2024年新高中数学考试大题训练——解三角形的实际应用（答案版）

这是一份2024年新高中数学考试大题训练——解三角形的实际应用（答案版），共31页。试卷主要包含了如图，在四边形中，，，，，.等内容，欢迎下载使用。
(1)求角A的大小；
(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，的面积.
(1)求边c；
(2)若为锐角三角形，求a的取值范围.
3．（2023·海南·海南中学校考三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
4．（2023春·北京·高三汇文中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，.
（1）求；
（2）求的长.
5．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)记 与 的面积分别记为和，求的最大值．
6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．
8．（2023春·江苏连云港·高一校考期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的最大值.
9．（2023·山西·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值．
10．（2023春·辽宁大连·高一大连二十四中校考阶段练习）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
11．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若
(1)求的面积;
(2)若，求的长.
12．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)若，D为边的中点，，求a；
(2)若，求面积的最大值．
13．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是.已知.
(1)若，求；
(2)求的取值范围.
14．（2023春·河南周口·高一统考期中）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．
15．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，．
(1)若 ， 求的面积;
(2)求周长的取值范围．
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．
(1)求的大小；
(2)若点在直线同侧，，求的取值范围．
17．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
(1)求C；
(2)若角C的平分线交AB于点D，且，求的最小值.
18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，在平面四边形中，，．
(1)若平分，证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值．
19．（2023秋·湖南邵阳·高二校考阶段练习）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
20．（2023春·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理结合两角和得正弦公式即可求出结果；
(2)利用余弦定理求出，再利用平面向量关系化简即可求出结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：,
即，
,
因为，所以，
所以，
因为,所以.
（2）由（1）得，
则，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以,
两边平方可得：,
则，
所以，
中线AD长的最大值为.
2．(1)1
(2)
【分析】（1）根据，结合三角形内角和定理求得，由三角形面积公式结合，求得答案；
（2）由正弦定理表示，由三角形为锐角三角形确定，即可求得答案.
【详解】（1）因为，，所以；
因为，所以 .
（2）在 中，由正弦定理，
由（1）知，，代入上式得：，
因为为锐角三角形，则,所以，
所以，
所以.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案；
（2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围．
【详解】（1）因为，
所以．
由余弦定理得．
因为，
所以．
（2）由及正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，
所以
当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，则，
所以，
因为的面积为，
所以面积的取值范围是．
4．（1）；（2）.
【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值；
（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.
【详解】（1）因为，，则、均为锐角，
所以，，，
，
，则，因此，；
（2）在中，由正弦定理可得，
可得，
在中，由余弦定理可得，
因此，.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
5．(1)
(2)
【分析】（1）先求出BD，再运用余弦定理求出 ，再利用两角和公式求解；
（2）先运用余弦定理求出 与 的关系，再根据三角形面积公式求解.
【详解】（1）∵，∴，
，，
，，
∴
；
（2）设，，∴，
∴，∴，①


，
当且仅当，时取最大值 ；
综上， ， 的最大值是 .
6．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理与重要不等式可得△ABC面积最大时a、c的值，在△ABD中应用正弦定理可解得AD的值.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
即．
∵，，
∴，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当a＝c＝2时，，
又∵△ABC面积为，
∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时，．
又∵为的角平分线，∴
∴在△ABD中，，
∴在△ABD中，由正弦定理得．
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算；
（2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围.
【详解】（1）∵，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得，
注意到，且，则，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分线交于点，则，
∵，则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为.
8．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；
（2）结合角平分线性质求，利用余弦定理结合基本不等式求的最大值，再利用三角形面积公式求
【详解】（1）由正弦定理及，
得
因为，所以，
所以，
所以
所以，
所以.
因为，所以，
所以，故.
（2）因为为角的平分线，为角的平分线，
所以，
所以，
又，
所以.
由余弦定理知，
所以，
故，
即，
当且仅当时，等号成立.
所以，
即面积的最大值为.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.
【详解】（1）解：由已知可得
，
即，
，则，解得，因此，.
（2）解：由正弦定理可得，
所以，
，
其中为锐角，且，
因为，则，，
所以，当时，即当时，取得最大值.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，转化为角的三角函数，再由的取值范围，求出的范围.
【详解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理解出的长，再利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）利用两次正弦定理得到，，两式相比得，再结合同角平方和关系即可解出，再代回正弦定理式即可得到答案.
【详解】（1）在中，，
即，解得(负根舍)，
所以.
（2）因为，平分，所以，
又，所以，
在中，由正弦定理，得，①
在中，由正弦定理，得，②
①②，得，所以，
又，且，所以，
将代入②，得，所以.
12．(1)
(2)
【分析】（1）在和中，利用余弦定理结合，可得的关系式，在中，利用余弦定理可得的关系式，即可得解；
（2）根据，，结合正弦定理化角为边，即可求得角，再利用余弦定理即可基本不等式即可得解.
【详解】（1）在中，，
在中，，
因为，所以，
即，化简得，
在中，由，得，
所以，解得或（舍去），
所以，所以；
（2）因为，，
所以，所以，
又，所以，
则，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，
即面积的最大值．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简可得，则，进而求解；
（2）由（1），根据平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化简可得，结合即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，又，
得，
，
，
所以或，
得或(舍去)，
若，则；
（2），
由正弦定理，得，
由（1）知，得，
又，
所以，
即，
而，所以，得，
故，即.
14．(1)为定值，定值为1
(2)14
【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得
，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．
【详解】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
15．(1)任选一条件，面积皆为
(2)
【分析】（1）三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到，再由余弦定理求得，即可计算的面积.
（2）， 由正弦定理边化角再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围.
【详解】（1）若选条件①， 由 及正弦定理， 得
即 ， 化简得，
因为， 所以， 所以，因为 ， 所以．
若选条件②， 由 及正弦定理， 得， 即， 化简得,
因为 ， 所以， 所以，因为 ， 所以．
若选条件③， 由 化简得，， 由余弦定理得， 即，因为 ， 所以，
所以三个条件，都能得到.
由余弦定理得 ， 即， 解得，
所以 的面积.
（2）因为 ， 由正弦定理得，
因为 ，
所以 ，
因为 ， 所以，
所以 ， 即， 所以周 长的取值范围为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）设，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.
（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）设，则，
因，，，
则，而，，
则有，即，又，，因此，，
所以.
（2）由（1）知，，连AC，有，则，
而，中，由正弦定理有，
，，，
又，令，则，，
因此，
因，则，有，
即，，
所以的取值范围为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）利用等面积法求出的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
又，则，
所以，
又因，所以；
（2）因为角C的平分线交AB于点D，
所以，
由，得，
即，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用可构造方程求得，利用余弦定理可求得，由此可得结论；
（2）在中，利用余弦定理可构造方程求得，利用三角形面积公式化简为，结合二次函数性质可得最大值.
【详解】（1）平分，，则，
由余弦定理得：，
即，解得：；
，
，
，又，，
（2），
，整理可得：；
，
，当时，取得最大值，最大值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
20．(1)两船相距海里.
(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.
（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知
在中，
由余弦定理得
所以
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）
所在
又
在中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则
在中，由正弦定理得：
则
所以，
在中，由正弦定理得：
则，故 （舍）
故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.