中考数学一轮复习专题05 因式分解-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

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1.理解因式分解的概念
2.掌握因式分解的方法，比如提公因式法、公式法等。
一、因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、因式分解的常用方法
（一）提公因式法
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。
1.多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
2.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
例1、分解因式：
（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2
（2）﹣8a2b+2a3+8ab2．
【答案】
（1）原式=[（2x+y）+（x+2y）][（2x+y）﹣（x+2y）]=3（x+y）（x﹣y）；
（2）原式=2a（a2﹣4ab+4b2）=2a（a﹣2b）2．
（二）公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
例2、因式分解： SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
（三）十字相乘法.
1.二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式—— SKIPIF 1 < 0 进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
（二）二次项系数不为1的二次三项式—— SKIPIF 1 < 0
条件：（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0

分解结果： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
例3、分解因式： SKIPIF 1 < 0
分析：
解： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
1．（2022·广西河池·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【详解】
A. SKIPIF 1 < 0 ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. SKIPIF 1 < 0 故该选项不正确，不符合题意；
C. SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. SKIPIF 1 < 0 ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
2．（2022·深圳市南山区荔香学校）把多项式 SKIPIF 1 < 0 因式分解，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值分别是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用因式分解的恒等意义，展开计算判断即可．
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴a=2，b=-3，
故选D．
3．（2022·内蒙古呼伦贝尔·）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义解答．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 不是整式，故A选项不符合题意；
SKIPIF 1 < 0 是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
SKIPIF 1 < 0 是因式分解，故C选项符合题意；
SKIPIF 1 < 0 不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
4．（2022·湖南九年级模拟预测）如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．﹣4
【答案】C
【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，再根据多项式相等的条件求出n与k的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：∵x2+nx+2k＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
∴n＝﹣2，2k＝1，
解得：k＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则kn＝（ SKIPIF 1 < 0 ）﹣2＝4．
故选：C．
5．（2022·广西贺州·九年级二模）多项式 SKIPIF 1 < 0 因式分解为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先提取 SKIPIF 1 < 0 ，再根据公式法即可因式分解．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故选C．
6．（2022·广西贺州·中考真题）多项式 SKIPIF 1 < 0 因式分解为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先提取公因式 SKIPIF 1 < 0 ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故答案选：A．
7．（2022·青岛大学附属中学九年级开学考试）分解因式： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：原式＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·浙江九年级专题练习）因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
【答案】（x﹣y﹣3）2
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
＝（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+9
＝（x﹣y﹣3）2．
9．（2022·全国九年级）因式分解：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
【详解】
解：（1）原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
（2）原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
10．（2019·河北九年级模拟预测）下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4
【分析】（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；
（3）类比例题中的方法将原式分解即可．
【详解】
解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，
故答案为：不彻底，（x-2)4 ；
（3）设x2－2x=y，则:
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=( x2－2x+1)2
=(x﹣1)4．