2024年新高中数学考试大题训练——余弦定理（答案版）

这是一份2024年新高中数学考试大题训练——余弦定理（答案版），共29页。试卷主要包含了已知分别为的内角的对边，且.，如图，在平面四边形中，，，，如图，在平面四边形中，，，.，在中，，点D在边上，.等内容，欢迎下载使用。
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
2．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为的内角的对边，且.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．
6．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求．
7．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，，求的面积.
8．（2023春·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期中）如图，在平面四边形中，，，.
(1)当，时，求的面积；
(2)当，时，求.
9．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为，求的值．
10．（2023春·江苏南通·高一校考阶段练习）在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
12．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考期中）记的内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)求的值：
(2)求的最大值．
13．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，D为边BC上一点，，，．
(1)求；
(2)若，求内切圆的半径．
14．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
16．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
17．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D为边BC上一点，，，，.
(1)求的大小；
(2)求的面积.
19．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
20．（2023·全国·高一专题练习）在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，．
(1)求证：△为等腰三角形；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△的面积为；
条件②：△的周长为20．
参考答案：
1．(1)1
(2)1
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
2．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案.
（2）将代入正弦定理可得，要使角有两解，即，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）若选①：整理得，因为，
所以，因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理得，
所以，所以，因为，所以；
若选③：由正弦定理整理得，所以，
即，因为，所以；
（2）将代入正弦定理，得，所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，
即，又，所以，解得.
3．(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；
（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得
【详解】（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
4．(1)
(2)6
【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和与差的正弦函数得到，再利用辅助角公式求解.
（2）由的面积为，结合，得到，再利用余弦定理求解.
【详解】（1）解：因为，
所以由正弦定理得.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，即.
所以，
即
又，
所以.
（2）因为的面积为，所以.
由，所以.
由余弦定理得，
又，所以.
解得.
故的周长为.
5．(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.
选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.
选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.
（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）若选择①，∵．∴，
∵，∴，
即，
∵∴；
若选择②，∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵∴；
若选择③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又∵．∴，
∴，∵，∴；
（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，
即 ①，
又∵在中，，
即.即，即 ②，
在中，用余弦定理可得，
即 ③，③+①可得，
将②式代入上式可得，．
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求出，利用诱导公式求出，结合三角形的面积公式计算即可求解；
（2）设，根据正弦定理和诱导公式可得、，解得，同角的三角函数关系求出即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得．
，
所以．
（2）设，则，，
在中，由正弦定理可得，
即，所以，．
于是，解得或（舍）．
所以，因此．
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换及正弦定理化简已知条件，即可得到答案；
（2）利用余弦定理求出，再代入三角形的面积公式，即可得到答案；
【详解】（1）由，得，即，
所以，
由正弦定理得，
因为，所以.
因为，所以.
（2）在中，因为，，，由余弦定理，得，
即，解得或（舍去）.
所以，
即的面积为.
8．(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.
（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.
【详解】（1）当时，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
因为，则，又，
所以的面积是.
（2）在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，而，为锐角，
所以.
9．(1)
(2)2
【分析】(1)利用正弦定理和两角和的余弦公式求解；
(2)利用面积公式和余弦定理求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
∵
∵，

∵ ∴.
（2）∵ ∴,
又∵ ∴,
所以．
10．(1)或
(2)
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；
（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出，从而求得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
所以，解得或，
经检验均符合要求；
（2）在中，过D作的平行线交于E，
因为点D是边的中点，所以点E为AC的中点，
在中，，
又，所以.
由余弦定理得：，
所以，所以或（舍去），
故.
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识证得.
（2）转化为只含的三角函数的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数求得的取值范围
【详解】（1）依题意，由余弦定理得，
，由正弦定理得，
，，
，由于，所以，则
由于，所以，则，
所以或（舍去），
所以.
（2）由于，所以为锐角，即，
而，即.
，
令，，
，
所以在区间上，递增；
在区间上递减.
，
所以，
所以的取值范围是.
12．(1)
(2)
【分析】（1）通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；
（2）由余弦定理表示出，借助条件消去边，利用基本不等式求出的范围，进而求出的最大值．
【详解】（1）由余弦定理可得，
代入，得到，化简得，
即.由正弦定理可得，
即，展开得，
即，所以．
（2）由得，
故，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以，所以的最大值为.
13．(1)
(2)2
【分析】（1）设，在利用余弦定理结合已知条件即可求解；
（2）结合（1）的结论得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积相等即可求解.
【详解】（1）设，
∴，，
在中，由正弦定理可得，
在中，，又，
所以，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，又易知为锐角，
∴，∴，，
∵，∴，∴中，，
又，
在中，由余弦定理可得，
∴．
设的内切圆半径为r，则，
则.
14．(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，，故，因为，所以；
选②：因为，由正弦定理，
即，由余弦定理，
因为，所以；
选③：因为，
正弦定理及三角形内角和定理可得，
即，
因为、，则，所以，，，
所以，所以，即.
（2）解：由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
15．(1)条件选择见解析，；
(2).
【分析】（1）选①，利用余弦定理求解作答；选②，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选③，利用二倍角的余弦公式计算作答.
（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，则，又，
所以.
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，即，
因为，因此，即，又，
所以.
选择条件③，，
在中，因为，即，
则，又，即有，则，
所以.
（2）由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周长为
，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角；
（2）由面积公式解出的值，再由余弦定理解得的值.
【详解】（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，
∴，
由，sinB>0，∴，，又，∴.
（2）由（1）知，∴，，
，得，
由余弦定理：，
∴，解得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B的大小，
（2）由（1）可得，由正弦定理可得，然后由为锐角三角形求出角的范围，再利用正切函数的性质可求得结果
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，化简得，
所以由余弦定理得
，
因为，
所以
（2）因为，所以,
由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，得，
所以，
所以，所以，，
所以，
即的取值范围为
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；
（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.
【详解】（1）在中，，
又，所以 ；
（2）在中，，
则 ，
因为，所以，
在中，，则 ，
，
在中，因为，所以，
则 ，
故.
19．(1)
(2)，周长为．
【分析】（1）利用外接圆的半径为，将化为，再根据正弦定理及两角和的正弦公式化为，然后根据角为三角形的内角可求出结果；
（2）设D为边上的中点，利用余弦定理和可求出，利用余弦定理，求出，利用三角形的面积公式可求出三角形的面积.由及可求出，从而可求出三角形的周长.
【详解】（1）由外接圆半径为得，
由，得，
利用正弦定理得：，即，
化简得，
由C为的内角，得，可得，
又B为的内角，所以．
（2）由正弦定理得：，
设D为边上的中点，则，
在中，，
在中，，
因为，所以，可得，
由余弦定理，即，，
由三角形面积公式得：，
由，得，得，所以周长为．
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理，结合，求得，通过判断，即可证明；
（2）选择①，根据结合面积公式，求得；再根据等面积法即可求得；
选择②，根据三角形周长结合等量关系，求得，再根据等面积即可求得.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得：，又，设，
则，解得（舍）或，
故△为等腰三角形，即证.
（2）选①：△的面积为，
由，可得，又，故，
则，又，故可得，又，则，
因为AC边上的高为h，故，故可得；
选②：△的周长为20，
则，即，结合可得，
由，可得，又，故，
则，即，解得.
综上所述，选择①②作为条件，均有.