高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程精品同步练习题

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1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为k，则方程 SKIPIF 1 < 0 叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，则直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，则方程 SKIPIF 1 < 0 叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ).
③当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程 SKIPIF 1 < 0 叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y= SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 ，它表示斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，在y轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x= SKIPIF 1 < 0 ，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使 SKIPIF 1 < 0 =t SKIPIF 1 < 0 ，即( SKIPIF 1 < 0 )=t(m,n)，所以
SKIPIF 1 < 0 ①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式 SKIPIF 1 < 0 求直线方程.
(2)若直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x= SKIPIF 1 < 0 ；
【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·四川乐山·高二期末（文））过点且斜率为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2021·全国·高二课时练习）过点与的直线的斜截式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2021·全国·高二课时练习）直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2021·辽宁·高一开学考试）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，可以直接使用公式 SKIPIF 1 < 0 求直线方程.
注：①当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ).
②当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ).
【例3】（2022·全国·高二课时练习）过两点的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式 SKIPIF 1 < 0 求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】（2022·全国·高二）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为 ( )
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2021·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为．
【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）已知直线经过点和点，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）直线经过第一、三、四象限，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示一条直线，则实数m满足（ ）
A．B．
C．D．且且
【变式5-2】（2022·吉林·高二阶段练习（理））经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）关于x、y的方程表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2021·全国·高二课时练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】（2022·上海·高三专题练习）过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）过点 ，且以为方向向量的直线方程为（ ）
A．B．y＝2x+1C．D．