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    人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.17 圆锥曲线的方程全章综合测试卷(基础篇)(2份打包,原卷版+教师版)

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    这是一份人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.17 圆锥曲线的方程全章综合测试卷(基础篇)(2份打包,原卷版+教师版),文件包含人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题317圆锥曲线的方程全章综合测试卷基础篇教师版doc、人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题317圆锥曲线的方程全章综合测试卷基础篇原卷版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。
    第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1.(5分)(2022·重庆·高二期末)实数m变化时,方程表示的曲线不可以是(    )A.直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线【解题思路】根据的取值分类讨论说明.【解答过程】时方程化为,为直线,时,方程化为,为椭圆,时,方程化为,为双曲线,而,因此曲线不可能是圆.故选:B.2.(5分)(2022·全国·高二课时练习)若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是(    )A. B. C. D.【解题思路】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可.【解答过程】因为表示焦点在x轴上的椭圆,所以,解得.故选:D.3.(5分)(2022·陕西·研究室一模(文))若双曲线的一个焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为(    )A. B. C.2 D.【解题思路】写出双曲线的焦点,渐近线后,列方程求出,然后根据离心率定义计算.【解答过程】依题意得,双曲线的一条渐近线为,一个焦点为,根据点到直线的距离公式:,于是,离心率.故选:C.4.(5分)(2022·安徽省高三阶段练习)椭圆:的左、右焦点分别为,,经过点的直线与椭圆相交于A,两点,若的周长为16,则椭圆的离心率为(    )A. B. C. D.【解题思路】根据椭圆的定义及的周长求出,再根据离心率的计算公式即可得解.【解答过程】解:由题可知,即,所以椭圆的离心率.故选:A.5.(5分)(2022·安徽蚌埠·三模(文))已知双曲线:,点是的左焦点,若点为右支上的动点,设点到的一条渐近线的距离为,则的最小值为(    )A.6 B.7 C.8 D.9【解题思路】根据双曲线的定义,结合点到直线的距离最短,求解即可.【解答过程】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,则,连接与双曲线的另一个焦点,如下所示:由双曲线的定义可知, ,又双曲线方程为,故,又点坐标为,双曲线的渐近线为,故点到渐近线的距离为,故.故选:B.6.(5分)(2022·黑龙江·三模(理))已知抛物线的焦点为,准线为,过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点(在第一象限),,垂足为,直线交轴于点,若,则抛物线的方程是(    )A. B.C. D.【解题思路】如图所示,过点作,垂足为. 先证明是等边三角形,再求出,求出的值即得解.【解答过程】解:如图所示,过点作,垂足为.由题得,所以.因为,所以是等边三角形.因为是的中点,所以, 所以,所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选:C.7.(5分)(2022·全国·高三专题练习(文))如图,椭圆的焦点在x轴上,长轴长为,离心率为,左、右焦点分别为,,若椭圆上第一象限的一个点A满足:直线与直线的交点为B,直线与x轴的交点为C,且射线为∠ABC的角平分线,则的面积为(    )A. B.C. D.【解题思路】先求出椭圆方程,结合射线为∠ABC的角平分线求出,进而写出的直线,联立椭圆解出A点坐标,即可求出面积.【解答过程】设椭圆的方程为,则,,,故椭圆的方程为;又射线为的角平分线,在和中由正弦定理得,又射线为∠ABC的角平分线,可得,则在直角中,故,所以直线:,点为直线与椭圆的交点,联立方程解得(舍负),故.故选:A.8.(5分)(2022·上海市高三开学考试)设抛物线的焦点为F,准线为,为C上一动点,,则下列结论错误的是(    )A.当时,的值为6B.当时,抛物线C在点P处的切线方程为C.的最小值为3D.的最大值为【解题思路】由焦半径求出的值判断A,利用导数的几何意义可得切线方程判断B,利用抛物线定义结合图象可判断CD.【解答过程】当时,,故,故A正确;当时,,由可得,所以,所以抛物线C在点P处的切线方程为,整理得:,故B错误;如图,过点P作PB⊥准线于点B,则由抛物线定义可知:,则,当A、P、B三点共线时,和最小,最小值为1+2=3,故C正确;由题意得:,连接AF并延长,交抛物线于点P,此点即为取最大值的点,此时,其他位置的点,由三角形两边之差小于第三边得:,故的最大值为,故D正确.故选:B.二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)9.(5分)(2022·全国·高二专题练习)曲线C的方程为,则下列说法正确的是(    )A.