人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列的前项和为，已知，．(1)求；(2)若为与的等比中项，求．【解题思路】（1）由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式；（2）首先由题意得，，代入通项公式后，求.【解答过程】（1）设等差数列公差为，，解得，，所以，，.（2）由题意：，，即，化简得：，解之得或（舍），故.2．（2022·广东·高二期中）已知等差数列满足，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解；（2）根据错位相减法求和即可.【解答过程】（1）等差数列的首项，公差设为，由，，成等比数列，则，即，即，解得，所以.（2）由题意，，设数列的前项和为，则，，两式相减得即，化简得.3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列的前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解题思路】（1）设的公差为，则由已知条件列方程组可求出，从而可求出通项公式；（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.【解答过程】（1）设的公差为．由，得，化简得，解得．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以    ①则    ②由①－②得：，所以数列的前n项和．4．（2022·四川·高三期中）已知等差数列​和等比数列​满足​，​，​.(1)求​的通项公式；(2)求和：​.【解题思路】（1）设等差数列的公差为，利用，求出，再由等差数列的通项公式计算可得答案；（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，利用求出、，可得是公比为，首项为的等比数列，再由等比数列的前项和公式计算可得答案.【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由，，可得：，解得，所以的通项公式；（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，由（1）可得，等比数列满足，，由于，可得（舍去），（等比数列奇数项符号相同），所以，则是公比为，首项为的等比数列，.5．（2022·广东·高二期中）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，．(1)求数列、的通项公式；(2)设、的前项和分别为，，求，．【解题思路】（1）根据求出的通项公式，利用等比数列的性质得到，故可看作方程的两根，根据函数单调性求出，从而得到公比，求出的通项公式；（2）利用等差数列和等比数列的公式求出答案.【解答过程】（1）当时，，当时，，又，满足上式故的通项公式为，设等比数列的公比为，因为，，所以可看作方程的两根，解得：或，因为等比数列单调递增，所以舍去，故，解得：，故的通项公式为；（2）因为，所以，故为等差数列，由等差数列求和公式得：，由等比数列求和公式得：.6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列满足，.(1)求的通项公式和前项和；(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据题意可求得、的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式；（2）设等比数列的公比为，求出、的值，利用等比数列的的求和公式可求得的表达式.【解答过程】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，，解得，则.所以，.（2）解：设等比数列的公比为，则，，所以，.7．（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列.(1)证明：数列为等比数列；(2)已知：求数列前和为.【解题思路】（1）由条件可知，即，从而得出数列为等比数列；（2），利用错位相减法即可求解.【解答过程】（1）证明：由条件可知，即，，且，是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，，则，，，两式相减可得，，即，化简得.8．（2022·福建·高二阶段练习）已知等差数列中，，．(1)求的值；(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列．【解题思路】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论；（2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论．【解答过程】（1），，，，；（2）由（1）可知，，，∴数列是等差数列，首项是1，公差是2.9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列，满足，且．(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；(2)若数列为等差数列，，求的前n项和．【解题思路】(1)由已知条件求出等比数列的公比和通项，得到数列为等比数列，可求出通项公式；(2)由等差数列的通项利用累乘法求得数列的通项，再用裂项相消求的前n项和．【解答过程】（1）数列为等比数列，公比为q，且， ， 或， 由 ， 或 ，由，所以 ，又 ，即数列是以1为首项， 为公比的等比数列故 或.（2）依题意得等差数列公差，则，由，所以 ，从而， .10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.(1)求与的通项公式；(2)求的前n项和，并求满足的最小正整数n.【解题思路】（1）根据已知条件求得的公差，的公比，从而求得与的通项公式；（2）利用裂项求和法求得，然后将代入求解不等式即可得到.【解答过程】（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，设的公差为，的公比为（），由已知得，即，消去，可得，解得或（舍去）.所以，，则.所以，，.（2）由（1）知，，所以 .由知，，即，解得，，或.又，，.所以，最小正整数为2023.11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解题思路】(1) 设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组求解即可；(2)根据题意可得，利用裂项相消和分组求和运算求解.【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由题意可得：，即，整理得，解得，所以，∵，所以.（2）∵，∴，故.12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列满足且是的等差中项，数列满足．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．【解题思路】（1）根据条件，列方程求出 和 ，运用累加法求出 ；（2）令 ，对 分类讨论即可.【解答过程】（1）设数列的公比为q，由条件得 ，即 ，解得或 （舍），，累加得：，，又符合该式，所以 ；（2）令，则，又，则当时，，当时，，又当时，，当时，，时，，时， ，.13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．【解题思路】（1）根据是与的等比中项，利用基本量法可得，进而得到，再根据，可得或；（2）由（1），化简可得，再根据错位相减可得.【解答过程】（1）第一步：求数列的通项公式因为是公差为的等差数列，，是与的等比中项，所以，（等比数列的性质）解得或（舍去），（注意）所以数列的通项公式为．第二步：求数列的通项公式所以，又，所以，所以数列的通项公式为或．（2）第一步：求数列的通项公式由（1）得，或，由，得，第二步：利用错位相减法求和于是，，则，（运用错位相减法求和时最后一项注意变号）即，整理得，所以数列的前n项和．14．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，证明：.【解题思路】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论.【解答过程】（1）设数列的公比为q，由，，成等差数列可得，故，解得，由可得，解得，故，即数列的通项公式为.（2）由（1）可得，故.当时，取得最大值，当时，， 故.15．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．(1)求；(2)求数列的前30项和．【解题思路】（1）由等差数列的公式列方程组即可求解；（2）分类讨论即可求解.【解答过程】（1）由题意可得：，解得或（舍）故.（2）由（1）可知：，设数列的前项和为，易知当时，，，所以，当时，，，，所以.16．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．(1)求数列与的通项公式(2)求数列的前n项和．【解题思路】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式（2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前n项和【解答过程】（1）解：设的公差为，则，所以解得，所以；由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴．所以．所以．（2）由题得．所以则两式相减得所以．17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．(1)求数列，的通项公式(2)设，求数列的前项和．