人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·全国·高三专题练习）点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上．【解题思路】联立直线与椭圆方程，联立直线的方程与直线的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．【解答过程】由题意得，，，设，联立，化简得(，所以，，直线的方程为，直线的方程为，联立，即，解得原式，故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．2．（2022·河北省高二阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.【解题思路】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.【解答过程】（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）依题意，点，设，因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且因为点是椭圆上一点，即，则，所以，即因为，所以，此时，故直线：恒过x轴上一定点．3．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10．(1)求C的方程；(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据当l垂直于y轴时， OAB的面积为10，由y=5与抛物线方程联立求解；（2）设l的方程为，与抛物线方程联立，根据P在以AB为直径的圆上，由求解.【解答过程】(1)解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10，联立，得．所以 OAB的面积为，解得，所以C的方程为．(2)由题知l的斜率存在，设l的方程为，，，假设存在点P（，），使得，联立，得，则，．又，所以，，又且，所以，所以，则，即，所以当时，无论k取何值等式都成立，将代入得，所以存在定点P（－2，1）符合题意．4．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．【解题思路】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解.【解答过程】设，，则，可得，，点和点P在双曲线上，则有，两式作差得，可得，即．5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．【解题思路】（1）由双曲线的对称性可取渐近线，则可求出交点的坐标，结合与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；（2）设，讨论当时求出点；当，设出点，由可知，化简利用恒成立，即可求出点的坐标.【解答过程】（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，由，得，因为，所以，即，又离心率为2，所以，故．所以双曲线的标准方程为．（2）由（1）知双曲线的右焦点为．设，则．①当时，．因为，所以，所以，所以，符合题意．②当时，设．，，因为，所以（结合正切倍角公式）．（i）当时，上式化简为，又，所以，对任意恒成立.所以，解得，即．（ii）当，时，即也能满足．综上，在轴的负半轴上存在定点，使得．6．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.【解题思路】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上.【解答过程】(1)设直线l的方程为，，.由得.所以，.由抛物线定义，得.当直线l的倾斜角为30°时，，.所以，即抛物线C的标准方程为.(2)由（1），得，.因为的垂心为原点O，所以，.因为，所以.所以直线AP的方程为，即.同理可得，直线BP的方程为.联立方程解得即.所以点P在定直线上.7．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.(1)求C的方程；(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.【解题思路】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出，写出双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为，所以.又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线C的标准方程为.（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.设，，则，.设，（），则得直线AM的方程为，直线BN的方程为，两个方程相减得，①因为，把上式代入①得：，所以，因此直线AM与BN的交点在直线上.8．（2022·甘肃·高二期末（文））已知抛物线上一点到焦点的距离．(1)求C的方程；(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【解题思路】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．（2）①直线斜率不存在时，满足题意，②直线斜率不存在时，设直线，联立直线与抛物线方程，设，，，，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，推出结果．【解答过程】(1)解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得所以抛物线的方程为．(2)证明：①直线斜率不存在时，可设，，， ，，又 ，， ，解得，，为垂足，，故存在定点，使得为定值，②直线斜率存在时，设直线，解得，设，，，，则，，因为，所以，得，所以，得，即，当时，过定点，不符合题意；当时，直线过点，所以点在以为直径的圆上，故当为的中点时，定值．9．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.【解题思路】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为，代入点坐标求解. （2）（i）当直线斜率存在时，设，与双曲线联立，根据且，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.【解答过程】（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为代入点坐标，解得所以双曲线的标准方程为（2）（i）当直线斜率存在时，设，设，联立与双曲线，化简得，，即，则有，又，因为，所以，所以，化简，得，即，所以，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，当时，直线的方程为，过定点（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，与双曲线方程联立解得，此时也过点，综上，直线过定点.由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.10．（2022·福建泉州·模拟预测）已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．(1)求的方程：(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．【解题思路】（1）设点，其中，则，由已知条件求出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值，由此可得出椭圆的方程；（2）分析可知，直线过轴上的定点，设点，求出点的坐标，写出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可证得结论成立.【解答过程】（1）解：设点，其中，则，因为椭圆过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，设点，则，所以，直线的垂线的斜率为，故直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，所以，直线的方程为，因为点在直线上，所以，，即，①又因为，所以，，②将②代入①可得，即，，则，所以，直线过定点.11．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.【解题思路】（1）根据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，（2）由面积相等可得长度的比例关系，由相似转化为长度关系，即可列式子求解.【解答过程】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为设点P的坐标为，由题意得，化简得故动点P的轨迹方程为；（2）若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，则因为，所以，所以即，解得，因为，所以，故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.12．