天津市南开中学2024届高三上学期12月月考数学试卷

这是一份天津市南开中学2024届高三上学期12月月考数学试卷，共7页。试卷主要包含了 设集合，，则， 函数的大致图像为， 设，，，则，，的大小关系为， 已知且，则a的值为等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ）
A. B. C. 16D. 17
6. 已知且，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分别为和，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 记表示区间上的偶数的个数．在等比数列中，，，则（ ）
A. 39B. 40C. 41D. 42
9. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 为奇函数B.
C. 最小正周期为D. 的单调递增区间为，
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 设是虚数单位，（），则_____．
11. 在的展开式中，的系数是______．
12. 已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则______；______．
13. 锐角，满足，，则和中的较小角等于______．
14. 为的边一点，满足．记，，用，表示______；若，且的面积为，则的最小值为______．
15. 若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，对应的边为.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求和的值.
17. 如图，在直三棱柱中，，，为棱中点．为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18. 椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，，成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，求直线的斜率．
19. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列满足，，记．是否存在整数，使得对任意都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20. 已知函数，且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且存在三个零点，，．
（i）求实数的取值范围；
（ii）设，求证：．
2024南开中学高三数学第二次月考
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】B
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
【10题答案】
【答案】3．
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ①. ②.
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】 ① ②.
【15题答案】
【答案】
三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）或0
【19题答案】
【答案】（1），
（2）
（3）存在，理由见解析
【20题答案】
【答案】（1）
（2）（i），（ii）证明见解析