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    人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题8.3 一元线性回归模型及其应用(重难点题型精讲)(2份打包,原卷版+教师版)
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    数学选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用精品综合训练题

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    这是一份数学选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用精品综合训练题,文件包含人教A版高中数学选择性必修三同步培优讲义专题83一元线性回归模型及其应用重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学选择性必修三同步培优讲义专题83一元线性回归模型及其应用重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共38页, 欢迎下载使用。


    1.一元线性回归模型
    把式子 SKIPIF 1 < 0 为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称
    为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差.
    2.线性经验回归方程与最小二乘法
    设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ), SKIPIF 1 < 0 ,( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),由 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +a+ SKIPIF 1 < 0
    (i=1,2, SKIPIF 1 < 0 ,n),得| SKIPIF 1 < 0 -( SKIPIF 1 < 0 +a)|= | SKIPIF 1 < 0 |,显然| SKIPIF 1 < 0 |越小,表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.
    通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q= SKIPIF 1 < 0 来刻画各样本观测数据与直线
    y=bx+a的“整体接近程度”.
    当a,b的取值为 SKIPIF 1 < 0 时,Q达到最小.将 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 称为Y关于x的经验回归方
    程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二
    乘法,求得的 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 叫做b,a的最小二乘估计.
    经验回归直线一定过点( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ).
    3.残差分析
    对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 SKIPIF 1 < 0 称为预测值,观测值减
    去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.
    4.刻画回归效果的方式
    (1)残差图法
    作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称
    为残差图.在残差图中,残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高.
    (2)残差平方和法
    残差平方和为 SKIPIF 1 < 0 ,残差平方和越小,模型拟合效果越好.
    (3)利用 SKIPIF 1 < 0 刻画拟合效果
    SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 越大,模型的拟合效果越好, SKIPIF 1 < 0 越小,模型的拟合效果越差.
    (1)对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ), SKIPIF 1 < 0 ,( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),利用
    相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱,相关系数r的计算公式:
    SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的均值分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ).
    ①当r>0时,称成对样本数据正相关.这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也变小;
    当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常也变大.
    ②当r<0时,称成对样本数据负相关.这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常会变大;
    当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常会变小.
    【题型1 一元线性回归模型】
    【方法点拨】
    根据一元线性回归模型的定义,结合具体题目条件,进行求解即可.
    【例1】(2022·高二单元测试)根据如下样本数据,得到线性回归方程为,若样本点的中心为,则当X每增加1个单位时,Y平均( )
    A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加7.9个单位D.减少7.9个单位
    【变式1-1】(2022春·黑龙江大庆·高二期末)给出下列说法中错误的是( )
    A.回归直线恒过样本点的中心
    B.两个变量相关性越强,则相关系数就越接近1
    C.某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的方差不变
    D.在回归直线方程中,当变量x增加一个单位时,平均减少0.5个单位
    【变式1-2】(2022春·河南南阳·高二期中)已知变量x和y的回归直线方程为,变量y与z负相关.下列结论中正确的是( )
    A.x与y正相关,x与z正相关B.x与y正相关,x与z负相关
    C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关
    【变式1-3】(2022春·陕西渭南·高一期末)根据如下样本数据:
    得到线性回归方程为,则( )
    A.B.C.D.
    【题型2 残差的计算】
    【方法点拨】
    根据题目条件,得出经验回归方程,再进行残差的计算.
    【例2】(2022春·湖北·高二期末)某城市选用一种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第x天的高度为ycm,测得一些数据如下表所示:
    由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为,则第7天的残差为( )
    A.1.12B.2.12C.D.
    【变式2-1】(2023春·河南开封·高三开学考试)某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表:
    其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊,但这7个月的平均值为23.若利用回归直线方程来拟合预测,且7月相应于点的残差为,则( )
    A.1.0B.2.0C.3.0D.4.0
    【变式2-2】(2022春·河南许昌·高二期末)为研究变量x,y的相关关系,收集得到下面五个样本点(x,y):
    若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为,则据此计算残差为1.1的样本点是( )A.(5.5,9)B.(6.5,8)C.(7,6)D.(7.5,4)
    【变式2-3】(2022春·江苏宿迁·高二阶段练习)在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时,得到如下数据:
    由表中数据求得关于的回归方程为,则,,这三个样本数据中,残差的绝对值最小的是( )
    A.B.C.D.和
    【题型3 刻画回归效果的方式】
    【方法点拨】
    根据刻画回归效果的三种方式,结合具体题目条件,选取适当的方式来刻画模型的拟合效果,即可得解.
    【例3】(2022秋·宁夏银川·高三开学考试)下列说法正确的个数是( )
    (1)在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
    (2)某地气象局预报:6月9日本地降水概率为90%,结果这天没下雨,这表明天气预报并不科学
    (3)回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
    (4)在回归直线方程,当解释变量每增加1个单位时,预报变量多增加0.1个单位
    A.2B.3C.4D.1
    【变式3-1】(2022春·山东菏泽·高二期末)关于线性回归的描述,下列命题错误的是( )
    A.回归直线一定经过样本点的中心B.残差平方和越小,拟合效果越好
    C.决定系数越接近1,拟合效果越好D.残差平方和越小,决定系数越小
    【变式3-2】(2022秋·广东广州·高三阶段练习)对两个变量和进行回归分析,得到一组样本数据,,…,则下列说法不正确的是( )
    A.若变量和之间的相关系数为,则变量和之间具有较强的线性相关关系
    B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
    C.用决定系数来刻画回归效果,越小说明拟合效果越好
    D.在残差图中,残差点分布水平带状区域的宽度越窄,则回归方程的预报精确度越高
    【变式3-3】(2022春·甘肃天水·高二阶段练习)关于线性回归的描述,有下列命题:
    ①回归直线一定经过样本中心点;
    ②相关系数的绝对值越大,拟合效果越好;
    ③相关指数越接近1拟合效果越好;
