高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀课时训练

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1．等差数列的概念
(1)等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
(2)对等差数列概念的理解
①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
②由概念可知，如果 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒等于一个常数，那么数列{ SKIPIF 1 < 0 }就是等差数列.
③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，
那么这个数列不是等差数列.
④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数
列不是等差数列.
⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
(1)等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +(n-1)d，其中 SKIPIF 1 < 0 为首项，d为公差.
(2)等差数列通项公式的变形
已知等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }中的任意两项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (n,m SKIPIF 1 < 0 ,m≠n)，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =(n-m)d SKIPIF 1 < 0
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +(n-1)d，可得 SKIPIF 1 < 0 =dn+( SKIPIF 1 < 0 -d)，当d=0时， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 为常数列，当d≠0时， SKIPIF 1 < 0 =
SKIPIF 1 < 0 +(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的图象是直线y=dx+( SKIPIF 1 < 0 -d)上一群均匀分布的孤立的点.
5．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d0的等差数列{}的四个结论：p1：数列{}是递增数列；p2：数列{n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4
【题型5 等差数列的判定与证明】
【方法点拨】
判断一个数列是等差数列的方法：(1)定义法： SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =d(常数)(n SKIPIF 1 < 0 ){ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列.
(2)递推法(等差中项法)： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 (n SKIPIF 1 < 0 ){ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列.
(3)通项公式法： SKIPIF 1 < 0 =pn+q(p,q为常数,n SKIPIF 1 < 0 ){ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列.
【例5】（2022·江苏·高二阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，.
(1)求，；
(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列满足，，且．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）若数列的各项均为正数，对任意n∈N*，，为常数，且．
(1)求的值；
(2)求证：数列为等差数列．
【题型6 利用等差数列的性质解题】
【方法点拨】
对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】（2022·江苏·高二期中）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．8B．12C．15D．24
【变式6-1】（2022·福建莆田·高二期中）公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2022·浙江宁波·一模）已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式6-3】（2022·广东肇庆·高三阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50