【解题思路】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此即可求解．【解答过程】解：根据题意得x﹣4≥0，解得：x≥4．故答案是：x≥4．【变式2-1】（2021•曲靖二模）若整数x满足|x|≤4，则使函数y有意义的x的值是 0 （只需填一个）．【解题思路】根据题意可以求得使得二次根式有意义的x满足的条件，又因为整数|x|≤4，从而可以写出一个符号要求的x值．【解答过程】解：∵y，∴1﹣2x≥0，解得x，∵整数|x|≤4，∴当x＝0时符合要求．故答案为：0．【变式2-2】（2019•椒江区校级二模）函数y＝1中自变量x的取值范围是 x≥2 ．【解题思路】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解【解答过程】解：根据题意得，2x﹣4≥0解得x≥2故答案为：x≥2．【变式2-3】（2021春•天心区期末）若函数y在实数范围内无意义，则自变量x的取值范围是 x ．【解题思路】根据二次根式无意义列出不等式，解不等式得到答案．【解答过程】解：由题意得：2x-3＜0，解得：x，故答案为：x．【题型3 一次函数和正比例函数的定义】【例3】（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（ ）A． B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【解题思路】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．【解答过程】解：A．右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；故选：B．【变式3-1】（2021春•九龙坡区期中）若y＝（a﹣2）5是y关于x的一次函数，则a的值为 ﹣2 ．【解题思路】根据形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得a2﹣3＝1，且a﹣2≠0，再解即可．【解答过程】解：由题意得：a2﹣3＝1，且a﹣2≠0，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【变式3-2】（2021秋•泰兴市校级期中）已知函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，则n＝ ﹣3 ．【解题思路】根据正比例函数：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，可得答案．【解答过程】解：函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，得，解得n＝﹣3，n＝3（不符合题意要舍去）．故答案为：﹣3．【变式3-3】（2021春•洛宁县期中）若函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝ ﹣2 ．【解题思路】依据正比例函数的定义可知m2﹣3＝1，由正比例函数的性质可知m＜0，故此可求得m的值．【解答过程】解：∵函数y＝mx是正比例函数，且图象在二、四象限，∴m2﹣3＝1且m＜0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．【题型4 一次函数的系数与图象的关系 】【例4】（2021春•雄县期末）若k＞1，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象是（ ）A． B． C． D．【解题思路】判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，进而判断函数不经过的象限．【解答过程】解：∵k＞1，∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，所以一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：，所以，一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象不经过第二象限，故选：A．【变式4-1】（2021秋•莲湖区期中）若k＜0，则一次函数y＝﹣2x﹣k的图象大致是（ ）A． B． C． D．【解题思路】根据一次函数y＝﹣2x﹣k中的﹣2、﹣k的符号判定该直线所经过的象限．【解答过程】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴直线y＝﹣2x﹣k的图象经过第第一、二、四象限，∴该直线不经过第三象限；故选：A．【变式4-2】（2021秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【解题思路】根据一次函数图象的性质分析．【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．【变式4-3】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）A． B． C． D．【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解答过程】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，∴直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．【题型5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】【例5】（2021秋•攸县校级期中）已知函数y＝﹣2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解题思路】先写出函数y＝﹣2x+3与坐标轴的两个交点的坐标，根据坐标画图．读图、据解析式计算，问题可求．【解答过程】解：（1）如图：（2）函数y＝﹣2x+3与坐标轴的两个交点的坐标（0，3），（，0）（3）此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积3．【变式5-1】（2021秋•峄城区期中）作出函数yx﹣3的图象并回答以下问题：（1）当x的值增大时，y的值如何变化？（2）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是多少？（3）求出该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【解题思路】利用五点法画出函数图象．（1）观察函数图象，可找出y随x的增大而增大；（2）观察函数图象，找出函数yx﹣3的图象与x，y轴的交点坐标；（3）利用三角形的面积公式，可求出函数yx﹣3的图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【解答过程】解：列表如下：描点、连线，画出函数图象.