    ④残差平方和越小,拟合效果越好.
    其中正确的命题个数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【题型4 代入法求线性经验回归方程】
    【方法点拨】
    经验回归直线一定经过样本点的中心( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母.
    【例4】(2023秋·四川广安·高二阶段练习)已知两个变量和之间存在线性相关关系,某兴趣小组收集了一组,的样本数据如下表所示:
    根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是( )
    A.B.
    C.D.
    【变式4-1】(2022秋·陕西榆林·高二期中)已知,的取值如下表所示:
    若与线性相关,且,则( )
    A.2.2B.2.9C.2.8D.2.6
    【变式4-2】(2023秋·河南焦作·高二期末)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:
    根据如表可得回归方程中的为7.根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为( )万元A.63.6B.75.5C.73.5D.72.0
    【变式4-3】(2023秋·四川宜宾·高二期末)某小区流感大爆发,当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效,每周治愈的患者人数如表所示,由表格可得y关于x的线性经验回归方程为,则测此回归模型第4周的治愈人数为( )
    A.B.C.D.
    【题型5 经验回归模型的应用】
    【方法点拨】
    (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是响应变量;
    (2)画出解释变量和响应变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等);
    (3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性经验回归方程);
    (4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数;
    (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等),若存在异
    常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.
    【例5】(2023秋·四川雅安·高二期末)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表.
    (1)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程.
    (参考公式,)
    (2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万,请预估销售额需要达到多少?
    【变式5-1】(2023·全国·模拟预测)目前手机已经成为人们生活中的必需品,国内市场已经进入成熟期,下表是2016—2021年某市手机总体出货量(单位:万部)统计表.
    (1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合,求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01);
    (2)预测2022年该市手机总体出货量.
    附:线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.
    【变式5-2】(2023秋·四川成都·高二期末)某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表:
    假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系,
    (1)求2022年售卖出的产品件数y(单位:万件)关于销售网点数x(单位:个)的线性回归方程;
    (2)根据(1)中求出的线性回归方程,预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.
    参考公式:,.
    【变式5-3】(2023·山东·模拟预测)我国技术给直播行业带来了很多发展空间,加上受疫情影响,直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐,某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y(单位:千件)与售价x(单位:元/件)的情况如下表示.
    (1)求相关系数,并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系(当时,可以认为两个变量有很强的线性相关性;否则,没有很强的线性相关性)(精确到0.01);
    (2)建立关于的线性回归方程,并估计当售价为元/件时,该商品的线上月销售量估计为多少千件?
    (3)若每件商品的购进价格为元/件,如果不考虑其他费用,由(2)中结论,当商品售价为多少时,可使得该商品的月利润最大?(该结果保留整数)
    参考公式:对于一组数据,相关系数,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.参考数据:.
    【题型6 非线性经验回归方程的求法】
    【方法点拨】
    (1)作散点图确定曲线模型:曲线所对应的函数种类繁多,这就要求我们充分想象,大胆猜测拟合函数类型,
    粗略估计使用哪个函数拟合.
    (2)非线性转化为线性:先通过适当变换化非线性关系为线性关系,然后按照线性检验回归方程的求解步骤
    进行求解.
    (3)分析模型的拟合效果,得出结论.
    【例6】(2023·陕西西安·统考一模)为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y,收集数据如下:
    (1)判断(为常数)与(为常数,且)哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
    (2)对于非线性回归方程(为常数,且),令,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值,
    (ⅰ)证明:对于非线性回归方程,令,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系(即为常数);
    (ⅱ)根据(ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数保留2位小数).
    附:对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
    【变式6-1】(2023·云南·高三阶段练习)近年来,云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位,大力发展石斛产业,该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富.2022年8月,龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目,并被评为优秀等次.在政府的大力扶持下,龙陵紫皮石斛产量逐年增长,2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图.
    (1)根据散点图判断,与(a,b,c,d均为常数)哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
    (2)经计算得下表中数据,根据(1)中结果,求出y关于x的回归方程;
    其中.
    (3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨,根据(2)所求得的回归方程,预测该目标是否能完成?(参考数据:)
    附:,.
    【变式6-2】(2023·江西抚州·高三开学考试)数据显示中国车载音乐已步入快速发展期,随着车载音乐的商业化模式进一步完善,市场将持续扩大,下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位:十亿元),其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5.
    (1)由上表数据知,可用指数函数模型拟合y与x的关系,请建立y关于x的回归方程(a,b的值精确到0.1);
    (2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素,某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后,通过修正,把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率,请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模.
    参考数据:
    其中,.
    参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
    【变式6-3】(2023·全国·高三专题练习)某企业为改进生产,现 某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y(单位:万元/吨)及同批次产品生产数量x(单位:吨)的20组数据.现分别用两种模型①,②进行拟合,据收集到的数据,计算得到如下值:
    表中,.
    若用刻画回归效果,得到模型①、②的值分别为,.
    (1)利用和比较模型①、②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;
    (2)根据(1)中所选择的模型,求y关于x的回归方程;并求同批次产品生产数量为25(吨)时y的预报值.
    附:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,.X
    3
    4
    5
    6
    7
    Y
    4.0
    -0.5
    0.5
    第x天
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    高度y/cm
    1
    4
    6
    9
    11
    12
    13
    月份代号x
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    在线外卖规模y(百万元)
    11
    13
    18