【解题思路】（1）根据等比数列的定义，直接写出，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得与公差，即可求得；（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，直接求解即可.【解答过程】（1）因为数列满足，，，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，即数列的通项公式为，设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所以数列的前项和 ，即．18．（2022·广西·模拟预测（文））数列满足，（为正常数），且，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解题思路】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式； （2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.【解答过程】（1）数列满足,，可得成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为,且偶数项成等比数列,公比为,且，，,可得,,解得,则,化为；（2）当为偶数时,数列的前项和 当为奇数时,，当时也适合上式.综上: .19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【解题思路】（1）根据，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和..【解答过程】（1）由，取可得，又，所以，则.当时，由条件可得，两式相减可得，，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，故，（2），，.相减得，所以，所以所以.20．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.(1)求数列、的通项公式；(2)若，，求数列的前项和.【解题思路】对于（1），设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得通项公式.设的前项和为，则，据此可得通项公式；对于（2），由（1）可得，注意到，据此可得.【解答过程】（1）设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得，两式相除得 ，又，得.将代入，得，故，.设的前项和为，则，得，.又则，结合，得，.综上：通项公式为，，通项公式为，.（2）由（1）可得，，.则，.注意到，则，.故，.21．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列满足，，等比数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)令，求证：，其中．【解题思路】（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式（2）通过（1）求出的，的通项公式，表达数列，然后利用公式法和放缩法，分类讨论n为奇数或偶数时前n项的和，进而证明不等式.【解答过程】（1）由题意，,在等差数列中，设解得：∴等比数列中，设，，解得：∴（2）由题意及（1）得，，，，在中，设，当n为奇数时，，在中，∵∴∴在中，，，解得：，∴，∴，当n为偶数时，，同理可得，，综上，.22．（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解题思路】（1）根据等比数列性质得到，解得答案.（2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可.【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，因为成等比数列，所以，解得或（舍去）.故.（2）由（1）可得，故.23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．(1)求{an}的通项公式；(2)设，求数列{bn}的前n项和．【解题思路】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的的通项公式代入，得到，说明数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式求解．【解答过程】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为，由，，得，即，解得（舍或． ；（2），，，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列的前项和．24．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解题思路】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；（2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.【解答过程】（1）证明：因为，，所以.因为，所以，又，则有 ，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知 ，则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.所以当为偶数，且时， ；当为奇数，且时，为偶数， .时，，满足.所以，当为奇数，且时，有.综上，.25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.条件①：；条件②：；条件③：.(1)求数列的通项公式；(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.【解题思路】（1）若选①②，则，解出，则可求得；若选②③，则解出，则可求得；若选①③，则，解出，则可求得；（2）由（1）得，，从而可求出公比和，则可得，然后利用分组求和法可求得.【解答过程】（1）选①②，由已知，，得，解得，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.选②③，由已知，，得，解得，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.选①③，由已知，，得，解得，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，，∴，，∴等比数列的公比，故，∴等比数列的通项公式为，∴数列的前项和.26．（2022·上海高二期中）已知数列中，，(1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；(2)设数列满足：，求的前n项和.【解题思路】（1）对已知等式变形可得，从而可证得数列为等差数列，进而可求出其通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得结果.【解答过程】（1）∵，，∴，∴，又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列.∴，∴；（2）∵，∴，，∴ ，∴.27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.【解题思路】（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可.【解答过程】（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，所以，即，因为，所以或（舍），所以，所以通项公式；（2）由（1）得，因为与（）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以.28．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．【解题思路】(1)根据条件，结合等比数列基本量，列等式求，即可求数列的通项公式；（2）根据（1），再利用裂项相消法求数列的和，根据数列的单调性，即证明不等式.【解答过程】（1）设数列的公比为q，由题意知，即，因为，，所以，所以，所以．（2）证明：由（1）得，所以，所以，所以．显然单调递增，所以，因为，所以，所以．29．（2023·山东省高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足的前项和为，求证:．【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；（2）利用裂项相消求和即可.【解答过程】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，又，可得方程组，即，又，解得，故．（2），所以，因为，所以．所以．30．（2022·上海·高二期中）已知等差数列公差为，前n项和为.(1)若，，求的通项公式；(2)若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求的值；(3)若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立.【解题思路】（1）由等差数列的前项和公式求得公差后可得通项公式；（2）由等比数列性质求得通项公式，设，（都是正整数），代入消元得，因此有，或3，用列举法确定的值，求出，然后再求数列的项；（3）证明是奇函数，又是增函数，证明与同号，即可证不等式成立．【解答过程】（1）设的公差为，则，，所以；（2）设的公差为，由、、成等比数列得，，∵，∴，，都是正整数，，都是整数，显然是正整数，设，（都是正整数），代入得，∴，，则，若，，则，不合题意，若，则，，若，，则，，不合题意，若，，则，，所以或，．（3）的定义域是R，，∴是奇函数，又，设，则，，从而，即，所以是增函数，是等差数列，则，若（），则，，，，（），∴，∴，若（），则，，，，（），∴，∴，综上，对任意的等差数列，．