2024年新高中数学考试大题训练——三角形面积公式（答案版）

这是一份2024年新高中数学考试大题训练——三角形面积公式（答案版），共31页。试卷主要包含了设，函数，如图，在中，D是边上的一点，，，在中，，点，分别在，边上，如图，在中，，，点在边上，.，在平面四边形中，等内容，欢迎下载使用。
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
2．（2023·全国·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
3．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在中，D是边上的一点，，．
(1)证明：；
(2)若D为靠近B的三等分点，，，，为钝角，求．
4．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点，分别在，边上．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．
5．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求面积的最大值．
6．（2023·北京·高三专题练习）如图，在中，，，点在边上，.
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长.
7．（2023春·广东佛山·高一南海中学校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
8．（2023春·高一单元测试）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角A的大小；
(2)记的面积为S，若，求的最小值．
9．（2023·重庆·统考模拟预测）在平面四边形中，．
(1)求的面积；
(2)若，求的值；
10．（2023春·辽宁本溪·高一校考期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
11．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角的对边分别为，且______．
(1)求角的大小；
(2)边上的中线，求的面积的最大值．
12．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
13．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在△ABC中，．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
14．（2023春·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在中，角所对的边分别为，且
(1)求角B；
(2)若的面积为，BC边上的高，求，的值．
15．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期末）记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，且
(1)证明：；
(2)若，求.
16．（2023·全国·高一专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.
(1)求的大小；
(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，.
17．（2020秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
18．（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）在中，角的对边分别，.
(1)求；
(2)若的周长为4，面积为，求.
19．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且，，求△的面积.
20．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若D为BC上一点，且，，求的面积.
参考答案：
1．(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；
（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：设，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
（2）解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
设，则，
因此，
当且仅当时取到等号，
因此的最大值为.
3．(1)证明见解析.
(2).
【分析】（1）在和中分别用正弦定理表示出，相比即可证明结论；
（2）利用（1）的结论可求得，继而由余弦定理求得的长，即可得长，从而求得的长，即可求得答案.
【详解】（1）证明：在中，，
在中，,
由于,故，
所以.
（2）因为，故，由为钝角，故为锐角，
又，且D为靠近B的三等分点，，，
故，
故,
故，则,
故.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为1，再利用面积公式即可求解；
（2）由四边形存在外接圆，知四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，进而利用基本不等式求解.
【详解】（1）由已知，
在中，利用余弦定理知，
结合基本不等式有，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，
所以面积的最大值为
（2）四边形存在外接圆，
又，，，
，所以四边形为等腰梯形，
连接，设，，
在中，由正弦定理得，，
，
同理，在中，由正弦定理得，，
所以
，，
，
当且仅当，即
，，当且仅当时，等号成立，
即，即
5．(1)
(2)
【分析】（1）通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.
（2）将中线转化为向量的模长，从而求出的最大值，即可求出面积的最大值.
【详解】（1）依题意有
，又，
，又，
解得，，
；
（2）因为
所以，
当且仅当时成立，
故面积的最大值为.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形中邻补角互补，，由平方关系得，再结合正弦定理即可求得的长；
（2）由得面积可得，再结合余弦定理即可求得的长.
【详解】（1）因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
7．(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解；
（2）利用，分别在△和△运用余弦定理可得
，再在△运用余弦定理得，两式联立即可求得，最后直接用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
（2）由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上两式消去得, 解得或（舍去），
则.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；
（2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为，即
由正弦定理可得，，化简可得，
且由余弦定理可得，，所以，
且，所以.
（2）
因为，则可得，
所以
且，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
所以
9．(1)；
(2)8.
【分析】（1）在中，由余弦定理求得得，再根据三角形的面积公式可求得答案；
（2）在中，由正弦定理求得，再由正弦和角公式求得，在中，根据正弦定理求得，由此可求得答案.
【详解】（1）解：在中，，所以，
解得（舍去），
所以；
（2）解：在中，，所以，即，解得，
又，所以，所以，
又，所以，
所以
，
在中，，即，
所以，
所以.
