高中数学2.2 直线的方程精品随堂练习题

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·广西·高二阶段练习）直线在轴上的截距是（ ）
A．B．1C．D．2
【解题思路】根据截距的概念运算求解.
【解答过程】令，则，解得
∴直线在轴上的截距是
故选：A.
2．（3分）（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可.
【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为，即．
故选：B.
3．（3分）（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.
【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故选：D．
4．（3分）（2021·安徽·高二期中）过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据点斜式即可得出答案.
【解答过程】解：因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
所以过点且方向向量为的直线方程为，
即.
故选：A.
5．（3分）（2022·山东·高一阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（ ）
A．2B．C．3D．
【解题思路】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解.
【解答过程】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直，
当时，，当时，，
所以直线与轴和轴的交点分别为和，
因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，
所以有，解得：或.
故选：D.
6．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．或B．或或
C．或D．或或
【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.
【解答过程】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
综上所述，直线方程为：或或.
故选：B.
7．（3分）（2022·福建·高二阶段练习）直线，（，a、）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先假定每个选项中的图象正确，则可得正负，由此可确定图象所经过的象限，对比选项中的图象即可得到结果.
【解答过程】将化为，
将化为.
对于A，若图象正确，则，，图象经过第一、二、四象限，A不正确；
对于B，若图象正确，则，，图象经过第一、二、三象限，B不正确；
对于C，若图象正确，则，则，，图象经过第一、二、四象限，C不正确；
对于D，若图象正确，则，，图象经过第二、三、四象限，D正确.
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高二单元测试）对于直线：（），现有下列说法：
①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；
②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；
③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；
④当取不同数值时，可得到一组平行直线．
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．
【解答过程】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·广东肇庆·高二期末）对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线l过点B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为D．直线l的倾斜角为45°
【解题思路】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂直两直线的性质逐一判断即可.
【解答过程】解析：直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为，C错．
故选：AB．
10．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程表示的直线的斜率一定存在
C．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．经过两点，的直线方程为
【解题思路】举例说明可判断A选项错误；由直线方程求得直线的斜率判断B选项；由倾斜角的直线的斜率不存在判断C选项；由两点求斜率，再由点斜式写出直线方程判断D选项.
【解答过程】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如但不能用表示，故A选项错误；
对于B选项，方程表示的直线的斜率为－m，故B选项正确；
对于C选项，若，则直线斜率不存在，故C选项错误；
对于D选项，经过两点，的直线斜率，而，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D选项正确.
故选：BD.
11．（4分）（2021·福建·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程
【解题思路】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；
对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；
对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；
对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.
【解答过程】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；
对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误；
对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为；
当时，方程可整理为；故D正确.
故选：BD.
12．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）关于直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为4B．当时，直线的倾斜角为0
C．当时，直线不经过第二象限D．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
【解题思路】利用直线方程的斜截式的性质，逐项分析即可.
【解答过程】对于A，直线可化为，由斜截式可知直线在轴上的截距为，故A错误；
对于B，当时，直线为，即，故直线的倾斜角为0，故B正确；
对于C，当时，有，在轴上的截距为，如图易得直线不经过第二象限，故C正确；
对于D，当时，直线为，如图，
易知直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为，故，故D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市·高二阶段练习）过两点的直线的一般式方程是 .
【解题思路】利用两点式即可写出直线，再化简为一般方程即可.
【解答过程】由题意知直线为：，
化简得：.
故答案为：.
14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
【解题思路】直线的斜率存在且不为0，设出直线截距式方程，利用已知条件求出截距就能得到直线方程.
【解答过程】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
则有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
15．（4分）（2021·广东·高二阶段练习）已知直线的一个方向向量，且过点，则直线的点斜式方程为或.
【解题思路】根据直线的方向向量可得直线的斜率，再写出点斜式方程即可.
【解答过程】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为
所以直线方程为，
故答案为：.
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是.
【解题思路】由题意求出直线的方程，设得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点共线求出，得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案.
【解答过程】由题意可得，
，
所以直线，
设，
所以AB的中点C.
由点C在直线上，且A，P，B三点共线得
解得，所以,
又，所以＝，
所以 ，
即直线AB的方程为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二专题练习）过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．
【解题思路】由题意设直线的方程为，则可得，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的值，进而可求出直线方程.
【解答过程】解：设直线的方程为．
把点代入可得．
，
当且仅当时取等号，的最小值为9，
此时直线的方程为．
18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知P是直线l上一点，且是直线l的一个方向向量，根据下列条件分别求直线l的方程：
(1)；
(2)．
【解题思路】设是直线l上另一点，表达出，利用∥得到等量关系，整理得直线l的方程.
【解答过程】解：(1)
设点是直线l上另一点，则，由∥，
则，即；
(2)
设点是直线l上另一点，则，由∥，
则，即.
19．（8分）（2022·河南省高二阶段练习）求符合下列条件的直线的方程：
(1)过点，且斜率为；
(2)过点，；
(3)过点且在两坐标轴上的截距相等．
【解题思路】（1）利用点斜式写直线方程即可；
（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；
（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.
【解答过程】解：（1）
∵所求直线过点，且斜率为，∴，即；
（2）
∵所求直线过，，∴，
∴，即；
（3）
当直线过原点时，设直线方程为，
∵直线过点，∴，直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式，得，解得，
故直线的方程为，综上，直线方程为或．
20．（8分）（2022·辽宁·高二开学考试）已知直线.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；
（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.
【解答过程】解：（1）
由条件知，且，
在直线l的方程中，令得，令得
∴，解得：，或，
经检验，，均符合要求.
（2）
当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；
当时，直线/的方程为：.
l不通过第四象限，即，解得，
综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为.
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点．
(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；
(2)设l的斜率，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求l的斜截式方程．
【解题思路】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到，解方程即可求出结果；
（2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果.
【解答过程】解：（1）
由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则l的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和，
所以，解得或，
所以l的点斜式方程为或．
（2）
由（1）知，、，
所以的面积，
当且仅当时，等号成立，所以l的斜截式方程为．
22．（8分）（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线 .
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
【解题思路】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.
(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.
【解答过程】解：（1）
方程可化为，
要使直线不经过第四象限，则，
解得，
所以k的取值范围为.
（2）
由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
此时，直线的方程为.