人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列精品当堂达标检测题

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1．等比数列的概念
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 =ab，即G= SKIPIF 1 < 0 .
3．等比数列的通项公式
若等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为q，则这个等比数列的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,q≠0).
4．等比数列的通项公式与指数函数的关系
等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 可以改写为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，当q>0且q≠1时，等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }的图象是
指数型函数y= SKIPIF 1 < 0 的图象上一些孤立的点.
5．等比数列的单调性
已知等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为q，则
(1)当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递增数列；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶
数项异号).
6．等比数列的性质
设{ SKIPIF 1 < 0 }为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)若m,n,p(m,n,p SKIPIF 1 < 0 )成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
(3)数列{ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 }( SKIPIF 1 < 0 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{ SKIPIF 1 < 0 }是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
数列{ SKIPIF 1 < 0 }是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
若数列{ SKIPIF 1 < 0 }是公比为q'的等比数列，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{ SKIPIF 1 < 0 }中，每隔k(k SKIPIF 1 < 0 )项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为
SKIPIF 1 < 0 .
(5)在数列{ SKIPIF 1 < 0 }中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )的等比数列.
(6)若数列{ SKIPIF 1 < 0 }是各项都为正数的等比数列，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }(c>0且c≠1)是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
【题型1 等比数列的基本量的求解】
【方法点拨】
根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【变式1-1】（2022·陕西·高二阶段练习）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．B．C．D．4
【变式1-2】（2022·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列中，，，则（ ）
A．2B．±2C．2或D．
【变式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2B．3C．D．
【题型2 等比中项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.
【例2】（2022·黑龙江·高二期中）在等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32B．C．D．
【变式2-2】（2022·广东·高二期中）若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．5
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【题型3 等比数列的通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正项等比数列满足，，则其通项公式（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列 ​中，​，则​（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知在等比数列中，，前三项和，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．或
【变式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比数列中，，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．或D．或
【题型4 等比数列的单调性】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小；作商比较法，即作商比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小，
从而判断出数列{ SKIPIF 1 < 0 }的单调性.
【例4】（2022·陕西·高二期中（理））数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4-1】（2022·辽宁·高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（ ）
A．，B．，
C．D．
【变式4-2】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是( )
A．，B．，
C．，D．，
【题型5 等比数列的判定与证明】
【方法点拨】
只有定义法、递推法(等比中项法) 可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题
中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意 SKIPIF 1 < 0 ≠0.
【例5】（2022·湖南省高二期中）在数列中，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.
【变式5-2】（2022·福建省高三阶段练习）已知数列满足，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列中的最小项.
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【题型6 等比数列性质的应用】
【方法点拨】
对于等比数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等比数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】（2021·广西·高二阶段练习）在等比数列中，已知，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【变式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
【变式6-3】（2020·北京高二期中）等比数列{an}中，a1•a2•a3＝﹣26，a17•a18•a19＝﹣254，则a9•a10•a11的值为（ ）
A．﹣210B．±210C．﹣230D．±230