（1）观察函数图象，可知：y随x的增大而增大；（2）图象与x轴的交点坐标为（6，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；（3）该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积6×3＝9．【变式5-2】（2021秋•城关区校级期中）已知一次函数y＝2x+4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）y的值随x值的增大而 增大 ；（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．【解题思路】（1）由解析式可求得一次函数与两坐标轴的交点，利用两点法可画出函数图象；（2）由一次函数的性质可求得答案；（3）利用（1）可求得答案；（4）由A、B坐标可求得OA、OB的长，则可求得△AOB的面积．【解答过程】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得x＝﹣2，令x＝0可得y＝4，∴一次函数图象过（﹣2，0）和（0，4）两点，且一次函数图象为一条直线，∴函数图象如图所示；（2）在y＝2x+4中，∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故答案为：增大；（3）由（1）可知A（﹣2，0），B（0，4）；（4）由（3）可知OA＝2，OB＝4，∴S△AOBOA•OB2×4＝4．【变式5-3】（2021秋•宝丰县期中）在如图所示的直角坐标系中画出一次函数yx+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标是什么？（2）当x＞0时，y随x的增大而怎样变化？（3）计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解题思路】（1）可由解析式先求得A、B两点的坐标，由两点法可画出函数图象；（2）由图象可直接求得答案；（3）由A、B坐标可求得OA、OB的长，则可求得△OAB的面积．【解答过程】解：（1）在yx+3中，令y＝0可得x＝﹣6，令x＝0可得y＝3，∴A（﹣6，0），B（0，3），其图象如图所示；（2）由图象可知当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）∵A（﹣6，0），B（0，3），∴OA＝6，OB＝3，∴S△AOB6×3＝9．【题型6 一次函数的平移】【例6】（2021•汉台区一模）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（ ）A．﹣2或4 B．2或﹣4 C．4或﹣6 D．﹣4或6【解题思路】根据上加下减的原则可知，将直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到直线y＝kx﹣b±3，即直线y＝kx﹣1，那么﹣b±3＝﹣1，即可求出b的值．【解答过程】解：根据上加下减的原则可得：﹣b±3＝﹣1，解得b＝﹣2或4．故选：A．【变式6-1】（2021春•天心区期中）将一次函数y的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（ ）A．yx+1 B．yx+2 C．yx﹣1 D．yx﹣2【解题思路】直接利用一次函数平移规律，“上加下减，左加右减”进而得出即可．【解答过程】解：∵一次函数y的图象向左平移2个单位，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y（x+2）+2，即yx﹣1．故选：C．【变式6-2】（2021秋•商河县校级期中）直线y＝kx向上平移4个单位后，经过（﹣1，2），则所得直线的解析式为 y＝2x+4 ．【解题思路】设平移后所得直线的解析式是y＝kx+4，把（﹣1，2）代入求出k即可．【解答过程】解：因为直线y＝kx向上平移4个单位后，设平移后所得直线的解析式是y＝kx+4，把（﹣1，2）代入y＝kx+4，可得：2＝﹣k+4，解得：k＝2，所以直线解析式为：y＝2x+4，故答案为：y＝2x+4．【变式6-3】（2021春•陇县期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为 y＝﹣2x+8 ．【解题思路】根据一次函数图象与几何变换可设直线AB的解析式为y＝﹣2x+b，再把点（m，n）代入得n＝﹣2m+b，然后利用2m+n＝3可得到b的值．【解答过程】解：设直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y＝﹣2x+b，把点（m，n）代入得n＝﹣2m+b，解得b＝2m+n，∵2m+n＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．故答案是：y＝﹣2x+8．【题型7 一次函数的增减性】【例7】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣2不经过的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．【解答过程】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵b＝﹣2＜0，∴一次函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限，故选：A．【变式7-1】（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【解题思路】根据一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大可得答案．【解答过程】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，∵a﹣1＜a＜a+1，∴y1＜y2＜y3．故选：A．【变式7-2】（2021秋•丹徒区期末）一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ）A．﹣2 B．﹣2或2 C．1 D．2【解题思路】由y随x的增大而增大，根据一次函数的性质得m＞0；再由于一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），则m2＝4，然后解方程，求出满足条件的m的值．【解答过程】解：根据题意得m＞0且m2＝4，解得m＝2．故选：D．【变式7-3】（2021春•武城县期中）已知直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 m ．【解题思路】先根据当x1＜x2时，有y1＞y2得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答过程】解：∵直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，∴此函数是减函数，∴2﹣3m＜0，解得m．故答案为：m．【题型8 求一次函数解析式】【例8】（2021秋•敦煌市期中）一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤2时，﹣2≤y≤1，求此一次函数的解析式．