数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步训练题

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1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的距离的和等于常数(大于 SKIPIF 1 < 0 )的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={ SKIPIF 1 < 0 ,2a> SKIPIF 1 < 0 }.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定 SKIPIF 1 < 0 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 =1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
4．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为椭圆的焦点，当点M, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——
焦点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
③设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 曲线方程与椭圆】
【方法点拨】
根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可
【解答过程】若曲线是椭圆，则有：
解得：，且
故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件
故选：C.
【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必要不充分条件定义即可求解.
【解答过程】若方程表示椭圆，则有
因此且，
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题知，再解不等式即可.
【解答过程】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得：．
故选：D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B． C．D．
【解题思路】根据题意可得，解之即可得解.
【解答过程】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【题型2 椭圆的定义】
【方法点拨】
利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，
如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何
时应用、怎样应用.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13B．1C．7D．5
【解题思路】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.
【解答过程】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，
故，
故选：D.
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
【解题思路】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案
【解答过程】解：由椭圆可得即，
因为P为椭圆上的点，所以，
因为，所以，，故，
故选：B．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【解题思路】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【解答过程】解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
【题型3 椭圆方程的求解】
【方法点拨】
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定 SKIPIF 1 < 0 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【解答过程】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C.
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【解答过程】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-），P为C上一点，满足则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】设出点,根据题意列出等式即可求出点.再将其带入椭圆即可求出答案.
【解答过程】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设椭圆为；
由题意知：设.
则.
将代入椭圆：
所以椭圆C的标准方程为.
故选:B.
【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1
【解题思路】由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【解答过程】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
【题型4 动点轨迹方程的求法】
【方法点拨】
解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表
达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
【解题思路】用定义法求出轨迹方程，把上下两个顶点去掉.
【解答过程】解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，
所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．
因此，顶点C的轨迹方程为(y≠±2)．
故选：B.
【变式4-1】（2021·全国·高二课前预习）若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【解答过程】因动点满足关系式，
则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，
即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，
所以动点M的轨迹方程为.
故选：B.
【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【解答过程】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．
设其方程为，
，，，
则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据椭圆的定义进行求解即可.
【解答过程】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【方法点拨】
①关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出 SKIPIF 1 < 0 =2a，利用这个关系式便可求出结果，
因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及
勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把 SKIPIF 1 < 0 看成一个整体等.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由椭圆的定义结合余弦定理解得，通过三角形面积公式即可求得答案.
【解答过程】由， ，又，解得，
.
故选：A.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4B．8C．10D．20
【解题思路】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案.
【解答过程】解：设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】运用椭圆的定义进行求解即可.
【解答过程】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D.
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形B．为钝角三角形
C．为直角三角形D．，，三点构不成三角形
【解题思路】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.
【解答过程】由题意可知，，
由椭圆的定义可知，而，
联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.
故选：D.
【题型6 椭圆中的最值问题】
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3B．5C．D．13
【解题思路】由，结合图形即得.
【解答过程】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习），分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由椭圆方程得，连接，进而根据椭圆定义将问题转化为，再根据得，进而得，进而得答案.
【解答过程】解：由椭圆方程得，
如图，连接，由于，
所以，
所以，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
所以
所以
故选：A.
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【解答过程】如图所示：
由，得，
则，
则圆的圆心是为椭圆的左焦点，
则右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故选：C.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．；B．；C．； D．；
【解题思路】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.
【解答过程】解：由已知可得，得，
根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，
取得最小值时，即 最小，
根据三角形的两边之差小于第三边有，
当三点共线，且点P不在线段上时， ，
即，
如图所示：，
，
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．
∴的最大值和最小值分别为 ；.
故选：A.