初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数精品练习题

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1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线.
2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况.
3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值.
4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像.
例：在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【解答】C
【解析】当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选C．
知识点二、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
例：二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，0）
【解答】D
【解析】∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故选D．
知识点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的.
例：抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（ ）
A．（4，0）B．（0，﹣4）C．（0，4）D．（﹣4，4）
【解答】C
【解析】∵抛物线y＝﹣x2+4，
∴该函数的顶点坐标为（0，4），
故选C．
知识点四、二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质
2.二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
例：抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【解答】A
【解析】∵y＝3（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选A．
知识点五、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系
例：已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】B
【解析】①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝＝1，
即a＝，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故②④⑤正确．
故选B．
知识点六、二次函数图像的平移规律
平移规律：上加下减，左加右减.
1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m.
2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k.
例：若函数y＝﹣x2的图象经过两次平移得到函数y＝﹣x2+4x﹣5的图象，则下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向上平移1个单位，再向右平移2个单位
D．先向下平移1个单位，再向左平移2个单位
【解答】D
【解析】根据题意y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝﹣x2先向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到．
故选D．
巩固练习
一．选择题
1．将抛物线y＝3（x+2）2﹣1向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝3x2+2B．y＝3（x+4）2+2
C．y＝3（x+5）2﹣3D．y＝3x2﹣4
【解答】A
【解析】将抛物线y＝3（x+2）2﹣1向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为y＝3（x+2﹣2）2﹣1+3，即y＝3x2+2；
故选A．
2．点M（2，9）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上，则2a+b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】C
【解析】∵点M（2，9）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上，
∴4a+2b+3＝9，
∴2a+b＝3，
故选C．
3．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y1＝y2＞y3
【解答】B
【解析】∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），
∵2＜4，
∴y2＞y1＝y3，
故选B．
4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】A
【解析】由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，0），故A可能是正确的，
故选A．
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0：④若（-52，y1），（52，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；⑤14a+12b＞m（am+b）（其中m≠12）．其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤
【解答】A
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=12，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵对称轴为x=12，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴ca=-1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵抛物线经过点（2，0）
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以③错误；
∵点（-52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确．
∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴当x=12时，y有最大值，
∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12），
∴14a+12b＞m（am+b）（其中m≠12），所以⑤正确；
故选A．
6．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+5B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2﹣5D．y＝﹣（x﹣1）2﹣5
【解答】B
【解析】∵函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，5），
∴平移后得到的函数关系式为y＝﹣（x﹣1）2+5．
故选B．
7．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥32B．32≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3
【解答】A
【解析】当对称轴在y轴的右侧时，2m-6＜0-2m-62≤24(m2-3)-(2m-6)24≥-3，
解得32≤m＜3，
当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为m≥32．
故选A．
8．已知二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点为P（m，n），下列说法正确的是（ ）
A．点P可以在任意一个象限内
B．点P只能在第四象限
C．n可以等于-12
D．n≤﹣1
【解答】D
【解析】二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点P（m，n），
∴m=-a+22，n=4a-(a+2)24=-a2+44，
∵a2≥0，
∴a2+4≥4，
∴n=-a2+44≤-1，
故选D．
9．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
【解答】B
【解析】∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上，
∴h=1+72=4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），
∴a＞0，开口向上，
∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，
∴y1＞y2，
故选B．
10．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】A
【解析】∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x-m2）2+m24+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线的对称轴是直线x=m2，开口向下，
∴m2≥1，
即m≥2，
∴m24+2m＞0，
∴该抛物线的顶点（m2，m24+2m）在第一象限，
故选A．
11．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【解答】B
【解析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=ACBC=n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，
∴45°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥1，
∴n﹣m≥1，
