2024年新高中数学考试大题训练——三角函数的图形与性质（答案版）

这是一份2024年新高中数学考试大题训练——三角函数的图形与性质（答案版），共29页。试卷主要包含了已知函数，设函数，已知函数.，设函数.，已知函数的部分图象如图所示.，设函数，其中.已知.等内容，欢迎下载使用。

(1)求图像的一条对称轴；
(2)若，求．
2．（2023春·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
3．（2023·北京·统考高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
5．（2018·北京·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
7．（2019·浙江·高考真题）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
8．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考开学考试）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
9．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
10．（2017·山东·高考真题）设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
11．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间［0，］上的最值.
12．（2023春·广西钦州·高一统考期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的表达式；
(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．
13．（2023春·辽宁·高一校联考期中）如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮，是圆弧上一点（不包括，），点，分别半径，上．
(1)若四边形为矩形，求其面积最大值；
(2)若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，当时，求证：为单调递减函数；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
15．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数,
(1)求函数的最值；
(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的面积．
16．（2023春·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数，且．
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间．
17．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有个零点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）求的值.
18．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量，其中，若函数的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，若，求的值.
19．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
20．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴及函数值确定的表达式，再结合最小正周期确定的可能取值，即可得解.
【详解】（1）因为函数在区间单调，
所以函数的最小正周期，
又因为，
所以直线即为图象的一条对称轴；
（2）由（1）知，故，由，得或3．
由为的一条对称轴，所以．
因为，所以或，
若，则，即，
不存在整数，使得或3；
若，则，即，
不存在整数，使得或3．当时，．
此时，由，得．
2．(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2)
【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【详解】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
3．(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
4．(1)， ，
(2)
【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
【详解】（1）
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
（2），，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
5．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
【详解】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
7．（1）；（2）.
【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．(1)
(2)，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.
【详解】（1）由图示得：，解得：，
又，所以，所以，
所以.
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
且，
,
所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.
因为有三个不同的实数根，
且关于对称，关于对称，
则，
两式相加得：，
即，所以.
9．（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；
（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
11．(1)（kZ）
(2)最大值为1，最小值为-.
【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
【详解】（1）=.
因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递增区间为（kZ）.
（2）因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为1，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象可得，得，由图象和公式求得，由求得，即可求解；
（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域.
【详解】（1）根据函数图象可得，，
，，
，得，，
又，，，
，，得，，
又，，
；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，
再向下平移一个单位得到，
再向左平移个单位得到，
，
当时，，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，即值域为
13．(1)8；
(2).
【分析】(1)连接OP，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答.
(2)利用(1)中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.
【详解】（1）连接OP，如图，令，

因四边形为矩形，则，
于是得矩形的面积，而，
则当，即时，取最大值1，即有，
所以矩形面积最大值为8.
（2）由(1)知，，则，，
和的面积和：
，
令，即，而，则，
，
则，显然在上单调递减，
当，即时，，而，因此，，
所以和的面积和的取值范围是：.
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）若，当时，对求导，令，解不等式即可求出答案.
（2）在上恒成立转化为，
令，求在的最小值即可.
【详解】（1）若，则，
，
因为，，
，，
，在为单调递减函数；
（2），即，
令，，
则，
令，
，，，单调递减，
，，单调递增，
而，，
故在恒成立，
故在恒成立，
所以在为减函数，
所以，故，
所以实数a的取值范围是．
15．(1)最大值为2，最小值为
(2)或
【分析】(1)把化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；
(2)先求出角，由余弦定理得到关于的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含的方程，联立方程组即可解出的值，再代入三角形的面积公式即可.
【详解】（1）因为
，
所以的最大值为2，最小值为．
（2）结合(1)可知，所以．
因为，所以，
则．
由余弦定理得，
化简得①．
又，由正弦定理可得，即②．
结合①②得或．
时，；时，．
综上，的面积为或．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，解得，
所以
，
即，所以的最小正周期；
（2）由，，
解得，，
所以的单调递增区间为，，
当时的单调递增区间为，
当时的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为，.
17．(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；
（2）（i）令，将问题转化为与在上恰有个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得的取值范围；
（ii）由（i）中图像可确定，，由此可得，整理可得，由两角和差正弦公式可求得的值，即为所求结果.
【详解】（1）；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）（i）由（1）得：，
当时，，
设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；
作出在上的图像如下图所示，
由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，
实数的取值范围为；
（ii）设与的个不同的交点分别为，
则，，，
即，
整理可得：，，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
的最小正周期为.
故，
令，解得，
故函数的单调增区间为
（2）设中角所对的边分别是.
，即，解得.
，
，
.
19．（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
20．（1）最小正周期为，单调减区间是，；（2），此时，，此时.
【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；
（2）先求出的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.
【详解】解：（1）的最小正周期.
令，解得，，此时时，单调递减，
的单调递减区间是，；
（2），则，
故，，
，此时，即，即；
，此时，即，即.
【点睛】方法点睛：
解决三角函数的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.