    28

    35
    x
    5.5
    6.5
    7
    7.5
    8.5
    y
    9
    8
    6
    4
    3
    4
    8
    10
    12
    1
    2
    3
    5
    6
    1
    2
    3
    4
    5
    0.5
    0.6
    1
    1.4
    1.5
    x
    0
    1
    3
    4
    y
    2.2
    4.3
    4.8
    6.7
    广告费用x(万元)
    3
    4
    5
    6
    销售额y(万元)
    25
    30
    40
    45
    周数(x)
    1
    2
    3
    4
    5
    治愈人数(y)
    5
    15
    35

    140
    商店名称
    A
    B
    C
    D
    E
    销售额x(千万元)
    3
    5
    6
    7
    9
    利润额y(千万元)
    2
    3
    3
    4
    5
    年份
    2016年
    2017年
    2018年
    2019年
    2020年
    2021年
    年份代码
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    手机总体出货量/万部
    5.6
    4.9
    4.1
    3.9
    3.2
    3.5
    销售网点数x(单位:个)
    17
    19
    20
    21
    23
    售卖出的产品件数y(单位:万件)
    21
    22
    25
    27
    30
    月份
    1
    2
    3
    4
    5
    售价x(元/件)
    60
    56
    58
    57
    54
    月销售量y(千件)
    5
    9
    7
    10
    9
    天数x
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    繁殖个数y
    3
    6
    13
    25
    45
    100
    3.50
    32
    2.85
    17.5
    307
    12.12
    年份
    2017
    2018
    2019
    2020
    2021
    2022
    年份代码x
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    紫皮石斛产量y(吨)
    3200
    3400
    3600
    4200
    7500
    9000
    3.5
    5150
    8.46
    17.5
    20950
    3.85
    年份代码x
    1
    2
    3
    4
    5
    车载音乐市场规模y
    2.8
    3.9
    7.3
    12.0
    17.0

    1.94
    33.82
    1.7
    1.6
    14.5
    0.08
    665
    0.04
    -450
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