当a，b异号时，m＝0，
当a=-12，b=12时，n=14，此时，n﹣m=14，
∴14≤n﹣m＜1，
即n﹣m≥14，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，
当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHN中，tan∠MNH=MHNH=1b-a，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴1b-a≥1，
当a，b异号时，m＝0，
∴n＝1，
∴a＝﹣1，b＝1，
即b﹣a＝2，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选B．
方法2、当n﹣m＝1时，
当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，
当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，
当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，
当a，b在y轴两侧时，当a=-12，b=12时，n﹣m取到最小，最小值为14，
因此，只有选项B正确，
故选B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-13，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解答】A
【解析】抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x=-13，即-b2a=-13，即2a＝3b，也就是a=32b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即32b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）
（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，
又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，
因此③正确，
故选A．
13．已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【解答】B
【解析】抛物线开口向上，对称轴为x＝a，
点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；
点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；
点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；
故y1＜y3＜y2，
故选B．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或14≤a＜13B．﹣1≤a＜0或14≤a＜13
C．a≤14或a＞13D．a≤﹣1或a≥14
【解答】A
【解析】∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2①．
观察图象可知，当a＜0时，x＝﹣1时，y≤2时，且--12a≥-12，满足条件，可得a≤﹣1；
当a＞0时，x＝2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且--12a≤2满足条件，
∴a≥14，
∵直线MN的解析式为y=-13x+53②，
联立①②并整理得：3ax2﹣2x+1＝0，
∵△＞0，
∴a＜13，
∴14≤a＜13满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或14≤a＜13，
故选A．
15．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（ ）
A．若x1+x2＞2，则y1＞y2B．若x1+x2＜2，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2
【解答】B
【解析】如图，
当x＝m或x＝﹣m+2时，y＝2，
∴抛物线的对称轴x=m-m+22=1，
∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
观察图象可知，此时y1＞y2，
故选B．
二．填空题
16．已知两点A（﹣2，y1）、B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0＞y1＞y2，则x0的取值范围是 ．
【解答】x0＜1．
【解析】∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．且y0＞y1＞y2，
∴抛物线开口向下，
∴函数值越大，该点离对称轴的距离就越近
∴x0﹣（﹣2）＜|4﹣x0|，
∴x0＜1．
故答案为x0＜1．
17．函数y＝2x2﹣3x+1的对称轴是 ，有最 值．
【解答】直线x=34，小，
【解析】∵函数y＝2x2﹣3x+1可化为y＝2（x-34）2-18，
∴函数y＝2x2﹣3x+1的对称轴是直线x=34，有最小值，
故答案为直线x=34，小．
18．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
【解答】y1＞y2＞y3．
【解析】∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．
19．已知抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（-52，10），B（1，3），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 ．
【解答】x1=-52，x2＝1
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（-52，10），B（1，3），
∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1=-52，x2＝1．
故答案为x1=-52，x2＝1．
20．把抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．
【解答】y＝x2+2．
【解析】∵抛物线y＝x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），
∴所得抛物线的解析式为y＝x2+2．
故答案为y＝x2+2．
21．将抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为 ．
【解答】y＝2x2+1．
【解析】∵抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝2x2+1．
故答案为y＝2x2+1．
22．当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为 ．
【解答】0或6．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
∵当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，且x＝0和x＝4时，y＝4，
①当m≤0，得m＝0时，当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4；
②当m﹣2≥4，得m＝6时，当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4；
由上可得，m的值是0或6，
故答案为0或6．
23．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是 ．
【解答】﹣2．
【解析】∵y＝﹣（x+1）2﹣2中﹣1＜0，
∴函数的图象开口向下，函数有最大值，
当x＝﹣1时，函数的最大值是﹣2，
故答案为﹣2．
24．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
【解答】s≥9．
【解析】由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为s≥9．
25．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
【解答】﹣5
【解析】将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为﹣5．
26．二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 或 ．
【解答】（32，﹣9）或（32，6）
【解析】∵抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，
设点M的坐标为：（32，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD垂直对称轴于D，
则∠1＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，
∴M（32，6），
当∠M′AB＝90°时，
∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，
∴M′（32，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．
故答案为（32，﹣9）或（32，6）．
27．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣2，0）和点（0，﹣6），且顶点在第四象限，则a的取值范围是 ．
【解答】0＜a＜32
【解析】将点（﹣2，0）和点（0，﹣6）代入函数表达式得：0=4a-2b+cc=-6，解得：b=2a-3c=-6，
故抛物线的表达式为：y＝ax2+（2a﹣3）x﹣6，
函数的顶点坐标为（3-2a2a，-4a2+12a+94a），
∵抛物线顶点在第四象限，
∴3-2a2a＞0且-4a2+12a+94a＜0，
解得：0＜a＜32，
故答案为0＜a＜32．
三．解答题
28．已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3．
（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．
【解答】（1）开口向上，对称轴为直线x＝1；（2）y的最小值为﹣3．
【解析】（1）在y＝2（x﹣1）2﹣3中，