10．(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
【详解】（1）解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
为，
所以．
解法二：因为，
由余弦定理得：，
整理得，
即，
又由余弦定理得
所以，
因为，
所以．
（2）解法一：因为M为的中点，
所以，
所以，
即，
即，
而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为．
即的面积的最大值为．
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得．③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，
而，
所以，即，当且仅当时等号成立．
所以的面积为．
即的面积的最大值为．
11．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式和正弦定理化简，由余弦定理求出角的大小；
（2）利用平面向量的模长以及余弦定理，结合基本不等式，可得的面积的最大值．
【详解】（1）若选①在中，因为，
故由可得
由正弦定理得，即．
则，又，故．
选②，，∴，∴，∴．
选③由及正弦定理．．
又，所以．
即，因为，，所以．
又，得．
综上所述：选择①②③，都有．
（2）．
又（当且仅当时取等）
的面积的最大值为
12．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.
13．(1)
(2)正确条件为①③，（i），（ii）
【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；
（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．
【详解】（1）由题设，
而，
所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
14．(1)
(2)，
【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解；
（2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，所以
所以，即
由余弦定理可得，
因为，所以
（2）由（1）知，，因为BC边上的高，所以，
在中，由正弦定理可得，
即.
因为的面积为，
所以，解得.
在中,由余弦定理,得
，则.
所以的值为，的值为.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中由锐角三角函数，得，代入条件，由正弦定理角化边得，即证；
（2）由三角形等面积法，得，代入可得；将条件和同时代入余弦定理，化简后利用辅助角公式得到，即可求解.
【详解】（1）在中，因为，所以，
又因为，所以，即
在中，根据正弦定理，得，故.
（2）在中，，
又由（1）知，，所以，
在中，根据余弦定理，得，
又由已知，，得，
所以，则，即，
因为，则，所以或，
所以或，
又点在边上，且，，
所以必有一个大于等于，所以.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由余弦定理得， ，可得
根据可得答案；
（2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得 ，与盾，故不能选①.
选②，为的垂心得，由 ，
，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案.
选③，为的内心，所以，
由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案；
【详解】（1）在中，由余弦定理得，又因为，，
所以，整理得.
在中，由余弦定理得，所以，
即又因为，所以.
（2）选①，
设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①.
选②，
因为为的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因为，所以，即
，
又因为在中，，
所以，因此，
故，为方程两根，即，
因为，，所以，所以为等边三角形，
所以.
选③，
因为为的内心，所以，
由，
得，
因为，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，
又因为，所以，所以.
17．(1)B
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合三角恒等变换得，进而得答案；
（2）结合题意得，再根据正弦定理得，进而根据面积公式与三角恒等变换得，再求范围即可.
【详解】（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
又∵，
∴，即：
∵，
∴，即
（2）解：为锐角三角形，所以，解得，
∵，由正弦定理得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的面积的取值范围为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用、和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；
（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式得到关于的方程组进行求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以,
所以
又，故，
所以，即；
（2）解：由余弦定理，得，
即，又，
所以，
即
整理得，
由面积为，即，
所以，.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得，再应用二倍角正弦公式化简可得，即可求A的大小.
（2）由题设可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；法二：根据三角形面积公式有，由△的边BD与△的边DC上的高相等及已知条件可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，又，
∴，又，
∴，则，而，
∴，则，故，得.
（2）由，，则.
法一：在△中，，①
在△中，，②
∵，
∴，③
由①②③得：，又，得，
∴，不妨设，，
在△中，由余弦定理可得，，得，
所以.
法二：.
∵△的边BD与△的边DC上的高相等，
∴，由此得：，即，不妨设，，
在△中，由余弦定理可得，，得，
所以.
20．(1).
(2).
【分析】（1）利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A;
（2）先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积.
【详解】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得：，即.
因为,所以，即.
因为,所以.
（2）在中，因为，，所以.
由余弦定理得：，即，解得：（舍去）.
因为.
所以，即.
因为，所以，解得：，
所以的面积 .
即的面积为.