初中苏科版第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程优秀课后作业题

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1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
③当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.
例：抛物线y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
【解答】m＞﹣1且m≠0．
【解析】∵抛物线y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）与x轴有两个交点，
∴当mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3＝0时，△＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m×（m﹣3）＞0，
解得，m＞﹣1，
又∵m≠0．
∴m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．
故答案为m＞﹣1且m≠0．
知识点二、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根
1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下：
（1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像；
（2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点；
（3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围；
（4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值.
2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值.
3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间.
例：已知函数y＝ax2+bx+c中，函数值与自变量的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围为： ．
【解答】2.54～2.67
【解析】由表格中的数据看出﹣0.17和0.12更接近于0，故x应取对应的范围是2.54～2.67．
故答案为2.54～2.67．
知识点三、二次函数与不等式的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）：
抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.
例：抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3）、（5，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为 ．
【解答】x≤0或x≥6．
【解析】∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，3），（5，3）两点，
∴大致图象如图所示：
∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，3），（6，3）两点
则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为：x≤0或x≥6．
故答案为x≤0或x≥6．
巩固练习
一．选择题
1．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3
2．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则ax2+bx+c+4＝0的解的情况为（ ）
A．有唯一解B．有两个解C．无解D．无法确定
4．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
6．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1
7．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2﹣4ac＜0D．ab＞0
8．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
9．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
10．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
11．一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（ ）
A．a＞0、b＜0、c＞0B．a＞0、b＜0、c＜0
C．a＜0、b＞0、c＞0D．a＜0、b＞0、c＜0
12．对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题
13．抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是 ．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
15．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
16．对于任意实数m，抛物线y＝x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是 ．
17．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是 ．
18．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 ．
19．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是 ．
20．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
21．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 ．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有 个．
23．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是 ．
三．解答题
24．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P为抛物线上的点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）若△PAB的面积为152，求P点的坐标．
25．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（I）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
26．已知抛物线y＝x2﹣（2m+4）x+m2﹣10的顶点A到y轴的距离为3，与x轴交于C、D两点．
（1）求顶点A的坐标；
（2）若点B在该抛物线上，且S△BCD＝542，求点B的坐标．
27．已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）．
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值．
28．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．
（1）求b和c（用m的代数式表示）；
（2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值；
（3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．
29．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．
（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．
（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
①试求此时k的值；
②若y1＞y2，试求x的取值范围．
30．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象经过点B和线段AC中点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出ax2+bx﹣3＞kx+t的x的取值范围．
判别式
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
x
……
2.41
2.54
2.67
2.75
……
y
……
﹣0.43
﹣0.17
0.12
0.32
……
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解