【解题思路】一次函数经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）或点（﹣1，1）和（2，﹣2），利用待定系数法即可求解．【解答过程】解：当一次函数经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）时，，解得：，则一次函数的解析式是y＝x﹣1；当一次函数经过点（﹣1，1）和（2，﹣2）时，，解得：，则一次函数的解析式是y＝﹣x．总之，一次函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x．【变式8-1】（2021秋•肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是： yx﹣1 ．【解题思路】利用待定系数法计算即可．【解答过程】解：设一次函数解析式为：y＝kx+b，由题意得，，解得，，则一次函数解析式为yx﹣1，故答案为：yx﹣1．【变式8-2】（2021春•无为市期末）已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且当x＝﹣2时，y＝6；（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝﹣3时，y的值．【解题思路】（1）根据y﹣2与x+1成正比例关系设出函数的解析式，再把当x＝﹣2时，y＝6代入函数解析式即可求出k的值，进而求出y与x之间的函数解析式．（2）根据（1）中所求函数解析式，将x＝﹣3代入其中，求得y值；【解答过程】解：（1）依题意得：设y﹣2＝k（x+1）．将x＝﹣2，y＝6代入得：6﹣2＝﹣k，解得：k＝﹣4．故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣4x﹣2．（2）由（1）知，y＝﹣4x﹣2，则当x＝﹣3时，y＝（﹣4）×（﹣3）﹣2＝10，即y＝10．【变式8-3】（2021秋•铜仁市期中）一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．【解题思路】首先根据题意画出函数图象，分两种情况，但是直线都过（0，2），分别求出A，B点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式．【解答过程】解：①∵一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴OB×CO＝8，OB×2＝8，BO＝8，∴B（8，0）∵y＝kx+b的图象过点（0，2），（8，0），∴，解得：，∴此一次函数的解析式为：yx+2；②∵一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴OA×CO＝8，OA×2＝8，AO＝8，∴A（﹣8，0）∵y＝kx+b的图象过点（0，2），（﹣8，0），∴，解得：，∴此一次函数的解析式为：yx+2，综上：此一次函数的解析式为：yx+2或yx+2．【题型9 一次函数的实际应用 】【例9】（2021•禅城区二模）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【解题思路】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．【解答过程】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得，解得．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000；②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y＝﹣50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．【变式9-1】（2021秋•新化县期末）某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？【解题思路】（1）设A旅行社费用为y1，B旅行社费用为y2，该单位旅游人数为x，根据题意，y1与x成正比例，y2与x﹣1成正比例，可分别写出函数表达式．A、B两家旅行社所收费用相同时，即y1＝y2，列出方程即可求解；（2）通过算出A、B两旅社各需要的费用，选择优惠的旅行社．【解答过程】解：（1）设A旅行社费用为y1，B旅行社费用为y2，该单位旅游人数为x，由题意得：y1＝300×0.75x＝225x，y2＝300×0.8×（x﹣1）＝240x﹣240，（2分）令y1＝y2，即225x＝240x﹣240，解得：x＝16，答：该单位的旅游人数为16人时，A、B两家旅行社所收费用相同；（2）若选择A旅行社，y1＝225×30＝6750元若选择B旅行社，y2＝240×30﹣240＝6960元∴应选A旅行社．【变式9-2】（2021秋•和平区校级期中）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【解题思路】（1）①根据A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费，可以写出学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；②根据B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费，可以写出学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；（2）先判断哪家公司比较合算，然后将x＝150代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的函数值，再比较大小即可说明理由．【解答过程】解：（1）①由题意可得，学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y1＝100x×0.7+1200＝70x+1200，故答案为：y1＝70x+1200；②由题意可得，学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y2＝100x×0.8＝80x，故答案为：y2＝80x；（2）若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算，理由：当x＝150时，y1＝70×150+1200＝11700，y2＝80×150＝12000，∵11700＜12000，∴若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算．【变式9-3】（2021•滦州市二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500m，BC＝300m，CD＝2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度；（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【解题思路】（1）设火车甲的速度是am/s，火车甲的长是bm，由题意得二元一次方程组，求解即可；（2）分类车头到达B点前、车头在B点时、车头经过B点后三种情况写函数解析式，并求出y＝1800时x的值即可；（3）先求出甲火车从车头到达A点，到车尾离开隧道所用时间，再求出乙火车在这段时间内所走路程，从而求出两车不在隧道内会车，乙距离D点的距离．