高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课后练习题

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1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 SKIPIF 1 < 0 )的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比 SKIPIF 1 < 0 ，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，所以e越大， SKIPIF 1 < 0 越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e= SKIPIF 1 < 0 .
5．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 曲线方程与双曲线】
【方法点拨】
根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·四川南充·三模（理））设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021·山东·高三开学考试）命题：“”是命题：“曲线”表示双曲线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．或5
【题型2 利用双曲线的定义解题】
【方法点拨】
理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线
的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三
角形问题.
【例2】（2022·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【变式2-1】（2022·河南·一模（理））已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A．B．
C．（）D．（）
【变式2-2】（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【题型3 双曲线的标准方程的求解及应用】
【方法点拨】
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定 SKIPIF 1 < 0 的值).要特
别注意 SKIPIF 1 < 0 的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.
(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定 SKIPIF 1 < 0 的值，
然后求解，有必要时，要注意分焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型4 双曲线的渐近线方程】
【方法点拨】
根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定 SKIPIF 1 < 0 的值，然后利用
渐近线方程的公式求解.
【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022·海南高三阶段练习）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A．B．4C．D．2
【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【方法点拨】
求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：
①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；
②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.
【例5】（2022·浙江·高二期中）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【变式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A．3B．C．D．5
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型6 双曲线中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2021·全国·高三专题练习）已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．