（2022·上海市高二期末）已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点．(1)当直线垂直于轴时，求弦长；(2)当时，求直线的方程；(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．【解题思路】（1）将代入椭圆方程求解即可；（2）由（1）知当直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程，得出，设可得韦达定理，代入计算可得斜率；（3）分析当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，再以CD为直径的圆的方程，令，代入韦达定理化简可得定点【解答过程】(1)由题知，将代入椭圆方程得(2)由（1）知当直线的斜率不存在时，此时，不符合题意，舍去直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立得，设，则，由，解得直线的方程为．．(3)①当直线的斜率不存在时，直线AT的方程为，C点坐标为，直线BT的方程为，D点坐标为，以CD为直径的圆方程为，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，令，得即圆过点．②当直线的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为，C点坐标为，同理D点坐标为，以CD为直径的圆的方程为，令，得，由，得，解得，即圆过点．综上可得，以CD为直径的圆恒过定点．13．（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.【解题思路】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.【解答过程】（1）由已知设椭圆方程为：，代入，得，故椭圆方程为.（2）设直线，由得，，，又，故，由，得，故或，①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，此时，符合题意.所以的周长为定值.14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.【解题思路】（1）写出直线方程，取求得值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于，的方程组，求解，的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，横纵坐标的和与积，分别写出，的方程，求得与的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得与的面积之积为定值．【解答过程】（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，令，得，由题意可得，解得，．求椭圆的方程为；（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，，，，，联立，得． ，，由，得，，，直线的方程为，令，解得，则，，同理可得，， .15．（2022·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【解题思路】（1）根据可设，根据，利用斜率相等且在椭圆上列式可得椭圆基本量的关系，再根据求解基本量即可；（2）由题意设：，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，再表达出，结合韦达定理求解即可.【解答过程】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.又在椭圆上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程为.（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.联立可得，设，则.故 ，故定值为.16．（2022·山西高三阶段练习）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点 是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）由已知列出关于的方程组解之可得椭圆方程；（2）假设存在满足题意，设，，当直线斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，，代入化简可得常数，再验证直线斜率不存在时，也有此结论即得．【解答过程】（1）由已知知，解得， 所以椭圆方程为；（2）假设存在满足题意，设，，，①当直线与轴不垂直时，设：，代入并整理得∴，　　（*），（*）式是与无关的常数，则，解得，此时为定值；②当直线与垂直时，，，，也成立，所以存在定点，使得为定值．17．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.【解题思路】（1）由三角形重心的性质与椭圆的定义求解即可；（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线又直线与的方程，联立求出交点，即可求解【解答过程】(1)因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，所以,故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为；(2)设直线的方程为：，，联立方程得：，则，所以，又直线的方程为：，又直线的方程为：，联立方程得：，把代入上式得：，所以当点运动时，点恒在定直线上.18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上.(1)求双曲线的方程.(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）由离心率得出，再代入已知点坐标求得得双曲线方程；（2）设，直线的方程为，代入双曲线方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范围，由韦达定理得，设存在符合条件的定点，计算出并代入化为关于的分式，由它是常数可求得，得定点坐标．【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为，所以，化简得.将点的坐标代入，可得，解得，所以的方程为.（2）设，直线的方程为，联立方程组消去得（1- ，由题可知且，即且，所以.设存在符合条件的定点，则，所以.所以，化简得.因为为常数，所以，解得.此时该常数的值为，所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.19．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.(1)求双曲线的离心率；(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【解题思路】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.【解答过程】（1）由已知得：，将代入中，，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得：，因为，所以，方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2（2）因为，所以，解得：，故，，所以双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线联立得：，设，则，，因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，所以，解得：，直线，则，同理可求得：，则，，其中，所以，则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以为直径的圆的方程为：，整理得：，所以以为直径的圆过定点，，当直线的斜率不存在时，此时不妨设，此时直线，点P坐标为，同理可得：，.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，综上：以为直径的圆过定点，.20．（2022·安徽·模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．(1)求双曲线C的方程．(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．【解题思路】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可；（2）解法1：先求得圆在点处的切线方程为，再代入双曲线方程化简可得，再设，根据韦达定理代入求得证明即可；解法2：同解法1，联立直线与双曲线的方程得，再结合韦达定理计算可得证明即可.【解答过程】（1）由题意得：，故，故.又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为（2）解法1：因为点在圆上，所以圆在点处的切线方程为，化简得．则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，变形为，整理得等号两边同除以，得到．设，则，故，即以为直径的圆过坐标原点．