存在实数使得曲线C的轨迹为圆B.存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆C.存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线D.无论(且)取何值,曲线C的焦距为定值【解题思路】对于A,由可判断;对于B,当时,表示椭圆;对于C,当时,表示双曲线;对于D,当时,椭圆的,当时,双曲线的,由此可判断.【解答过程】解:对于A,因为,所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆,故A不正确;对于B,当且时,即时,表示椭圆,所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆,故B正确;对于C,当,即时,表示双曲线,故C正确;对于D,当时,表示椭圆,此时椭圆的,所以曲线C的焦距为定值;当时,表示双曲线,此时双曲线的,所以曲线C的焦距为定值;故D正确,故选:BCD.10.(5分)(2022·河北邯郸·高三开学考试)已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为为上一点,则(    )A.双曲线的实轴长为2B.双曲线的一条渐近线方程为C.D.双曲线的焦距为4【解题思路】根据双曲线的定义与方程,结合双曲线的性质运算求解.【解答过程】由双曲线方程知:,离心率为,解得,故,实半轴长为1,实轴长为,A正确;因为可求得双曲线渐近线方程为,故一条渐近线方程为,B正确;由于可能在的不同分支上,则有,C错误;焦距为正确.故选:ABD.11.(5分)(2022·全国·高三专题练习)椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,若方程所表示的直线恒过定点M,点Q在以点M为圆心,C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的是(    )A.椭圆C的离心率为 B.的最大值为4C.的面积可能为2 D.的最小值为【解题思路】A:根据椭圆方程可直接求得,,,和离心率;B:由椭圆的定义可得,结合不等式代入运算;C:点P位于椭圆的上、下顶点时,的面积取得最大,计算判断;D:利用椭圆定义和圆的性质转化处理.【解答过程】对于选项A,由椭圆C的方程知,,,所以离心率,故选项A正确;对于选项B,由椭圆的定义可得,所以,即的最大值为4,故选项B正确;对于选项C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,的面积取得最大值,故选项C错误;对于选项D,易知,则圆,所以,故选项D正确,故选:ABD.12.(5分)(2022·湖南永州·一模)抛物线,点在其准线上,过焦点的直线与抛物线交于两点(点在第一象限),则下列说法正确的是(    )A.B.有可能是钝角C.当直线的斜率为时,与面积之比为3D.当直线与抛物线只有一个公共点时,【解题思路】对于A,利用抛物线的准线方程即可求解;对于B,对直线的斜率存在和不存在时进行分类讨论,得到,计算即可判断;对于C,可得到,通过计算出即可判断;对于D,设直线的方程为,与抛物线进行联立可得,通过题意可得到,可计算出的坐标即可判断.【解答过程】解:对于A,由抛物线可得准线方程为,又点在其准线上,所以,解得,故A正确;对于B,由A选项可得,且焦点,当直线的斜率存在时,设直线,,则整理得,所以,,因为所以,所以,因为,所以为锐角;当直线的斜率不存在时,直线,所以将代入抛物线可得,则,则,所以,此时为直角,故B错误;对于C,,,所以,所以当时,,,解得,所以,故C正确;对于D,易得直线的斜率存在,设直线的方程为,所以由得到①,因为直线与抛物线只有一个公共点,所以,解得,又因为点在第一象限,所以,则,①可变成,解得,故由B选项可得此时,所以,故D正确;故选:ACD.三.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2022·全国·高二课时练习)中心在原点,长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 .【解题思路】由长短轴长得,由焦点所在轴得标准方程.【解答过程】由已知,,即,又焦点在x轴上,椭圆标准方程为.故答案为:.14.(5分)(2022·全国·高三专题练习)点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率 .【解题思路】根据双曲线的对称性不妨取双曲线的一条渐近线方程,根据点到直线的距离求得b,进而求得离心率.【解答过程】由题意,根据双曲线的对称性不妨取双曲线的一条渐近线方程为,故,即,解得,又,故,故答案为:.15.(5分)(2022·浙江·高二期末)抛物线的焦点为,准线为是抛物线上过焦点的一条直线,且倾斜角为.求线段的值是 16 .【解题思路】首先求出抛物线的焦点坐标,即可求出直线的方程,联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,再根据焦半径公式计算可得;【解答过程】解:抛物线的焦点坐标为,因为直线过点,且倾斜角为,所以直线的方程为,设、,由,消去整理得,所以,所以;故答案为:.16.(5分)(2022·吉林·高二期末)已知左、右焦点分别为,的双曲线:的焦距为6,点P是双曲线右支上一点,的内切圆圆心的横坐标为2,直线与交于M,N两点,当最小时,的面积为 .【解题思路】设的内切圆与,,分别相切于点D,E,F,则由已知条件结合切线长定理和双曲线的定义可得,再结合焦距为6,可求出,从而可求得双曲线的方程,然后将直线方程与双曲线的方程联立,消去,再利用根与系数的关系结合弦长公式可求出的最小值,从而可求出点的坐标,进而可求出的面积【解答过程】假设的内切圆与,,分别相切于点D,E,F,则,,,点E的横坐标为2,由双曲线定义,得,所以,因为,所以,,.