人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.11 空间角的向量求法大题专项训练（30道）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题1.11 空间角的向量求法大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022•松江区校级开学）在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD，BD＝2，O为BD中点，AO⊥平面BCD，AO＝2．（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）若点E、F分别为AC、BC的中点，求直线AD与平面DEF所成角的大小．2．（2022秋•南昌月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝4且AB⊥AD，△BCD沿着BD翻折，当三棱锥C﹣ABD体积最大值时．（1）求此时三棱锥C﹣ABD的体积；（2）求此时直线AD与平面ABC夹角的正弦值．3．（2022秋•五华区校级月考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，BF⊥CF，DE＝AD＝2．（1）求多面体ABCDEF体积的最大值；（2）当多面体ABCDEF体积取最大值时，求直线DF与平面EBC所成角．4．（2022秋•安徽月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，PD＝3FD，BE＝3EP．（1）求证：AE⊥FC；（2）求AE与平面ACF所成角的余弦值．5．（2021秋•吉阳区校级月考）在六面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，且PA＝2ED，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°．（1）求证：BD⊥平面PAC．（2）若PA＝AC，求直线BD与平面ACE所成的角是多少．6．（2021秋•盘龙区月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．（1）证明：直线PB∥平面ACE；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．7．（2021秋•云南期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB，PA⊥PD，求直线PA与平面PBC所成角的余弦值．8．（2022春•巫山县校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝4．A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．且BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角B1﹣A1B﹣C的余弦值．9．（2022春•响水县校级期中）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB＝CE．（1）求异面直线EO与AF所成角的余弦值；（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．10．（2022•南京模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．（1）证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；（2）求平面CPD与平面NPD所成角的正弦值．11．（2022秋•安徽月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．（1）求证：AB⊥B1C；（2）若∠B1BC＝60°，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．12．（2022秋•洛阳月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝4，AE是等边△PAD的中线．（1）证明：AE∥平面PBC．（2）若，求二面角E﹣AC﹣D的大小．13．（2022秋•南京月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的体积为，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是面积为的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，BC＝1，E为棱PA上一动点．（1）若直线EC与平面ABCD的夹角为60°，求二面角B﹣CE﹣D的正弦值；（2）求的取值范围．14．（2022•遵义开学）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥PD，PA＝PD，AD＝4，E为AB的中点，DE＝AE，侧面PAD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥平面PBD；（2）若PB与平面ABCD所成角的正切值为，求平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值．15．（2021秋•绥化月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝CC1＝4．若Q，R分别为棱BB1，BC上的点，且B1Q＝BR＝1，平面ABSP与棱CC1，DD1分别交于S，P，DP＝a（0≤a≤4）．（1）求证：B1R⊥D1Q；（2）求平面APSB与平面C1D1Q所成的锐二面角余弦值的取值范围．16．（2022•万州区校级开学）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BD，DD1的中点，M是A1B1上一点，且．（1）证明：BM∥平面EFA1；（2）求直线EC1与平面EFA1所成角的正弦值．17．（2022•贵阳开学）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面ACC1．（2）若AA1＝2AB，∠BAD＝60°，求二面角B﹣AF﹣E的余弦值．18．（2021秋•包头期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC，D为AC的中点，SD⊥AB．（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）若△BCD是边长为3的等边三角形，点P在棱SC上，PC＝2SP，且，求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．19．（2022•河南开学）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，PA＝PD＝2，AB＝AD＝2CD＝4，∠BAD＝60°．（1）若E为PB的中点，证明：CE∥平面PAD．（2）若二面角P﹣AD﹣B为150°，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．20．（2022•浙江开学）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，∠ADC，AD＝DCAP，△ABC为正三角形．（1）证明：PD⊥CD；（2）求BP与平面PCD所成角的正弦值．21．（2022•濮阳开学）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各棱长都为3，∠BAD＝60°，F为棱BB1上一点，且BF＝1．（Ⅰ）求证：平面AC1F⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求直线BD与平面AC1F所成角的正弦值．22．（2022春•京口区校级期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA，PB的中点．（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（2）求二面角P﹣NC﹣D的大小的余弦值．23．（2022秋•雨花台区校级月考）已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．（1）证明：BE⊥平面AECD；（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．24．（2022春•铜山区期中）如图所示，在四棱锥中P﹣ABCD，，，AP⊥BD，且．（1）求证：平面ADP⊥平面ABCD；（2）已知点E是线段BP上的动点（不与点P、B重合），若使二面角E﹣AD﹣P的大小为，试确定点E的位置．25．（2022•南京开学）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．（1）求证：A1F⊥平面B1DE；（2）若AB＝AC＝4，且三棱锥B1﹣A1C1F的体积为，求平面A1C1F与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值．26．（2022秋•迎泽区校级月考）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝2．（1）证明：MB⊥平面ABCD；（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．27．（2022春•广东月考）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠CBC1＝90°，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求异面直线AE与B1C所成的角的余弦值；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．28．（2022•海淀区校级开学）如图，矩形ABCD所在的平面与菱形ABEF所在的平面垂直，G为BE边中点，AE＝AF．（Ⅰ）求证：直线AG⊥平面BCE；（Ⅱ）若AF＝2，____，求二面角C﹣AG﹣F的余弦值．从①BCAB，②BC＝AG这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．29．（2022•静海区校级模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求点A到平面HBC的距离．30．（2022•肥城市模拟）如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足，如图2，将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置．（1）求证：平面A'BM⊥平面BCNM；（2）给出三个条件：①A'M⊥CN；②平面A'MN⊥平面BCNM；③四棱锥A'﹣BCNM的体积为，从中任选一个，求平面A'BC和平面A'CN的夹角的余弦值．