2022~2023学年上海市青浦东方中学九年级上学期期中数学试题

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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果，是的比例中项，则下面结论正确的是（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例中项可得，从而得出．
【详解】解：∵是的比例中项，
∴，即．
故选C．
【点睛】本题考查比例中项得性质．如果a、b、c三个量成连比例，即，则b叫做a和c的比例中项．它的性质：．
2. 下列各命题中，真命题的是（ ）
A. 矩形都相似
B. 有两条边对应成比例的两个直角三角形相似
C. 一个角为的两个等腰三角形一定相似
D. 有一个锐角相等的两直角三角形相似
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用相似三角形以及矩形的相似判定方法分别判断得出答案．
【详解】、矩形都相似，错误，应为矩形的对应边不一定成比例；
、有两条边对应成比例的两个直角三角形相似，若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，故此选项错误；
、一个角为的两个等腰三角形一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
、有一个锐角相等的两直角三角形相似，正确．
故选．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
3. 已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB．
【详解】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，
即＝，＝，故选项A、B可判定DE∥AB；
＝，即＝，故选项C可判定DE∥AB；
而由＝不能判断DE∥AB，故D选项答案错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．
4. 已知线段a、b、c，作线段，使，则正确的作法是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质（平行线分线段成比例定理）一一分析即可得到答案．
【详解】解：A、根据平行线的性质得a：b=x：c，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得a：b=c：x，故此选项正确；
C、根据平行线的性质得x：b=a：c，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得a：b=x：c，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系，掌握平行线的性质（平行线分线段成比例定理）是解题的关键．
5. 已知在中，分别在边上，,则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只要证明△AED∽△ABC即可解决问题．
【详解】如图：
∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，故A、B错误，
∴，故D正确，
∴，故C错误，
故选：D．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形解决问题，学会用转化的首先思考问题．
6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．
【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．
8. 在比例尺是的交通游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据比例尺列方程计算即可．
【详解】解：．
设它的实际长度约为，
∵该交通游览图比例尺是，
∴，
解得：，
∴它的实际长度约为．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了比例线段，理解比例尺的定义是解题关键．
9. 如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3
∴这两个相似三角形的周长比是1：3，
故答案为：1：3．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
10. 如果与相似，的三边之比为，的最长边是，那么的最短边是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质可得出的三边之比也为．设的最短边是，则，解出x的值，即得出的最短边的长．
【详解】解：∵与相似，的三边之比为，
∴的三边之比也为．
设的最短边是，
∵的最长边是，
∴，
解得：，
∴的最短边是．
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的性质．掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．
11. 线段长是10，点是线段的黄金分割点，较长线段长是________
【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】解：∵线段长是10，点是线段的黄金分割点，线段较长，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割的概念．解题的关键是掌握把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是．
12. 如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，若，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由DE、EC的比例关系式，可求出EC、DC的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC、AB的比例关系，易证得∽，可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系．
【详解】解：，；
四边形ABCD是平行四边形，
，；
∽；
；
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．灵活利用相似三角形性质转化线段比是解题关键．
13. 已知中，，是边上的高，，，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意配图，找到图形中的与相似，即可得出与和的数量关系，据此求出结果．
【详解】解：如图所示，
，，
又
（两角对应相等的两个三角形相似），
，即，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形相似判定和性质的应用，配图并发现图形中相似的直角三角形是解题关键．
14. 已知在中，，点分别在边上，，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】由题意可得出．又易证，即可推出，再将代入，即可求出的值．
【详解】解：如图，

∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键．
15. 如图，，，，，则__．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算解答即可．
【详解】，
，，
即，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应线段成比例．
16. 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上，，垂足为．已知，则________．
【答案】4.8####
【解析】
【分析】设与相交于点M．设正方形的边长为x，则，．易证，得出，代入数据，解出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，设与相交于点M．

