第5章 一次函数专题 一次函数与几何图形的综合问题（含解析）

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专题 一次函数与几何图形的综合问题类型一、面积问题例．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．(1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式：(2)当＜时，直接写出自变量x的取值范围为_________；(3)点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，求出点P的坐标．【变式训练1】平面直角坐标系xOy中，经过点（1，2）的直线y=kx+b，与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；(2)若k=b，p是该直线上一点，当△OPA的面积等于△OAB面积的2倍时，求点P的坐标．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点（﹣1，2），交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线n与直线m交于点P，与x轴、y轴分别交于点C、D（0，﹣2），连接BC，已知点P的横坐标为﹣4．(1)求直线m的函数表达式和点P的坐标；(2)求证：△BOC是等腰直角三角形；(3)直线m上是否存在点E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练3】如图，已知一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线BC的函数关系式；(2)若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①如图，当点M（a，0）在线段OA上时，△BPQ的面积为S，求S与a之间的函数关系式；②连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．(1)求直线AC的表达式．(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足的面积为30，求点Q的坐标．类型二、几何图形存在问题例1．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=6，OD=1，点C为线段AB的中点．(1)直接写出点C的坐标为 ；(2)点P是x轴上的动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标；(3)在平面内是否存在点F，使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例2.已知中，，，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．(1)求直线BD的表达式．(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．(3)直线BD上是否存在点F，使为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．例3.如图，正方形ABCD的顶点，，点P在直线上．(1)直接写出点C和点D的坐标：C______，D______．(2)Q为坐标平面内一点，当以O、B、Q、P为顶点的四边形为菱形，直接写出点P和对应的点Q的坐标．【变式训练1】如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，过点A另一条的直线交x轴于点C，且，线段OC、BC的长是方程的两个根．(1)求A点坐标；(2)若过点，的直线DE交直线AC于点F，求经过点F的正比例函数解析式；(3)在（2）的条件下，点P在直线AB上，点Q在直线AC上，使以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，求点的坐标；(3)若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．类型三、最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣3，3），C（﹣2，1）．(1)已知△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，画出△A1B1C1；(2)在y轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，点P的坐标为 　 　．【变式训练1】在如图的网格中，只利用直尺作图：(1)将向左平移3个单位后的图形；(2)作点P，使P到A、B的距离相等，且；(3)点Q在y轴上，当最小时，点Q的坐标为______．【变式训练2】如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（2，4），△AOB的面积为6．(1)反比例函数的表达式；(2)求直线AB的函数表达式；(3)若动点P在y轴上运动，当|PA﹣PB|最大时，求P点坐标．课后训练1．如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；(3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）．(1)S△ABC＝　 　；(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(3)已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　 　．(4)若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，则点Q的坐标是 　 　．3．如图，直线AB：y=-x+n分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．(1)求点B的坐标；(2)求直线BC的函数表达式；(3)直线：交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．专题 一次函数与几何图形的综合问题类型一、面积问题例．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．(1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式：(2)当＜时，直接写出自变量x的取值范围为_________；(3)点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，求出点P的坐标．【答案】(1)一次函数 反比例函数；(2)或；(3)或【解析】(1)解：将A（2，8）代入得，解得k＝16，∴反比例函数的解析式为，把B（8，n）代入得，n＝＝2，∴B（8，2），将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+10；(2)解：由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，故答案为x＞8或0＜x＜2；(3)解：由题意可知关于原点成中心对称，则OA＝OC，∴S△APC＝2S△AOP，如图，记与轴的交点为D，把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，∴D（10，0），∴，∵，∴2S△AOP＝24，∴，即，∴OP＝3，∴P（3，0）或P（﹣3，0）．