【解答过程】解：（1）设火车甲的速度是am/s，火车甲的长是bm，由是题意得：，解得：，答：火车甲的速度是30m/s，火车甲的长是300m；（2）当车头到达B点前，即x＜40时，y＝1500﹣300﹣30x＝1200﹣30x；当车头在B点时，y＝0，当车头经过B点后，即x＞40时，y＝（x﹣40）×30＝30x﹣1200，综上，y，当车头差500米未到达D点时，y＝1800，即30x﹣1200＝1800，解得：x＝100，所以当x＝100时，车头差500米未到达D点；（3）火车甲从车头到达A点，到车尾离开隧道，共用时（1500+300+300）÷30＝70（s），因此要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达A点时，火车乙的车头距C点至少要有70s的车程，也就是70×30＝2100（m），∴2100﹣2000＝100（m），所以当火车甲车头到达A点时，火车乙车头不能到达D点，至少距离D点100m．【题型10 一次函数的图象及其应用】【例10】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【解题思路】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项【解答过程】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．故选：D．【变式10-1】（2021春•罗湖区校级期中）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是390元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？【解题思路】（1）图象与y轴的交点就是农民自带的零钱；（2）0到80时线段的斜率就是西瓜的售价；（3）计算出降价后卖出的西瓜+未降价卖出的质量＝总共的西瓜；（4）赚的钱＝总收入﹣批发西瓜用的钱．【解答过程】解：（1）由图可得农民自带的零钱为50元，答：农民自带的零钱为50元；（2）（290﹣50）÷80＝240÷80＝3元，答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3元；（3）（390﹣290）÷（3﹣0.5）＝100÷2.5＝40（千克），80+40＝120千克，答：他一共批发了120千克的西瓜；（4）390﹣120×1.8﹣50＝124元，答：这个水果贩子一共赚了124元钱．【变式10-2】（2021•吉林一模）为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距 360 km，m＝ 5 ，n＝ 6 ；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【解题思路】（1）根据函数图象可知AB两市相距360km，再根据时间＝路程×速度即可求出m，n的值；（2）由（1）的结果，根据点（1，0）和点（5，360），利用待定系数法即可得；（ 3）先利用待定系数法求出甲车行驶过程中y关于x的函数解析式，再求出两车相遇时x的值，然后分①甲、乙两车未相遇前和②甲、乙两车相遇后两种情况讨论即可得．【解答过程】解：（1）由函数图象可知，AB两市相距360km，则m1＝5（h），n6（h），故答案为：360，5，6；（2）设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将点（1，0）和点（5，360）代入得：，解得：，则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝90x﹣90，由（1）可知，m＝5，则1≤x≤5；（3）设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝cx，将点（6，360）代入得：6c＝360，解得：c＝60，则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，即当甲车行驶3h时，两车相遇，由题意，分以下两种情况：①当甲、乙两车未相遇前，即1≤x＜3时，则60x﹣（90x﹣90）＝30，解得：x＝2，符合题设；②当甲、乙两车相遇后，即3≤x＜5时，则90x﹣90﹣60x＝30，解得：x＝4，符合题设；综上，在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，x的值为2或4．【变式10-3】（2021•双阳区一模）已知M、N两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从M地匀速开往N地，甲车从N地沿此公路匀速驶往M地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车速度为 80 千米/时．（2）求甲乙两车相遇后的y与x之间的函数关系式．（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．【解题思路】（1）根据已知和图中的条件求出结果；（2）先由相遇时用2小时，求出甲乙各走的路程，再求出甲乙离目的地的距离，以及所用时间，求出点B，C，D坐标，进而求出有关解析式；（3）分两种情况讨论，列方程求出结果．【解答过程】解：（1）由图可知2小时相遇，∵乙车以40千米/时的速度匀速行驶，∴2小时走的路程：40×2＝80（千米），乙的速度：（240﹣80）÷2＝80千米/时，故答案为：80．（2）∵相遇时用2小时，∴甲里目的地80千米，∴甲再用1小时走完全部路程，此时甲乙相距120千米，乙走完整个路程所用时间：240÷40＝6（小时），∴C（3，120），D（6，240）设线段BC函数关系式：y＝kx+b，此图象经过B（2，0），C（3，120），则有，解得k＝120，b＝﹣240，∴线段BC函数关系式：y＝120x﹣240，设线段DC函数关系式：y＝mx+n，此图象经过D（6，240），C（3，120），则有，解得m＝40，n＝0．∴线段DC函数关系式：y＝40x，（3）①面对面相距140千米，设乙车行驶的时间为t小时，40t+80t+140＝240．解得t，②背靠背相距140千米，∵t＝3时，甲到目的地，此时两人相距120千米，当背靠背相距140千米时，乙再走20千米，乙走0.5小时，乙车行驶的时间：3.5小时．综上所述：乙车行驶的时间：3.5小时或小时． 岩层的深度h/km 12 3 4 5 6 … 岩层的温度t/℃ 5590 125 160 195 230 … 岩层的深度h/km 12 3 4 5 6 … 岩层的温度t/℃ 5590 125 160 195 230 …x…﹣4﹣2024…y…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1…
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