八年级上学期期末数学试题 (115)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (115)，共20页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 因式分解等内容，欢迎下载使用。

2.答案一律写在答题卷上，否则无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．
【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：
故选：B．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂乘法，平方差公式，积的乘方，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．
5. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵与关于直线AD对称，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算．
6. 如图所示，在中，，，于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC的长度．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵于D，是的角平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=BP=AE=PE=1，
∵，
∴CE=BE=1+1=2，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分．）
7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题考查关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8. 分式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于零．
【详解】分式有意义，则，所以．
故答案为．
【点睛】考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
9. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
10. 如图所示，已知P是上的一点，，请再添加一个条件：___________，使得．
【答案】或或
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可.
【详解】若添加∠BAP=∠CAP，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
若添加∠APB=∠APC，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
若添加∠DPB=∠DPC，可得∠APB=∠APC，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
故答案为：∠BAP=∠CAP或∠APB=∠APC或∠DPB=∠DPC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键.
11. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接交与点，连结，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长．
【详解】解：连接交与点，连结．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
．
．
当点位于点处时，有最小值，最小值．
周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．能结合垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一得出的最短值即为是解题关键．
12. 在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别为，，．如果要使与全等，那么符合条件的点D的坐标是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】要使与全等，可知两个三角形的公共边为，运用对称即可求出所需的点的个数．
【详解】如下图所示，有三种情况满足与全等，
，
∴点D的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，写出直角坐标系中的点坐标，熟练掌握关于对称作图中点的坐标特征并能灵活运用是本题解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式混合运算法则进行计算即可；
（2）先提公因式，然后再用完全平方公式，分解因式即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算和分解因式，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，完全平方公式，准确计算．
14. 解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程并验根即可．
【详解】解：方程两边都乘以，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】此题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．
15. 先化简，再求值：，其中x＝．
【答案】，-1．
【解析】
【分析】先计算括号内，再将除法化为乘法，分别因式分解后约分，将x＝代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
当x＝时，
原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值．属于常考题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
16. 如图，点、、、在直线上，，且．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据图形，结合平行线性质，再由三角形全等的判定定理即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形全等，熟练掌握三角形全等判定定理是解决问题的关键．
17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上．
（1）尺规作图：作∠DAC的角平分线AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠C＝28°，则∠CAE的度数为 ．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）按作角平分线的基本步骤作图即可，见解析；
（2）根据等腰三角形的性质及外角的性质可得，再根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）作图如下：
（2），
为等腰三角形，
，
，
，
为的角平分线，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握相关性质利用等量代换的思想进行求解．
四、（本大题共3题，每题8分，共24分）
18. 如图，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画，使它与关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到点A，点B的距离之和最短；
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边的距离相等．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，在网格上分别找到点A、点B、点C的对称点点、点、点，连接、、即可；
（2）连接交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（3）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可．
【小问1详解】
解：如图， 为所作；
【小问2详解】
解：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称，
∴
∴，
如下图，连接
∴当点P在直线l和的交点处时，为最小值，
∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值，即点P到点A、点B的距离之和最短；
小问3详解】
解：如图所示，连接，
根据题意的：
∴点Q在直线l和的交点处时，点Q到边的距离相等．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
19. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）证明：△BCE≌△CAD；
（2）若AD=15cm，BE=8cm，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）7cm．
【解析】
【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据同角的余角相等得出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△CAD≌△BCE；
（2）根据全等三角形对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE﹣CD，即可得出结论．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△CAD和△BCE中，