∵a＝2＞0，
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1；
（2）∵二次函数开口向上，
∴函数y有最小值，
∵其顶点坐标为（1，﹣3），
∴y的最小值为﹣3．
29．已知y=(k+1)xk2-2是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的k的值；
（2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
（3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
【解答】（1）±2；（2）当k＝2时，抛物线有最低点，其最低点坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当k＝﹣2时，抛物线有最大值，其最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【解析】（1）根据二次函数的定义得k2-2=2k+1≠0，
解得k＝±2．
∴当k＝±2时，原函数是二次函数．
（2）根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞﹣1，
根据第（1）问得，k＝2．
∴该抛物线的解析式为y＝3x2，
∴抛物线的最低点为（0，0），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
故当k＝2时，抛物线有最低点，其最低点坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜﹣1，
根据第（1）问得：k＝﹣2．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2，
其函数最大值为0，
∴当k＝﹣2时，函数有最大值为0．当x＞0时，y随x的增大而减小．
故当k＝﹣2时，抛物线有最大值，其最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小．
30．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
【解答】（1）m＝﹣2，n＝3；（2）2≤b≤11；（3）y＝x2﹣2x．
【解析】（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），
∴-m2=1，4n-m24=2，
解得m＝﹣2，n＝3；
（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，
∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，
∴﹣2≤xQ≤2，
由图象可知，2≤yQ≤11
即2≤b≤11．
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；
由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x=-12m，
∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），
∴-12m＝1，解得m＝﹣2，
把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，
∴n＝0，
∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．
31．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（I）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；
（II）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；
（III）若（II）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
【解答】（I）顶点为（2，﹣9），对称轴为x＝2；（II）（0，﹣5），（4，﹣5）；y＝﹣ax2+4ax﹣5；（3）a=74或34
【解析】（1）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴顶点为（2，﹣9），对称轴为x＝2；
（2）①抛物线C1解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y＝ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）＝0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y＝﹣5；
将抛物线C1沿y＝﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y＝﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x＝2时，y＝2或者﹣2；
当y＝2时，2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a=74；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a=34；
∴a=74或34．
32．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t=a+2b+12ca，则t的最值为多少？
【解答】t最小值为23，无最大值．
【解析】由题意得：a＞0且△＝b2﹣4ac≤0，
即（ba）2≤4ac，
故t=a+2b+12ca=1+2ba+12ca≥1+2ba+3（ba）2＝3（ba+13）2+23≥23，
当且仅当ba=-13时等号成立，
而（ba+13）2，无最大值，故t无最大值，
故t最小值为23，无最大值．
33．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣2）x+（n﹣2020）（m，n为常数）．
（1）若抛物线的的对称轴为直线x＝1，且经过点（0，﹣1），求m，n的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求n的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数a，b（a＜b），当a≤x≤b时，恰好有1b≤y≤1a，请直接写出a，b的值．
【解答】（1）m＝6，n＝2019；（2）n＞2020；（3）a＝1，b=1+32
【解析】（1）根据题意得，-m-22×(-2)=1，n﹣2020＝﹣1，
∴m＝6，n＝2019；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：y0=-2x02+(m-2)x0+(n-2020)-y0=-2x02-(m-2)x0+(n-2020)，
∴两式相加可得：﹣4x02+2（n﹣2020）＝0．
∴n＝2x02+2020，
∴n的取值范围为：n＞2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴y≤1，
∵0＜a＜b，当a≤x≤b时，恰好有1b≤y≤1a，
∴1a≤1，即a≥1．
∴1≤a＜b．
∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，
∴当a≤x≤b时，y随x的增大而减小．
∴当x＝a时，y最大值＝﹣2a2+4a﹣1．
当x＝b时，y最小值＝﹣2b2+4b﹣1．
又1b≤y≤1a，
∴1b=-2b2+4b-1①1a=-2a2+4a-1②．
将①整理，得2b3﹣4b2+b+1＝0，
变形，得2b2（b﹣1）﹣（2b+1）（b﹣1）＝0．
∴（b﹣1）（2b2﹣2b﹣1）＝0．
∵b＞1，
∴2b2﹣2b﹣1＝0．
解得b1=1-32（舍去），b2=1+32．
同理，由②得到：（a﹣1）（2a2﹣2a﹣1）＝0．
∵1≤a＜b，
∴2a2﹣2a﹣1＝0．
解得a1＝1，a2=1-32（舍去），a3=1+32（舍去）．
综上所述，a＝1，b=1+32．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-16x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
【解答】（1）b=56，c＝4；（2）当t为3时，点D落在抛物线上
【解析】（1）把A（0，4）和C（8，0）代入y=-16x2+bx+c得c=4-323+8b+c=0，
解得b=56，c＝4；
（2）作MN⊥x轴于点N，如图，
∵M是线段AP的中点，
∴MN＝2，
∵AD⊥BE，BE⊥x轴，
∴DE＝OA＝4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，
∴PM＝PB，∠MPB＝90°，
∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，
∴∠PMN＝∠BPE，
在△PMN和△BPE中
∠PNM=∠BEP∠PMN=∠BPEPM=BP，
∴△PMN≌△BPE，
∴PE＝MN＝2，
∴OE＝2+t，
∴D（2+t，4），
∵抛物线的对称轴为直线x=-562×(-16)=52，
而点A、点D为对称点，
∴D点坐标为（5，4），
∴2+t＝5，解得t＝3，
即当t为3时，点D落在抛物线上．
函数
y＝ax2
a的符号
a＞0
a＜0
图像
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0，0）
函数的增减性
x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小
x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大
最值
当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0
当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0
函数
y=ax2+c(a≠0)
a的符号
a＞0
a＜0
图像
c＞0
c＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
函数的增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值
当x＝0时，y有最小值c
当x＝0时，y有最大值c
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点