设正方形的边长为x，则，
∴．
∵，即，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知，可得，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案．
【详解】如图，连接AG并延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即，
∴，
∵由GH⊥BC，∠ACB=90°，
∴GH//BC，
∴，
∵AC=6，
∴GH=AC·=6×=2，
故答案为：2
【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．
18. 如图，已知在中，分别交边于点，且将分成面积相等的两部分．把沿直线翻折，点落在点的位置上，交于点交于点，那么________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，交于M，交于N，由题意可推出，，，从而得出，进而得出．又易证，即得出．
【详解】解：如图，连接，交于M，交于N，

∵把沿直线翻折，点A落在点F的位置上，
∴，．
∵，
∴，．
∵将分成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理．正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 已知：且，求的值
【答案】，，．
【解析】
【分析】设，则，，．结合题意可得出关于k的方程，解出k的值即可解答．
【详解】解：设，
∴，，．
∵，
∴，
解得：，
∴，，．
【点睛】本题考查了比例性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20. 如图，是平行四边形的对角线上一点，射线交于点，交的延长线于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得出，从而可证，，进而由相似三角形对应边成比例证明即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
21. 如图，已知梯形中，，的面积等于9，的面积等于4，，求的长和的面积．

【答案】，
【解析】
【分析】由题意易证，即得出，从而可求出；由和等高，可推出，从而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵和等高，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
22. 如图，已知在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD·AB=AE·AC，CD与BE相交于点O．
（1）求证：△AEB∽△ADC
（2）求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由AD•AB=AE•AC得比例式，利用公共角可证：△AEB∽△ADC；
（2）由（1）的结论得∠ABE=∠ACD，结合对顶角相等证明△BOD∽△COE，利用相似三角形的性质证明结论．
【详解】（1）∵AD•AB=AE•AC，
∴，
又∵∠EAB=∠DAC，
∴△AEB∽△ADC；
（2）∵△AEB∽△ADC；
∴∠DBO=∠ECO，
又∵∠DOB=∠EOC，
∴△BOD∽△COE，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是将已知的乘积式变形，结合公共角相等，对顶角相等的图形条件，证明三角形相似．
23. 如图，在中，，点在上

（1）已知：，求的长；
（2）取的中点，连接，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意易证，即得出，代入数据，可求出．再根据勾股定理求解即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得出．根据三角形中位线定理可得出，即得出，从而可证．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵
∴；
【小问2详解】
证明：∵E、F分别是、斜边上的中点，
∴．
又∵E、F分别为是的中点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：
（1）；
（2）FD⊥DG．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角对应相等证明△ADC和△EGC相似即可；
（2）先证四边形AFEG是矩形，证出AF＝EG，进而证出两边成比例且夹角相等，推出△AFD和△CGD相似，证出∠FDG＝90°，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
又∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC，
∴．
【小问2详解】
证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF＝EG．
由（1）知
∴，
∴，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG＋∠ADG＝90°，
∴∠ADF＋∠ADG＝90°，
即∠FDG＝90°，
∴FD⊥DG．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．
25. 已知在梯形中，，，且，，点是的中点．
（1）如图，为上的一点，且．求证：∽；
（2）如果点在边上移动（点与点、不重合），且满足，交直线于点，同时交直线于点，那么：
①当点在线段的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，求的长．
【答案】(1)见解析;(2)①;②1.
【解析】
【分析】（1）利用已知长度得到，又因为，所以
（2）①证明出，然后得到，代入x、y得到解析式即可
②需要分两种情况，当在线段的延长线上时，或者当在线段上时，证明，利用面积比得到相似比，代入二次函数，求解即可
【详解】证明：（1）∵在梯形中，，，∴；
，，，，∴，∴
（2）①∵
又，∴
∴，∴∴
∴
②当点在线段的延长线上时
∵，，∴
∵，∴
又，∴，，∴此方程无实数根，
故当点在线段的延长线上时，不存在点使
当点在线段上时，同理
∵，∴，又∴，∴，∴
∴，∴，解得，
由于不合题意，舍去，∴，即；所以当时，的长为1.
【点睛】本题利用数形结合考查等腰梯形性质、相似三角形的判定及性质、以及二次函数的综合运用，本题数形结合和分类讨论是解题关键