【变式训练1】平面直角坐标系xOy中，经过点（1，2）的直线y=kx+b，与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；(2)若k=b，p是该直线上一点，当△OPA的面积等于△OAB面积的2倍时，求点P的坐标．【答案】(1)，；(2)点P的坐标为或．【解析】(1)解：当时，，将点代入可得：，解得：，∴一次函数解析式为：，当时，，∴；(2)解：∵，∴，将点代入可得：，解得：，∴，当时，，点，，当时，，点，，∴，设，且，如图所示，连接OP，，，∴，∴，当时，，解得：，∴；当时，，解得：，∴；综上可得：点P的坐标为或．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点（﹣1，2），交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线n与直线m交于点P，与x轴、y轴分别交于点C、D（0，﹣2），连接BC，已知点P的横坐标为﹣4．(1)求直线m的函数表达式和点P的坐标；(2)求证：△BOC是等腰直角三角形；(3)直线m上是否存在点E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线m的解析式为，点P的坐标为（-4，-4）(2)见解析；(3)（，）或（，）【解析】(1)解：设直线m的解析式为，由题意得：，解得，∴直线m的解析式为，∵点P在直线m上，且点P的横坐标为-4，∴点P的纵坐标为，∴点P的坐标为（-4，-4）；(2)解：设直线n的解析式为，∴，解得，∴直线n的解析式为，∵B是直线m与y轴的交点，C是直线n与x轴的交点，∴点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），∴OB=OC=4，又∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形；(3)解：设点E的坐标为（m，2m+4）∵A点坐标为（-2，0），C点坐标为（4，0），∴AC=6，∴，∵，∴，解得或，∴点E的坐标为（，）或（，）．【变式训练3】如图，已知一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线BC的函数关系式；(2)若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①如图，当点M（a，0）在线段OA上时，△BPQ的面积为S，求S与a之间的函数关系式；②连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．【答案】(1)直线的函数解析式为；(2)①；②点的坐标为，或，．【解析】(1)由，令得：，∴B（0，3）．由得：，解得， A（6，0），点与点关于轴对称．∴C（-6，0），设直线的函数解析式为，，解得，直线的函数解析式为；(2)①点，则点，点，过点作与点，则则，，的面积，即②如图，当点在轴的左侧时，点与点关于轴对称，，，，，，，，设，则，，MA2=(6-x)2，，，解得，，，当点在轴的右侧时，同理可得，，综上，点的坐标为，或，．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．(1)求直线AC的表达式．(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足的面积为30，求点Q的坐标．【答案】(1)；(2)存在，；(3)或【解析】(1)∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，令，，令，，∴，，∵点C为线段OB的中点，∴，设直线AC的表达式为，∴，解得：，故直线AC的表达式为.(2)∵四边形ACPB是平行四边形.∴且，且，如图1，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴.(3)如图所示，过点B作于点H，，，，，，是等腰直角三角形，∵点Q为直线AC上一点且的面积为30，∴，∴，∵点Q在直线AC：上，∴设Q点坐标为，∴，∴，则，，当时，，则，当时，，则，故Q点坐标为或类型二、几何图形存在问题例1．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=6，OD=1，点C为线段AB的中点．(1)直接写出点C的坐标为 ；(2)点P是x轴上的动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标；(3)在平面内是否存在点F，使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（3，3）；(2)P（2，0）；(3)存在，（8，3），（4，-3）或（-2，3）【解析】(1)解：过点C作于点N，过点C作于点N．∵∴又∵点C为线段AB的中点，OA= 6∴同理∴C(3,3)(2)作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于点P，此时PB+PC的值最小，由已知得，点B的坐标为（0，6），∴点B关于x轴的对称点B'（0，﹣6），   由（1）知，C（3，3），可设直线CB'的解析式为y=kx+b，∴      解得∴ 直线CB'的解析式为y=3x﹣6，        令y=0，则3x﹣6=0，解得： x=2，                           ∴ P（2，0）；(3)存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，设点F的坐标为（m，n）．分三种情况考虑，如图所示：当AC为对角线时，∵A（6，0），C（3，3），D（1，0），∴，解得：， ∴点F1的坐标为（8，3）；                                        ②当AD为对角线时，∵A（6，0），C（3，3），D（1，0），∴，解得：，∴点F2的坐标为（4，-3）；                                      ③当CD为对角线时，∵A（6，0），C（3，3），D（1，0），∴，解得：，∴点F3的坐标为（-2，3）．                                        综上所述，点F的坐标是（8，3），（4，-3）或（-2，3）．例2.已知中，，，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．(1)求直线BD的表达式．(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．(3)直线BD上是否存在点F，使为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或或【解析】(1)∵，由题可得，∴，，又∵点D是AC的中点，∴，∴设直线BD的表达式为：代入B，D可得：，解得：，，∴直线BD的表达式为：．(2)设点E的坐标为，∵四边形ABCE是平行四边形，∴，∴，，∴点E的坐标为．(3)∵点F在BD上，∴设点F的坐标为，∴．，∵是以AC为腰的等腰三角形，∴当时，则，∴，∴，解得：或．∴点F的坐标为：或，当时，则，∴，，解得：或，∴点F的坐标为或．∴综上，点F的坐标为或或或．例3.如图，正方形ABCD的顶点，，点P在直线上．(1)直接写出点C和点D的坐标：C______，D______．(2)Q为坐标平面内一点，当以O、B、Q、P为顶点的四边形为菱形，直接写出点P和对应的点Q的坐标．【答案】(1)，(2)P的坐标为：，，，，Q坐标为：，，，．