∵，
∴△CAD≌△BCE；
（2）∵△CAD≌△BCE，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE=15﹣8=7(cm)．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解答本题的关键是得出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．
20. 新冠疫情期间，某校九年级提前开学，根据政府疫情防控要求，七、八年级的同学相继返校，学校后勤部老师又购买了一批一次性医用口罩，但物资清单不慎被墨汁覆盖，老师只记得KN95口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同．
（1）两种类型口罩的单价各是多少元？
（2）后来一位爱心人士捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，后勤部老师最多可以购买多少个KN95口罩？
【答案】（1）口罩的单价为15元，一次性口罩的单价为3元；（2）后勤部老师最多可以购买350个口罩．
【解析】
【分析】（1）设口罩的单价为元，从而可得一次性口罩的单价为元，再根据总费用和两次购买的数量相同建立方程，解方程即可得；
（2）设购买个口罩，从而可得购买一次性口罩的个数为个，再根据“总费用为6000元”建立不等式，结合为整数，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设口罩的单价为元，则一次性口罩的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：口罩的单价为15元，一次性口罩的单价为3元；
（2）设购买个口罩，则购买一次性口罩的个数为个，
由题意得：，
解得，
答：后勤部老师最多可以购买350个口罩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
五、（本大题共2题，每题9分，共18分．）
21. 第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得： am＋an＋bm＋bn＝a(m＋n)＋b(m＋n)．这时，由于a(m＋n)＋b(m＋n)中又有公因式(m＋n)，于是可提出(m＋n)，从而得到(m＋n)(a＋b)，因此有： am＋an＋bn＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab－ac＋bc－b2＝(ab－ac)＋(bc－b2)＝a(b－c)－b(b－c)＝ ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：x2y－4y－2x2＋8．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）（b-c）（a-b）；（2）（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）提取b-c即可；
（2）先分组，用提公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出a=b=c，则可得出答案．
【详解】解：（1）a（b-c）-b（b-c）
=（b-c）（a-b）．
故答案为：（b-c）（a-b）；
（2）x2y-4y-2x2+8
=（x2y-4y）-（2x2-8）
=y（x2-4）-2（x2-4）
=（y-2）（x2-4）
=（y-2）（x+2）（x-2）；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵a2+2b2+c2=2b（a+c），
∴a2+2b2+c2-2ba-2bc=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查分组因式分解，等边三角形的定义．能理解题意，掌握分组分解法是解题关键．
22. 如图1，已知△ABC为正三角形，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC=AD．
（1）若∠CAD=30°，则∠BDC的度数为 ；
（2）若∠CAD的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC的度数是否随之改变？请说明理由；
（3）E是DC延长线上一点，且EB=ED，连接AE，如图2，试探究EA，EB，EC之间的关系．
【答案】（1）30°；（2）不会改变，理由见解析；（3）AE= BE+CE
【解析】
【分析】（1）由△ABC为正三角形，可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，由∠CAD=30°，可求∠BAD =90°，由AC=AD，可求∠ACD=∠ADC=，∠ABD=∠ADB=，由∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°即可；
（2）不会改变．理由如下：设∠CAD=2α°．由AC=AD，可得∠ADC=∠ACD=90°-α°．由△ABC为正三角形，可得∠CAB=60°，AC=AB=BC， AB=AD，可求∠ADB=∠ABD=90°-（30°+α°），∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°；
（3）在AE上取点F，使EF=EB，可证△BEF为正三角形，可求∠ABF=∠CBE，可证△ABF≌△CBE（SAS），可得AF=CE即可．
【详解】解：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，
∵∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=，
∴∠ABD=∠ADB=，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°-45°=30°，
故答案为：30°；
（2）不会改变．理由如下：
设∠CAD=2α°．
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠CAD=60°，AC=AB=BC，∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=90°-（30°+α°），
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°；
（3）在AE上取点F，使EF=EB，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠BED=120°．
∵AB=AD，EB=ED，
∴AE垂直平分BD，
∴∠BED=60°，
∴△BEF为正三角形，
∴BE=BF，
∴∠EBF=∠CBA=60°，
∴∠ABC-∠CBF=∠FBE-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，
∴AE=AF+EF=BE+CE．
【点睛】
本题考查等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，掌握等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，关键是引辅助线构造三角形全等．
六、（本大题12分）
23. 【探究发现】
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．
【类比应用】
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．
【答案】（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；
（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；
（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．
【详解】（1）
如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠BDF＝∠ADE，
∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，
∴△BDF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE，
∴AB＝AF+BF＝AF+AE；
故答案：AB＝AF+AE；
（2）
AE+AF＝AB．理由是：
如图2，取AB中点G，连接DG，
∵点G是斜边中点，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，
又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，
∴∠GDF＝∠ADE，
∵DG＝AG，∠BAD＝60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，
∴△GDF≌△ADE（ASA），
∴GF＝AE，
∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，
∴AE+AF＝AB；
（3）
当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，
当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，
AE＝4，此时F在BA的延长线上，
同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），
∴AF＝HE，
∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，
∴，
当点E在AC延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：AF的长为或．
疫情物资清单
口罩类型
单价（元/个）
总费用（元）
数量（个）
KN95
口
15000
口
一次性
口
3000
口