解法2：因为点在圆上，所以圆在点处的切线方程为，化简得由及得，∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，设A、B两点的坐标分别为，则，则，，即以为直径的圆过坐标原点．21．（2022·福建·高三阶段练习）已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程.(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解题思路】（1）设，利用列方程，化简求得曲线的方程.（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得线段的垂直平分线的方程，进而求得点的坐标，结合弦长公式求得为定值.【解答过程】（1）设，则，，，.因为，所以，故的方程为.（2）由题可知直线的斜率一定存在，且不为0，不妨设直线的方程为，，.联立方程组，消去整理得，则，整理得.，，则线段的垂直平分线的方程为，令，得，则，. ，则.故是定值，该定值为.22．（2023·全国·高三专题练习）已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.(1)求的方程.(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【解题思路】（1）利用点到直线的距离求出，再根据通径求出，即可得解；（2）设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到，即可得到，从而得解；【解答过程】（1）解：根据对称性，不妨设到直线的距离为，则，令，则，解得，所以当轴时，，则.故的方程为.（2）解：设.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，由，得，则设，因为三点共线，所以，整理得.因为，所以，即直线AN的斜率为定值0. 当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.综上所述，直线AN的斜率为定值0.23．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【解题思路】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.【解答过程】（1）设直线的方程为，联立，得，又，，代入上式得，即，∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立得，∴，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，两边平方得，又，满足，∴，∴，∴，或，（舍去）综上，在定直线上，且定直线方程为．24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．(1)求实数的值；(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.【解答过程】（1）抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，联立方程得：，整理得：，恒成立．其中，，，，因为焦点弦长，所以当时，弦长．所以，实数的值为．（2）由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．联立方程得：，整理得：，．其中，，，，因为以为直径的圆经过点，所以．又因为，∵，∴．所以直线过定点，又因为，所以为直角三角形，所以当为斜边中点时，为定值，此时．所以定点为，为定值1．25．（2022·全国·高三专题练习）已知圆过点，且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程；(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答.（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，探求出直线所过定点，再推理计算作答.【解答过程】(1)设圆心，依题意，，化简整理得：，所以圆心的轨迹的方程是：.(2)依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，，则，，由抛物线对称性知，点在轨迹C上，直线的斜率为，直线的方程为：，化简整理得：，由消去x并整理得：，则有，直线的方程化为：，因此直线恒过定点，因于点Q，于是得是直角三角形，且点是斜边的中点，则恒有，令点为E，从而有，所以存在定点，使得为定值，点E坐标为.26．（2022·江西·高二期末（文））已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标．【解答过程】(1)设动圆的圆心，依题意：化简得：，即为动圆的圆心的轨迹的方程．(2)假设存在点，满足条件，使①，显然直线斜率不为0，所以由直线过点，可设，由得．设，，，，则，．由①式得，，即．消去，，得，即，， ，存在点使得．27．（2023·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.【解题思路】（1）由题意得，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到轴，结合以及求得即可求解.【解答过程】(1)由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，则，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，由条件设切线方程为，由消去y整理得，∵直线与抛物线相切，∴，∴，∴切点C的横坐标为，∴点C的坐标为，∴轴，∵，∴，∴，∴，∵m为常数，∴的面积为定值.28．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．【解题思路】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.【解答过程】（1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得，，设点，，则，，矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.所以线MN与直线CD交点在定直线上.29．（2022·宁夏·三模（理））在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．(1)求的轨迹的方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果；（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论.【解答过程】(1)由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，则动点到点的距离与到直线的距离相等，故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为 ，则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；(2)由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，由 ，消去y得： ， ，设 ，则，故 ，同理可求得，所以直线AB的斜率，故直线AB的方程为：，故直线AB过定点 ，设该点为,又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，由于 , ,故以EF为直径的圆的方程为，故存在定点，使得线段的长度为定值2.30．（2022·河北保定·二模）已知抛物线.(1)直线与交于、两点，为坐标原点.从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.①证明：.②若，求的值；(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.【解题思路】（1）选①，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用两点间的距离公式以及抛物线的焦点弦长公式、韦达定理可证明等式成立；选②，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出、，利用平面向量数量积的坐标运算可出关于的等式，即可求得的值；（2）分析可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合已知条件可得出、所满足的关系式，可求得直线所过定点的坐标，再由，结合直角三角形的性质可知当为线段的中点时，为定值，即可得出结论.【解答过程】(1)解：选①：设点、，联立可得，（*）当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，，，则，，所以.因为经过抛物线的焦点，所以，故.选②：设点、，联立可得，（*）当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，，，则，，.因为，所以，解得.(2)解：若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立得，，由韦达定理可得，.因为，所以，所以，即.所以直线的方程为，则直线过定点.因为，所以当点为的中点时，为定值，故存在定点，使得为定值.