【解析】(1)如图（1）所示，过C作CE⊥x轴，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，又∵∠AOB＝90°，CE⊥x轴，∴∠AOB＝∠BEC＝90°，又∵∠ABO＋∠CBE＝180°－∠ABC＝90°，∠ABO＋∠BAO＝180°－∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，∴在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝EB，OB＝EC，又∵，，∴OA＝EB＝3，OB＝EC＝1，∴OE＝OB＋EB＝1＋3＝4，∴点C的坐标为：，又∵正方形ABCD，∴，∴，解得：，，∴点D的坐标为，故答案为：，．(2)∵点P在直线y＝x上，∴设点P的坐标为，当点O，B，Q，P是以OB为对角线的菱形时，，∴代入可得：，∴解得：，，，∴点P的坐标为，点Q的坐标为，当点O，B，Q，P是以OQ为对角线的菱形时，，∴代入可得：，∴解得：或，∴代入可得：点P的坐标为或，点Q的坐标为或，当点O，B，Q，P是以OP为对角线的菱形时，，∴代入可得，解得：t＝1或t＝0（舍去），∴点P的坐标为，点Q的坐标为，∴综上，符合条件的P，Q的坐标为：，或，或，或，．【变式训练1】如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，过点A另一条的直线交x轴于点C，且，线段OC、BC的长是方程的两个根．(1)求A点坐标；(2)若过点，的直线DE交直线AC于点F，求经过点F的正比例函数解析式；(3)在（2）的条件下，点P在直线AB上，点Q在直线AC上，使以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．【答案】(1)（0，3）．(2)(3)或或；【解析】(1)解：解方程得， ,，∴OC=1，BC=5，∴，OB=4，，A点坐标为（0，3）．(2)解：设直线DE的解析式为，把，代入得，，解得，，直线DE的解析式为，同理，根据A（0，3），C（-1，0），求得AC的解析式为，把两个函数解析式联立得，，解得，，点F的坐标为，设经过点F的正比例函数解析式为，代入得，，解得，，经过点F的正比例函数解析式为，(3)解：根据A（0，3），B（4，0），求得AB的解析式为，设点P坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，，，当PQ为对角线时，，解得，点Q坐标为；当PD为对角线时，，解得，点Q坐标为；当PE为对角线时，，解得，点Q坐标为；综上，点Q坐标为或或．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，求点的坐标；(3)若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)直线的解析式为；(2)；(3)的坐标为：或或【解析】(1)解：当时，，．设直线的解析式为，由题意得：，解得：．直线的解析式为．(2)解：轴，，的横坐标相同．设，则．为线段上一个动点，，，，．．解得：．．（3）如下图，当四边形为平行四边形时，令，则，．，直线的解析式为：．令，则，．，直线的解析式为：．．解得：．．如下图，当四边形为平行四边形时，，直线的解析式为，，直线的解析式为，当时，，．当四边形为平行四边形时，如下图，，直线的解析式为，，直线的解析式为：，当时，，．综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或．类型三、最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣3，3），C（﹣2，1）．(1)已知△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，画出△A1B1C1；(2)在y轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，点P的坐标为 　 　．【答案】(1)见解析(2)（0，）【解析】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，点P即为所求，点C关于y轴的对称点C′（2，1），设BC′所在直线解析式为y=kx+b，则，解得，∴BC′所在直线解析式为，当x=0时，y=，所以点P坐标为（0，）．【变式训练1】在如图的网格中，只利用直尺作图：(1)将向左平移3个单位后的图形；(2)作点P，使P到A、B的距离相等，且；(3)点Q在y轴上，当最小时，点Q的坐标为______．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)【解析】(1)解：如图1；(2)解：如图2，作线段、线段的垂直平分线，交点即为点；(3)解：如图3，找关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为最小时的点Q；∴，设直线的解析式为将，代入得，解得，∴直线的解析式为将代入得，∴，故答案为：．【变式训练2】如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（2，4），△AOB的面积为6．(1)反比例函数的表达式；(2)求直线AB的函数表达式；(3)若动点P在y轴上运动，当|PA﹣PB|最大时，求P点坐标．【答案】(1)y＝；(2)y＝﹣x＋6；(3)P（0，6）【解析】(1)∵点A（2，4）在反比例函数y＝（x＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为：y＝；(2)设点B（m，），过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∵直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，∴k＝OC×AC＝OD×BD，∴S△AOC＝S△BOD，∴S△AOB＝S梯形ACDB，∴，∵m＞0，解得m＝4，∴B（4，2），设直线AB的解析式为：y＝kx＋b， 解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x＋6；(3)在△PAB中，根据两边之差小于第三边，即|PA﹣PB|≤AB，∴|PA﹣PB|的最大值为线段AB，∴此时P点为直线AB与y轴的交点，当x＝0时，y＝6，，∴P（0，6）．课后训练1．如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；(3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=；(2)或；(3)P的坐标为(-3,-2)或(5,6)【解析】(1)解：如图，连接AD，∵四边形AODC是菱形，∴点A、D关于x轴对称，∵D(1,-2)，∴A(1,2)，将A(1,2)代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，将A(1,2)代入反比例函数y=，解得：k=2；∴一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=；(2)解：∵当x=1时，反比例函数的值为2，∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；(3)解：∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，∴，∵S△OAP=S菱形OACD，∴S△OAP=2，设P点坐标为(a，a+1)，在y=x+1中，令x=0，则y=1，故F(0,1)，∴OF=1，，当P在A的左侧时，∵， ∴此时点P在F的左侧，a