由和,得①.设,,则,,所以 .当时,取最小值,此时,,.①式为,所以M点坐标为或,所以的面积.故答案为:.四.解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)(2022·新疆·高二期末(文))已知曲线C的方程为,根据下列条件,求实数m的取值范围:(1)曲线C是椭圆;(2)曲线C是双曲线.【解题思路】(1)根据椭圆的标准方程可得,即求;(2)利用双曲线的标准方程可得,即求.【解答过程】(1)∵曲线C的方程为,∴,又曲线C是椭圆,∴,解得且,∴实数m的取值范围为;(2)∵曲线C是双曲线,∴,解得或,故实数m的取值范围为.18.(12分)(2021·甘肃·高二开学考试(文))求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1),经过点;(2)焦点轴上,且过点,.【解题思路】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解;(2)可设双曲线方程为,代入两个点的坐标即可求解.【解答过程】(1)当双曲线焦点在x轴上时,设双曲线方程为,将代入,得.又点在双曲线上,有,由此得,不合题意,舍去.当双曲线焦点在y轴上时,设双曲线方程为0),∵a=4,故,把点坐标代入,得,解得.故所求双曲线方程为.(2)设双曲线方程为,将已知点坐标代入,得,解得.∴所求方程为.19.(12分)(2022·新疆·高二期末(理))已知双曲线的渐近线方程为,且过点.(1)求双曲线的方程;(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点,求弦长.【解题思路】(1)根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得,由此可得双曲线方程;(2)由双曲线方程可得焦点坐标,由此可得方程,与双曲线方程联立后,利用弦长公式可求得结果.【解答过程】(1)由双曲线方程知:渐近线斜率,又渐近线方程为,;双曲线过点,;由得:,双曲线的方程为:;(2)由(1)得:双曲线的焦点坐标为;若直线过双曲线的左焦点,则,由得:;设,,则,;由双曲线对称性可知:当过双曲线右焦点时,;综上所述:.20.(12分)(2022·全国·高二课时练习)某城市在主干道统一安装了一种新型节能路灯,该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的平面直角坐标系中,支架是抛物线的一部分,灯柱经过该抛物线的焦点且与路面垂直,其中为抛物线的顶点,表示道路路面,,A为锥形灯罩的顶,灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时,要求锥形灯罩的顶到灯柱所在直线的距离是,灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线.(1)求灯罩轴线所在的直线方程;(2)若路宽为,求灯柱的高.【解题思路】(1)由题意确定A点坐标,则可求出抛物线在点A处的切线方程,利用直线的垂直关系,即可求得灯罩轴线所在的直线方程;(2)利用灯罩轴线所在的直线方程,可求得,再利用抛物线方程求得,即可求得灯柱的高.【解答过程】(1)由题意知,,,把代入,得,故.设抛物线在点A处的切线方程为,与抛物线方程联立并消去,得,则,解得 ,故灯罩轴线所在直线的斜率为,其方程为,即.(2)由,因为灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线.故灯罩的轴线与道路路面的交点到y轴的距离为 ,则对于,当时,,从而.而,将代入,得,所以,所以,所以灯柱的高为.21.(12分)(2022·四川成都·高三阶段练习(理))已知椭圆的离心率为,短轴长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点的直线交椭圆C于A,B两点,求的取值范围.【解题思路】(1)根据离心率及短轴长及求出,,求出椭圆方程;(2)先考虑直线AB的斜率不存在时的值,再考虑直线AB的斜率存在时,设出直线方程,与椭圆方程联立后得到两根之和,两根之积,从而求出,从而求出的取值范围.【解答过程】(1),,∴,又,即,解得:,,椭圆的标准方程为;(2)当直线AB的斜率不存在时,,不妨设,则当直线AB的斜率存在时,设,由 ,恒成立,故,∴,综上:,故的取值范围为.22.(12分)(2022·陕西高三开学考试(理))已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,,.(1)求抛物线C的标准方程;(2)设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线,分别交C于A,B两点(异于Q点).证明:直线恒过定点.【解题思路】(1)由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程,由及抛物线的性质可得的横坐标,再由.可得的纵坐标,将的坐标代入抛物线的方程可得的值,进而求出抛物线的方程;(2)由题意可得直线的斜率不为0,设直线的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出数量积的表达式,由数量积为0可得参数的关系,代入直线的方程可得直线恒过定点.【解答过程】(1)解:由,可得,代入.解得或(舍),所以抛物线的方程为:.(2)解:由题意可得,直线的斜率不为0,设直线的方程为,设,由,得,从而,则.所以,,∵,∴,故,整理得.即,从而或,即或.若,则,过定点,与Q点重合,不符合;若,则,过定点.综上,直线过异于Q点的定点.

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